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6. 已知$m = 5$,$x = y - 3$,则代数式$mx^{2} - 2mxy + my^{2}$的值为(
A.$-15$
B.$25$
C.$-45$
D.$45$
D
)A.$-15$
B.$25$
C.$-45$
D.$45$
答案
D
解析
首先，将代数式 $mx^{2} - 2mxy + my^{2}$ 进行因式分解。
$mx^{2} - 2mxy + my^{2} = m(x^{2} - 2xy + y^{2}) = m(x - y)^{2}$，
根据题目条件，$m = 5$，$x = y - 3$，代入得：
$x - y = -3$，
进一步代入因式分解后的代数式：
$m(x - y)^{2} = 5 × (-3)^{2} = 5 × 9 = 45$。
$mx^{2} - 2mxy + my^{2} = m(x^{2} - 2xy + y^{2}) = m(x - y)^{2}$，
根据题目条件，$m = 5$，$x = y - 3$，代入得：
$x - y = -3$，
进一步代入因式分解后的代数式：
$m(x - y)^{2} = 5 × (-3)^{2} = 5 × 9 = 45$。
7. 分解因式：$-2x^{2}y + 12xy - 18y = $
$-2y(x - 3)^{2}$
.答案
$-2y(x - 3)^{2}$
解析
首先，从三项中提取公因式$-2y$，得到：
$-2x^{2}y + 12xy - 18y = -2y(x^{2} - 6x + 9)$，
观察括号内的三项式，它是一个完全平方三项式，它可以进一步分解为：
$-2y(x - 3)^{2}$。
$-2x^{2}y + 12xy - 18y = -2y(x^{2} - 6x + 9)$，
观察括号内的三项式，它是一个完全平方三项式，它可以进一步分解为：
$-2y(x - 3)^{2}$。
8. 分解因式$(a - b)(a - 4b) + ab$的结果是
$(a - 2b)^2$
.答案
$(a - 2b)^2$
解析
$\begin{aligned}&(a - b)(a - 4b) + ab\\=&a^2 - 4ab - ab + 4b^2 + ab\\=&a^2 - 4ab + 4b^2\\=&(a - 2b)^2\end{aligned}$
9. 分解因式：
(1)$169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2}$；
(2)$8(x^{2} - 2y^{2}) - x(7x + y) + xy$.
(1)$169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2}$；
(2)$8(x^{2} - 2y^{2}) - x(7x + y) + xy$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2}\\=&[13(a - b)]^{2}-[14(a + b)]^{2}\\=&[13(a - b)+14(a + b)][13(a - b)-14(a + b)]\\=&(13a-13b + 14a+14b)(13a-13b - 14a-14b)\\=&(27a + b)(-a - 27b)\\=&-(27a + b)(a + 27b)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&8(x^{2} - 2y^{2}) - x(7x + y)+xy\\=&8x^{2}-16y^{2}-7x^{2}-xy + xy\\=&(8x^{2}-7x^{2})-16y^{2}+(-xy + xy)\\=&x^{2}-16y^{2}\\=&(x + 4y)(x - 4y)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&169(a - b)^{2} - 196(a + b)^{2}\\=&[13(a - b)]^{2}-[14(a + b)]^{2}\\=&[13(a - b)+14(a + b)][13(a - b)-14(a + b)]\\=&(13a-13b + 14a+14b)(13a-13b - 14a-14b)\\=&(27a + b)(-a - 27b)\\=&-(27a + b)(a + 27b)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&8(x^{2} - 2y^{2}) - x(7x + y)+xy\\=&8x^{2}-16y^{2}-7x^{2}-xy + xy\\=&(8x^{2}-7x^{2})-16y^{2}+(-xy + xy)\\=&x^{2}-16y^{2}\\=&(x + 4y)(x - 4y)\end{aligned}$
10. “探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下.
|甲：$a^{2} - 2ab - 4 + b^{2}$ | $= (a^{2} - 2ab + b^{2}) - 4$(分成两组) | $= (a - b)^{2} - 2^{2}$(直接运用公式) | $= (a - b + 2)(a - b - 2)$ |
|乙：$a^{2} - ab - a + b$ | $= (a^{2} - ab) - (a - b)$(分成两组) | $= a(a - b) - (a - b)$(提公因式) | $= (a - b)(a - 1)$ |
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式：$9x^{2} - 6xy + y^{2} - 16$.
(2)若$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$三边的长.
①若满足$ac - bc + a^{2} - 2ab + b^{2} = 0$,请判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
②若满足$a^{2} + b^{2} = 12a + 8b - 52$,求$c$的取值范围.
|甲：$a^{2} - 2ab - 4 + b^{2}$ | $= (a^{2} - 2ab + b^{2}) - 4$(分成两组) | $= (a - b)^{2} - 2^{2}$(直接运用公式) | $= (a - b + 2)(a - b - 2)$ |
|乙：$a^{2} - ab - a + b$ | $= (a^{2} - ab) - (a - b)$(分成两组) | $= a(a - b) - (a - b)$(提公因式) | $= (a - b)(a - 1)$ |
请在他们解法的启发下解答下列各题.
(1)分解因式：$9x^{2} - 6xy + y^{2} - 16$.
(2)若$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$三边的长.
①若满足$ac - bc + a^{2} - 2ab + b^{2} = 0$,请判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由；
②若满足$a^{2} + b^{2} = 12a + 8b - 52$,求$c$的取值范围.
答案
(1) $9x^{2}-6xy+y^{2}-16$
$=(9x^{2}-6xy+y^{2})-16$
$=(3x-y)^{2}-4^{2}$
$=(3x-y+4)(3x-y-4)$
(2)①$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下：
$ac-bc+a^{2}-2ab+b^{2}=0$
$c(a-b)+(a-b)^{2}=0$
$(a-b)(c+a-b)=0$
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边的长
$\therefore c+a-b＞0$
$\therefore a-b=0$，即$a=b$
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形
②$a^{2}+b^{2}=12a+8b-52$
$a^{2}-12a+b^{2}-8b+52=0$
$(a^{2}-12a+36)+(b^{2}-8b+16)=0$
$(a-6)^{2}+(b-4)^{2}=0$
$\therefore a-6=0$，$b-4=0$
$\therefore a=6$，$b=4$
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边的长
$\therefore a-b＜c＜a+b$
$\therefore 6-4＜c＜6+4$，即$2＜c＜10$
$=(9x^{2}-6xy+y^{2})-16$
$=(3x-y)^{2}-4^{2}$
$=(3x-y+4)(3x-y-4)$
(2)①$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下：
$ac-bc+a^{2}-2ab+b^{2}=0$
$c(a-b)+(a-b)^{2}=0$
$(a-b)(c+a-b)=0$
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边的长
$\therefore c+a-b＞0$
$\therefore a-b=0$，即$a=b$
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形
②$a^{2}+b^{2}=12a+8b-52$
$a^{2}-12a+b^{2}-8b+52=0$
$(a^{2}-12a+36)+(b^{2}-8b+16)=0$
$(a-6)^{2}+(b-4)^{2}=0$
$\therefore a-6=0$，$b-4=0$
$\therefore a=6$，$b=4$
$\because a,b,c$为$\triangle ABC$三边的长
$\therefore a-b＜c＜a+b$
$\therefore 6-4＜c＜6+4$，即$2＜c＜10$
