1.把一个四边形放大成与其相似的四边形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的倍；如果面积扩大为原来的25倍，那么边长扩大为原来的倍。

解：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
若边长扩大为原来的10倍，则相似比为10，面积比为$10^2=100$，即面积扩大为原来的100倍；
若面积扩大为原来的25倍，设相似比为$k$（$k＞0$），则$k^2=25$，解得$k=5$，即边长扩大为原来的5倍。
答案依次为：$\boldsymbol{100}$；$\boldsymbol{5}$。

2.如图，$AB// CD$，$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{3}$，则$△ AOB$与$△ DOC$的周长的比是.
（第2题）

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$（或$2:3$）

解：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ A = ∠ D$，$∠ B = ∠ C$，
又∵ $∠ AOB = ∠ DOC$，
∴ $△ AOB ∽ △ DOC$。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{3}$，
∴ $△ AOB$与$△ DOC$的周长的比是$\frac{2}{3}$（或$2:3$）。

3.如图,将$△ ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置.已知$△ ABC$的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若$AA'=1$,则$A'D=$.

$\boldsymbol{2}$

解：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD，$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{9}{2}$。
设$A'B'$交$AB$于点$E$，$A'C'$交$AC$于点$F$，
由平移的性质得：$A'E// AB$，$A'F// AC$，
∴ $△ DA'E ∽ △ DAB$，$△ DA'F ∽ △ DAC$，
∴ $\frac{S_{△ DA'E}}{S_{△ DAB}}=(\frac{A'D}{AD})^2$，$\frac{S_{△ DA'F}}{S_{△ DAC}}=(\frac{A'D}{AD})^2$，
两式相加得：$\frac{S_{△ DA'E}+S_{△ DA'F}}{S_{△ DAB}+S_{△ DAC}}=(\frac{A'D}{AD})^2$。
∵ 阴影部分面积$S_{△ DA'E}+S_{△ DA'F}=4$，$S_{△ DAB}+S_{△ DAC}=S_{△ ABC}=9$，
∴ $\frac{4}{9}=(\frac{A'D}{AD})^2$，
∵ 线段长度为正，∴ $\frac{A'D}{AD}=\frac{2}{3}$。
又∵ $AD=AA'+A'D=1+A'D$，代入得：
$\frac{A'D}{1+A'D}=\frac{2}{3}$，
解得$A'D=2$。
最终

4.如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且$BP=1$,D为AC上一点.若$∠ APD=60°$,则$CD=\_\_\_\_\_\_$.

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$

解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠C = 60°，AB = BC = 3，
∴ PC = BC - BP = 3 - 1 = 2。
∵ ∠APC是△ABP的外角，
∴ ∠APC = ∠B + ∠BAP = 60° + ∠BAP，
又∵ ∠APC = ∠APD + ∠CPD，且∠APD = 60°，
∴ 60° + ∠BAP = 60° + ∠CPD，
∴ ∠BAP = ∠CPD。
∴ △ABP ∽ △PCD，
∴ $\frac{AB}{PC} = \frac{BP}{CD}$，
将AB=3，PC=2，BP=1代入得：
$\frac{3}{2} = \frac{1}{CD}$，
解得 $CD = \frac{2}{3}$。

5. 提升题 如图，$△ ABC$为锐角三角形，$AD$是$BC$边上的高，正方形$EFGH$的一边$FG$在$BC$上，顶点$E$，$H$分别在$AB$，$AC$上。已知$BC=40\ \mathrm{cm}$，$AD=30\ \mathrm{cm}$。
(1)求证：$△ AEH ∽ △ ABC$；
(2)求正方形$EFGH$的边长与面积。

(1) 证明：
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $EH // BC$，
∴ $∠ AEH = ∠ B$，$∠ AHE = ∠ C$，
∴ $△ AEH ∽ △ ABC$。
---
(2) 解：
设正方形EFGH的边长为$x\ \mathrm{cm}$，记$AD$与$EH$交于点$M$。
∵ $AD ⊥ BC$，$EH // BC$，
∴ $AD ⊥ EH$，即$AM$是$△ AEH$的高。
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $EF ⊥ BC$，$EH = EF = x$，
∴ 四边形$EFDM$是矩形，得$DM = EF = x$，
∴ $AM = AD - DM = 30 - x$。
由相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EH}{BC} = \frac{AM}{AD}$
将$EH=x$，$BC=40$，$AM=30-x$，$AD=30$代入得：
$\frac{x}{40} = \frac{30 - x}{30}$
解方程：
$30x = 40(30 - x)$
$70x = 1200$
$x = \frac{120}{7}$
正方形EFGH的面积为：
$x^2 = (\frac{120}{7})^2 = \frac{14400}{49}\ \mathrm{cm}^2$
答：正方形EFGH的边长为$\frac{120}{7}\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{14400}{49}\ \mathrm{cm}^2$。

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AC为直径的$\odot O$与BC相交于点D,$DE\bot AB$,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线相交于点F.
(1)求证:DE是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为2,$BE=1$,求CF的长.

(1) 证明：
连接$OD$，
$\because OD=OC$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCD$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ OCD$，
$\therefore ∠ B=∠ ODC$，
$\therefore OD// AB$。
$\because DE⊥ AB$，
$\therefore DE⊥ OD$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore DE$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
$\because \odot O$的半径为$2$，
$\therefore AC=AB=2×2=4$。
$\because BE=1$，
$\therefore AE=AB-BE=4-1=3$。
由(1)知$OD// AB$，$OD⊥ DF$，
$\therefore ∠ FDO=∠ FEA=90°$，
又$\because ∠ F=∠ F$，
$\therefore △ FOD∽△ FAE$，
$\therefore \dfrac{OD}{AE}=\dfrac{OF}{AF}$。
设$CF=x$，则$OF=OC+CF=2+x$，$AF=AC+CF=4+x$，代入得：
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2+x}{4+x}$
交叉相乘得：$2(4+x)=3(2+x)$，
解得$x=2$，经检验$x=2$是原方程的解。
$\therefore CF$的长为$\boldsymbol{2}$。