登录
【例】已知方程 $ x ^ { 2 } - m x + 45 = 0 $ 的两个实数根的差的平方为 144,求 $ m $ 的值.
答案
【分析】设方程的两个实数根分别为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,利用根与系数的关系用含 $ m $ 的代数式表示出 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } $ 和 $ x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } $,再利用 $ ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } $ 得到一个关于 $ m $ 的一元二次方程,解方程,求出 $ m $ 的值.
解：设方程的两个实数根分别为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,利用根与系数的关系,得 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = m , x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = 45 $ .
$ \because ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = 144 $,
$ \therefore m ^ { 2 } - 4 × 45 = 144 $ .
$ \therefore m ^ { 2 } = 324 $ .
$ \therefore m _ { 1 } = 18 , m _ { 2 } = - 18 $ .
解：设方程的两个实数根分别为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,利用根与系数的关系,得 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = m , x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = 45 $ .
$ \because ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = 144 $,
$ \therefore m ^ { 2 } - 4 × 45 = 144 $ .
$ \therefore m ^ { 2 } = 324 $ .
$ \therefore m _ { 1 } = 18 , m _ { 2 } = - 18 $ .
1. 若 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 $ 的两根,则 $ x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } $ 的值为 (
A.-5
B.5
C.-4
D.4
A
)A.-5
B.5
C.-4
D.4
答案
A
2. 方程 $ 2 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0 $ 的两根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } $ 等于 (
A.-6
B.6
C.-3
D.3
C
)A.-6
B.6
C.-3
D.3
答案
C
3. 已知 $ \alpha , \beta $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 5 x - 2 = 0 $ 的两个实数根,则 $ \alpha ^ { 2 } + \alpha \beta + \beta ^ { 2 } $ 的值为 (
A.-1
B.9
C.23
D.27
D
)A.-1
B.9
C.23
D.27
答案
D
4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ m ^ { 2 } x ^ { 2 } + ( 4 m - 1 ) x + 4 = 0 $ 的两个实数根互为倒数,那么 $ m $ 的值为 (
A.2
B.-2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm \sqrt { 2 } $
B
)A.2
B.-2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm \sqrt { 2 } $
答案
B
5. 一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0 $ 的两个根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } ^ { 2 } + 3 x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } - 2 $ 的值是(
A.10
B.9
C.8
D.7
D
)A.10
B.9
C.8
D.7
答案
D
6. 已知 $ a , b $ 是方程 $ x ^ { 2 } + x - 3 = 0 $ 的两个实数根,则 $ a ^ { 2 } - b + 20 $ 的值是 (
A.21
B.22
C.24
D.23
C
)A.21
B.22
C.24
D.23
答案
C
7. 甲、乙两名同学分别解一道一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为 -3 和 5,乙把常数项看错了,解得两根都为 2,则原方程是 (
A.$ x ^ { 2 } + 4 x - 15 = 0 $
B.$ x ^ { 2 } - 4 x - 15 = 0 $
C.$ x ^ { 2 } + 4 x + 15 = 0 $
D.$ x ^ { 2 } - 4 x + 15 = 0 $
B
)A.$ x ^ { 2 } + 4 x - 15 = 0 $
B.$ x ^ { 2 } - 4 x - 15 = 0 $
C.$ x ^ { 2 } + 4 x + 15 = 0 $
D.$ x ^ { 2 } - 4 x + 15 = 0 $
答案
B
8. 一元二次方程 $ x ^ { 2 } + x - 2 = 0 $ 的解为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $ ______
-1
.答案
$-1$
9. 若 $ \alpha , \beta $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + m = 0 $ 的两个实数根,且 $ \frac { 1 } { \alpha } + \frac { 1 } { \beta } = - \frac { 2 } { 3 } $,则 $ m = $ ______
-3
.答案
$-3$
10. 设关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 2 x - m + 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ \alpha , \beta $ . 若 $ | \alpha | + | \beta | = 6 $,则实数 $ m $ 的值是 ______
9
.答案
$9$
