1. 正方形$ABCD$在平面直角坐标系中的位置如图9-2所示,它的边长是4,则点$A$的坐标是()
A.$(-4,4)$
B.$(4,-4)$
C.$(4,4)$
D.$(-4,-4)$

A

2. 如图9-3,将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中。若顶点$M$,$N的坐标分别为(3,9)$,$(12,9)$,则顶点$A$的坐标为()
A.$(5,1)$
B.$(12,3)$
C.$(3,15)$
D.$(15,3)$

D

3. 如图9-4,正方形$ABCD$由25个边长相等的小正方形组成,将此网格放到平面直角坐标系中,若点$E$,$F的坐标分别是(-1,0)$,$(2,2)$,则点$H$的坐标是。

$(3,-1)$

4. 如图9-5,在以点$O$为原点的平面直角坐标系中,点$A$,$B的坐标分别为(a,0)$,$(a,b)$,点$C在y$轴上,且$BC// x$轴,$a$,$b满足|a-3|+\sqrt{b-4}= 0$。点$P$从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着$O-A-B-C-O$的路线运动(回到点$O$为止)。
(1)求点$A$,$B$,$C$的坐标。
(2)当点$P$运动3s时,连接$PC$,$PO$,求出点$P$的坐标,并直接写出$∠CPO$,$∠BCP$,$∠AOP$之间满足的数量关系。
(3)点$P运动t$ s后$(t≠0)$,是否存在点$P到x轴的距离为\frac{1}{2}t$个单位长度的情况？若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

(1) $\because |a - 3|+\sqrt{b - 4}=0$ 且 $|a - 3|\geq0$，$\sqrt{b - 4}\geq0$，
$\therefore |a - 3|=0$，$\sqrt{b - 4}=0$。
$\therefore a = 3$，$b = 4$。
$\therefore A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$。
(2) 如图，当点 $P$ 运动 $3s$ 时，点 $P$ 运动了 $6$ 个单位长度。
$\because AO = 3$，
$\therefore$ 点 $P$ 运动 $3s$ 时，点 $P$ 在线段 $AB$ 上，且 $AP = 3$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标是 $(3,3)$。
如图，过点 $P$ 作 $PE// AO$ 交 $y$ 轴于点 $E$。

$\because CB// AO$，$PE// AO$，
$\therefore CB// PE$。
$\therefore \angle BCP=\angle EPC$，$\angle AOP=\angle EPO$。
$\therefore \angle CPO=\angle BCP+\angle AOP$。
(3) 存在。$\because t\neq0$，
$\therefore$ 点 $P$ 可能运动到 $AB$ 或 $BC$ 或 $OC$ 上。
① 当点 $P$ 运动到 $AB$ 上时，$3\leq2t\leq7$，即 $\frac{3}{2}\leq t\leq\frac{7}{2}$，$PA = 2t - OA = 2t - 3$，
$\therefore 2t - 3=\frac{1}{2}t$。解得 $t = 2$。
$\therefore PA = 2×2 - 3 = 1$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,1)$。
② 当点 $P$ 运动到 $BC$ (不含端点 $B$) 上时，$7\lt2t\leq10$，即 $\frac{7}{2}\lt t\leq5$。
$\because$ 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$，
$\therefore \frac{1}{2}t = 4$。解得 $t = 8$。
$\because \frac{7}{2}\lt t\leq5$，
$\therefore$ 此种情况不符合题意。
③ 当点 $P$ 运动到 $OC$ (不含端点 $C$) 上时，$10\lt2t\leq14$，即 $5\lt t\leq7$。
$\because PO = OA + AB + BC + OC - 2t = 14 - 2t$，
$\therefore 14 - 2t=\frac{1}{2}t$。解得 $t=\frac{28}{5}$。
$\therefore PO = 14 - 2×\frac{28}{5}=\frac{14}{5}$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{14}{5})$。
综上所述，点 $P$ 运动 $t s$ 后 $(t\neq0)$，存在点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{1}{2}t$ 个单位长度的情况，此时点 $P$ 的坐标为 $(3,1)$ 或 $(0,\frac{14}{5})$。