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10. 如图,已知B,C两点把线段AD分成2:4:3的三部分,M是AD的中点,若CD=6,求线段AD和MC的长。
答案
10. 因为 B,C 两点把线段 AD 分成 2:4:3 的三部分,所以 AB:BC:CD=2:4:3,所以 $CD=\frac{1}{3}AD$,因为 CD=6,所以 AD=18,因为 M 是 AD 的中点,所以 $MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×18=9$,所以 MC=MD-CD=9-6=3。
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：已知B、C两点把线段AD分成2:4:3的三部分，且CD=6，要求AD和MC的长度。首先我们可以根据三段的比例关系，求出CD占总线段AD的比例，结合CD的长度算出AD的总长；再利用M是AD中点的性质，求出MD的长度，最后观察线段位置关系，通过MD减去CD就能得到MC的长度。
【解析】
解：
∵B、C两点把线段AD分成2:4:3的三部分
∴AB:BC:CD=2:4:3
∴$CD=\frac{3}{2+4+3}AD=\frac{1}{3}AD$
又
∵CD=6
∴$AD=3×6=18$
∵M是AD的中点
∴$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×18=9$
∴$MC=MD-CD=9-6=3$
【答案】
AD的长为18，MC的长为3
【知识点】
1. 线段的和差 2. 线段中点的性质 3. 线段比例计算
【点评】
本题属于基础的线段计算题型，解题关键是理清各线段之间的数量关系和位置关系，先通过比例求出总线段长度，再结合中点性质推导所求线段的长度，难度较低。
【难度系数】
0.8
拿到题目先梳理已知条件：已知B、C两点把线段AD分成2:4:3的三部分，且CD=6，要求AD和MC的长度。首先我们可以根据三段的比例关系，求出CD占总线段AD的比例，结合CD的长度算出AD的总长；再利用M是AD中点的性质，求出MD的长度，最后观察线段位置关系，通过MD减去CD就能得到MC的长度。
【解析】
解：
∵B、C两点把线段AD分成2:4:3的三部分
∴AB:BC:CD=2:4:3
∴$CD=\frac{3}{2+4+3}AD=\frac{1}{3}AD$
又
∵CD=6
∴$AD=3×6=18$
∵M是AD的中点
∴$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×18=9$
∴$MC=MD-CD=9-6=3$
【答案】
AD的长为18，MC的长为3
【知识点】
1. 线段的和差 2. 线段中点的性质 3. 线段比例计算
【点评】
本题属于基础的线段计算题型，解题关键是理清各线段之间的数量关系和位置关系，先通过比例求出总线段长度，再结合中点性质推导所求线段的长度，难度较低。
【难度系数】
0.8
11. 如图，C为线段AB的延长线上一点，D为线段BC上一点，AB=12，DC=4BD。
(1)若BC=15，求AD的长。
(2)若AB=2BD，E为AC的中点，求BE的长。
(1)若BC=15，求AD的长。
(2)若AB=2BD，E为AC的中点，求BE的长。
答案
11.(1)AD=15。(2)BE=9。
解析
【分析】
本题考查线段和差及中点性质的应用，解题思路如下：
(1) 要求AD的长，已知AB的长度，只需求出BD的长度即可。根据DC=4BD，结合BD+DC=BC，可先求出BD的长度，再利用AD=AB+BD计算即可。
(2) 要求BE的长，先根据AB=2BD求出BD的长度，再结合DC=4BD求出BC的长度，进而得到AC的总长度；利用E是AC中点求出AE的长度，最后通过BE=AE-AB计算得出结果。
【解析】
(1) 解：
∵ DC=4BD，且BD+DC=BC
∴ BC=BD+4BD=5BD
已知BC=15，代入得：$BD=15÷5=3$
又
∵ AB=12，$AD=AB+BD$
∴ $AD=12+3=15$
(2) 解：
∵ AB=2BD，AB=12
∴ $BD=12÷2=6$
∵ DC=4BD
∴ $DC=4×6=24$
∴ $BC=BD+DC=6+24=30$
∴ $AC=AB+BC=12+30=42$
∵ E为AC的中点
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=42÷2=21$
∴ $BE=AE-AB=21-12=9$
【答案】
(1) $AD=15$；(2) $BE=9$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是理清各线段间的数量关系，结合已知条件逐步推导未知线段长度，熟练掌握线段和差运算及中点性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查线段和差及中点性质的应用，解题思路如下：
(1) 要求AD的长，已知AB的长度，只需求出BD的长度即可。根据DC=4BD，结合BD+DC=BC，可先求出BD的长度，再利用AD=AB+BD计算即可。
(2) 要求BE的长，先根据AB=2BD求出BD的长度，再结合DC=4BD求出BC的长度，进而得到AC的总长度；利用E是AC中点求出AE的长度，最后通过BE=AE-AB计算得出结果。
【解析】
(1) 解：
∵ DC=4BD，且BD+DC=BC
∴ BC=BD+4BD=5BD
已知BC=15，代入得：$BD=15÷5=3$
又
∵ AB=12，$AD=AB+BD$
∴ $AD=12+3=15$
(2) 解：
∵ AB=2BD，AB=12
∴ $BD=12÷2=6$
∵ DC=4BD
∴ $DC=4×6=24$
∴ $BC=BD+DC=6+24=30$
∴ $AC=AB+BC=12+30=42$
∵ E为AC的中点
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=42÷2=21$
∴ $BE=AE-AB=21-12=9$
【答案】
(1) $AD=15$；(2) $BE=9$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是理清各线段间的数量关系，结合已知条件逐步推导未知线段长度，熟练掌握线段和差运算及中点性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 在直线$ l $上任取一点$ A $，截取$ AB=4\mathrm{cm} $，再截取$ BC=5\mathrm{cm} $。根据题意作图，正确的是（
A.①②
B.③④
C.①③
D.①④
A
）A.①②
B.③④
C.①③
D.①④
答案
12.A
解析
【分析】解题时先明确线段截取的规则：首先确定点A，沿直线截4cm得到点B，再以B为端点截5cm得到点C，截取时未指定方向需要分两种情况讨论，同时要结合AB=4cm、BC=5cm的长度关系（BC比AB长）判断图形是否符合：一是截BC的方向与AB同向，二是截BC的方向与AB反向，再结合长度比例逐一判断四个图形即可。
【解析】解：根据题意分两种情况分析：
1. 截取BC的方向与AB同向：此时三点顺序为A、B、C，且BC=5cm＞AB=4cm，即BC长度略长于AB，对应图①，符合要求；
2. 截取BC的方向与AB反向：此时三点顺序为C、A、B，由线段和差得BC=AC+AB，因此AC=BC-AB=5-4=1cm，即AC长度远短于AB，对应图②，符合要求；
其余两个图：图③中C到A的距离大于AB长度，此时BC＞8cm，不符合BC=5cm的要求；图④中BC长度短于AB，即BC＜4cm，也不符合要求。
综上正确的是①②，故选A。
【答案】A
【知识点】线段的截取；线段的和差
【点评】本题考查线段的相关操作与计算，解题的关键是明确无方向要求时截取线段要分情况讨论，同时要结合线段的长度比例判断图形是否符合条件，避免漏解或错判。
【难度系数】0.7
【解析】解：根据题意分两种情况分析：
1. 截取BC的方向与AB同向：此时三点顺序为A、B、C，且BC=5cm＞AB=4cm，即BC长度略长于AB，对应图①，符合要求；
2. 截取BC的方向与AB反向：此时三点顺序为C、A、B，由线段和差得BC=AC+AB，因此AC=BC-AB=5-4=1cm，即AC长度远短于AB，对应图②，符合要求；
其余两个图：图③中C到A的距离大于AB长度，此时BC＞8cm，不符合BC=5cm的要求；图④中BC长度短于AB，即BC＜4cm，也不符合要求。
综上正确的是①②，故选A。
【答案】A
【知识点】线段的截取；线段的和差
【点评】本题考查线段的相关操作与计算，解题的关键是明确无方向要求时截取线段要分情况讨论，同时要结合线段的长度比例判断图形是否符合条件，避免漏解或错判。
【难度系数】0.7
13. 如图，已知D是线段AB上一点，C是线段AB的中点，若AB=8，BD=3。
(1)求CD的长。
(2)在线段AB上取点E，使得CE=3CD，取BE的中点F，求线段CF的长。
(1)求CD的长。
(2)在线段AB上取点E，使得CE=3CD，取BE的中点F，求线段CF的长。
答案
13.(1)C是线段AB的中点,AB=8,所以 $CB=\frac{1}{2}AB=4$,因为 BD=3,所以 CD=CB-BD=4-3=1。
(2)依题意,因为 C 是线段 AB 的中点,AB=8,所以 $CB=\frac{1}{2}AB=4$,当点 E 在线段 AC 上时,如
。因为 CE=3CD,所以 CE=3×1=3,所以 BE=CE+CB=7,因为 F 是 BE 的中点,所以 $BF=\frac{1}{2}BE=3.5$,所以 CF=CB-BF=4-3.5=0.5;当点 E 在线段 BC 上时,如
。因为 CE=3CD,所以 CE=3×1=3,所以 BE=CB-CE=1,因为 F 是 BE 的中点,所以 $BF=\frac{1}{2}BE=0.5$,所以 CF=CB-BF=4-0.5=3.5。综上所述,线段 CF 的长为 0.5 或 3.5。
解析
【分析】
(1) 要求CD的长度，首先根据线段中点的性质求出CB的长度，再观察线段的位置关系，利用CD=CB-BD代入已知数值计算即可。
(2) 先由CE=3CD求出CE的长度，由于点E的位置未明确，需分两种情况讨论：①点E在线段AC上；②点E在线段BC上。分别计算两种情况下BE的长度，再结合F是BE中点的性质求出BF的长度，最后根据线段和差关系计算CF的长度即可。
【解析】
(1) 解：
∵ C是线段AB的中点，AB=8，
∴ $CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵ BD=3，
∴ CD=CB-BD=4-3=1。
(2) 解：由(1)得CD=1，故CE=3CD=3×1=3，且CB=4，分两种情况讨论：
① 当点E在线段AC上时，如：
BE=CE+CB=3+4=7，
∵ F是BE的中点，
∴ $BF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×7=3.5$，
∴ CF=CB-BF=4-3.5=0.5；
② 当点E在线段BC上时，如：
BE=CB-CE=4-3=1，
∵ F是BE的中点，
∴ $BF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×1=0.5$，
∴ CF=CB-BF=4-0.5=3.5。
综上所述，线段CF的长为0.5或3.5。
【答案】
(1) CD的长为1；
(2) 当点E在线段AC上时，如，CF的长为0.5；当点E在线段BC上时，如，CF的长为3.5，故线段CF的长为0.5或3.5。
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础题型，第一问可直接利用线段中点性质和和差关系求解，第二问需要注意点E的位置存在两种可能，需分类讨论避免漏解，熟练掌握线段的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD的长度，首先根据线段中点的性质求出CB的长度，再观察线段的位置关系，利用CD=CB-BD代入已知数值计算即可。
(2) 先由CE=3CD求出CE的长度，由于点E的位置未明确，需分两种情况讨论：①点E在线段AC上；②点E在线段BC上。分别计算两种情况下BE的长度，再结合F是BE中点的性质求出BF的长度，最后根据线段和差关系计算CF的长度即可。
【解析】
(1) 解：
∵ C是线段AB的中点，AB=8，
∴ $CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵ BD=3，
∴ CD=CB-BD=4-3=1。
(2) 解：由(1)得CD=1，故CE=3CD=3×1=3，且CB=4，分两种情况讨论：
① 当点E在线段AC上时，如
：BE=CE+CB=3+4=7，
∵ F是BE的中点，
∴ $BF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×7=3.5$，
∴ CF=CB-BF=4-3.5=0.5；
② 当点E在线段BC上时，如
：BE=CB-CE=4-3=1，
∵ F是BE的中点，
∴ $BF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×1=0.5$，
∴ CF=CB-BF=4-0.5=3.5。
综上所述，线段CF的长为0.5或3.5。
【答案】
(1) CD的长为1；
(2) 当点E在线段AC上时，如
，CF的长为0.5；当点E在线段BC上时，如，CF的长为3.5，故线段CF的长为0.5或3.5。【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础题型，第一问可直接利用线段中点性质和和差关系求解，第二问需要注意点E的位置存在两种可能，需分类讨论避免漏解，熟练掌握线段的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
14. 已知点A,B在数轴上对应的数为5和9,点C对应的数为c。点A关于点B的对称点为D,点E为线段AC的中点,当$BD+BE=12$时,c的值为(
A.-3或11
B.-3或29
C.29
D.11
B
)A.-3或11
B.-3或29
C.29
D.11
答案
14.B
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴上对称点的性质：若点P关于点Q的对称点为R，则Q是线段PR的中点，可据此先求出点D对应的数，算出固定长度BD；再根据线段中点的性质表示出点E对应的数，利用数轴上两点距离公式表示BE的长度，结合已知条件BD+BE=12列绝对值方程，最后分情况求解绝对值方程即可得到c的值。
【解析】
1. 求点D对应的数及BD的长度：
∵ 点A关于点B的对称点为D，
∴ B是线段AD的中点
设D对应的数为d，根据中点公式可得：$\frac{5+d}{2}=9$，解得$d=2×9 -5=13$
∴ $BD=|13 - 9|=4$
2. 根据已知条件求BE的长度：
∵ $BD+BE=12$，代入BD=4得：$BE=12-4=8$
3. 表示点E对应的数，列方程求解c：
∵ E是线段AC的中点，A对应5，C对应c，
∴ E对应的数为$\frac{5+c}{2}$
根据数轴上两点距离公式可得：$|\frac{5+c}{2} - 9|=8$
分两种情况解方程：
① 当$\frac{5+c}{2} -9=8$时：
$\frac{5+c}{2}=17$，$5+c=34$，解得$c=29$
② 当$\frac{5+c}{2} -9=-8$时：
$\frac{5+c}{2}=1$，$5+c=2$，解得$c=-3$
综上，c的值为-3或29。
【答案】
B
【知识点】
数轴上距离计算、线段中点性质、绝对值方程求解
【点评】
本题是数轴与线段和差结合的典型题型，解题突破口是先求出固定线段BD的长度，再利用中点性质和距离公式建立方程，求解绝对值方程时需注意分正负两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确数轴上对称点的性质：若点P关于点Q的对称点为R，则Q是线段PR的中点，可据此先求出点D对应的数，算出固定长度BD；再根据线段中点的性质表示出点E对应的数，利用数轴上两点距离公式表示BE的长度，结合已知条件BD+BE=12列绝对值方程，最后分情况求解绝对值方程即可得到c的值。
【解析】
1. 求点D对应的数及BD的长度：
∵ 点A关于点B的对称点为D，
∴ B是线段AD的中点
设D对应的数为d，根据中点公式可得：$\frac{5+d}{2}=9$，解得$d=2×9 -5=13$
∴ $BD=|13 - 9|=4$
2. 根据已知条件求BE的长度：
∵ $BD+BE=12$，代入BD=4得：$BE=12-4=8$
3. 表示点E对应的数，列方程求解c：
∵ E是线段AC的中点，A对应5，C对应c，
∴ E对应的数为$\frac{5+c}{2}$
根据数轴上两点距离公式可得：$|\frac{5+c}{2} - 9|=8$
分两种情况解方程：
① 当$\frac{5+c}{2} -9=8$时：
$\frac{5+c}{2}=17$，$5+c=34$，解得$c=29$
② 当$\frac{5+c}{2} -9=-8$时：
$\frac{5+c}{2}=1$，$5+c=2$，解得$c=-3$
综上，c的值为-3或29。
【答案】
B
【知识点】
数轴上距离计算、线段中点性质、绝对值方程求解
【点评】
本题是数轴与线段和差结合的典型题型，解题突破口是先求出固定线段BD的长度，再利用中点性质和距离公式建立方程，求解绝对值方程时需注意分正负两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
