登录
8. (教材P22习题21.3第4题变式)有一株月季,它的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总个数是73,求每个支干长出多少个小分支.设每个支干长出$ x $个小分支,则根据题意可列出方程为 （ ）
A. $ 1+x+x(1+x)=73 $
B. $ 1+x+x^2=73 $
C. $ 1+x^2=73 $
D. $ x+x(1+x)=73 $
A. $ 1+x+x(1+x)=73 $
B. $ 1+x+x^2=73 $
C. $ 1+x^2=73 $
D. $ x+x(1+x)=73 $
答案
B
9. 某航空公司有若干个飞机场,每2个飞机场之间都开辟了1条航线,一共开辟了28条航线,该航空公司共有______个飞机场.
答案
8
10. (教材 P17 习题 21.2 第 9 题变式)参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一式三份合同(两家公司各执一份,给公证处一份),所有公司共签订了 84 份合同,则共有多少家公司参加了此次商品交易会?
答案
解：设共有$x$家公司参加了此次商品交易会. 由题意，得$\frac{3}{2}x(x - 1)=84，$ $3x(x - 1)=168，$ $3x^2 - 3x - 168 = 0，$ $x^2 - x - 56 = 0，$ 因式分解得$(x - 8)(x + 7)=0，$ 解得$x_1 = 8，$$x_2 = - 7$（不合题意，舍去）. 所以共有8家公司参加了此次商品交易会.
11. 某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的三分之一每根又长出同样数目的小支根，而其余支根每根长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总根数是109.这种植物的主根长出了多少根支根？
答案
解：设这种植物的主根长出了$x$根支根. 根据题意，得$1 + x+\frac{1}{3}x\cdot x+(1 - \frac{1}{3})x\cdot\frac{1}{2}x = 109，$ $1 + x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x^2 = 109，$ $1 + x+\frac{2}{3}x^2 = 109，$ $3 + 3x + 2x^2 = 327，$ $2x^2 + 3x - 324 = 0，$ 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a = 2，$$b = 3，$$c = - 324$）， $\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times2\times(-324)=9 + 2592 = 2601，$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{2601}}{4}=\frac{-3\pm51}{4}，$ 解得$x_1 = 12，$$x_2 = -\frac{27}{2}$（不合题意，舍去）. 所以这种植物的主根长出了12根支根.
12. 阅读材料，并回答问题：
我们知道，计算$n(n≥ 3$且$n$为整数$)$边形的对角线条数的公式为$\dfrac{1}{2}n(n - 3)$。如果一个$n$边形共有20条对角线，那么可以得到方程$\dfrac{1}{2}n(n - 3)=20$。整理，得$n^2 - 3n - 40 = 0$，解得$n_1 = 8$，$n_2 = -5$。$\because n≥ 3$且$n$为整数，$\therefore n = 8$，即该多边形是八边形。
（1）若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？
（2）A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线。”A同学的说法正确吗？为什么？
我们知道，计算$n(n≥ 3$且$n$为整数$)$边形的对角线条数的公式为$\dfrac{1}{2}n(n - 3)$。如果一个$n$边形共有20条对角线，那么可以得到方程$\dfrac{1}{2}n(n - 3)=20$。整理，得$n^2 - 3n - 40 = 0$，解得$n_1 = 8$，$n_2 = -5$。$\because n≥ 3$且$n$为整数，$\therefore n = 8$，即该多边形是八边形。
（1）若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？
（2）A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线。”A同学的说法正确吗？为什么？
答案
解：（1）设这个多边形的边数是$n$（$n\geq3$且$n$为整数）. 根据题意，得$\frac{1}{2}n(n - 3)=14.$ 整理，得$n^2 - 3n - 28 = 0，$ 因式分解得$(n - 7)(n + 4)=0，$ 解得$n_1 = 7，$$n_2 = - 4.$ 因为$n\geq3$且$n$为整数，所以$n = 7，$即这个多边形的边数是7. （2）A同学的说法不正确.
设这个多边形的边数为$m$（$m\geq3$且$m$为整数）， 则$\frac{1}{2}m\cdot(m - 3)=10.$ 整理，得$m^2 - 3m - 20 = 0，$ 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a = 1，$$b = - 3，$$c = - 20$）， $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times1\times(-20)=9 + 80 = 89，$ $m=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}.$ 因为方程$m^2 - 3m - 20 = 0$不存在正整数解，所以多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确.
设这个多边形的边数为$m$（$m\geq3$且$m$为整数）， 则$\frac{1}{2}m\cdot(m - 3)=10.$ 整理，得$m^2 - 3m - 20 = 0，$ 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a = 1，$$b = - 3，$$c = - 20$）， $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times1\times(-20)=9 + 80 = 89，$ $m=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}.$ 因为方程$m^2 - 3m - 20 = 0$不存在正整数解，所以多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确.
