1.下列方程中,是一元二次方程的有________（填序号）.
①$x^2 + 2 = 0$；②$x^2 + 2x - a = 0$；③$x + \frac{1}{x} - 3 = 0$；④$\sqrt{x^2 + 2x - 3} = 0$；⑤$ax^2 + 3x - 4 = 0$；⑥$y^2 + 2y = 5$；⑦$3x^2 + 2x = 3(x^2 - 2)$；⑧$a^3 - 9a - 1 = 0$.

解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断：
①方程$x^2 + 2 = 0$满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程；
②方程$x^2 + 2x - a = 0$含有$x$、$a$两个未知数，不是一元二次方程；
③方程$x + \frac{1}{x} - 3 = 0$是分式方程，不属于整式方程，不是一元二次方程；
④方程$\sqrt{x^2 + 2x - 3} = 0$是无理方程，不属于整式方程，不是一元二次方程；
⑤方程$ax^2 + 3x - 4 = 0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程为一元一次方程，不是一元二次方程；
⑥方程$y^2 + 2y = 5$满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程；
⑦对$3x^2 + 2x = 3(x^2 - 2)$化简得$2x+6=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
⑧方程$a^3 - 9a - 1 = 0$未知数最高次数为3，是一元三次方程，不是一元二次方程。
综上，是一元二次方程的有$\boldsymbol{①⑥}$。

2.若方程$(m-2)x^{|m|}-bx-1=0$是关于x的一元二次方程，则m的值为。

$\boldsymbol{-2}$

解：根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|m|=2 \\m-2≠0\end{cases}$
由$|m|=2$，解得$m=\pm2$，
由$m-2≠0$，得$m≠2$，
综上，$m=-2$。

3.若关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为.

$\boldsymbol{-3}$

解：
将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项，得：$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项，得：$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
由题意可知该方程为一元二次方程，且一般形式不含一次项，因此：
$\begin{cases}m-3 ≠ 0 \\m^2 -9 = 0\end{cases}$
由$m^2 -9 = 0$，解得$m=\pm3$，
结合$m-3≠0$即$m≠3$，可得$m=-3$。
最终

4.若a是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，则代数式$4a^2 - 2a$的值是。

$\boldsymbol{8}$

解：
∵ a是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程，得$2a^2 = a + 4$，
等式两边同时乘2，得$4a^2 = 2a + 8$，
移项可得$4a^2 - 2a = 8$。

5. 提升题 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一个根为2026，则一元二次方程$a(x-2)^2+b(x-2)+2=0$必有一个根为；若方程$ax^2+bx+2=0$满足$a-b+2=0$，则该方程必有一个根为。

$\boldsymbol{2028}$；$\boldsymbol{-1}$

解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+2=0(a≠0)$有一个根为2026，
∴ 代入得$a·2026^2 + b·2026 + 2 = 0$。
令$t=x-2$，则方程$a(x-2)^2+b(x-2)+2=0$可化为$at^2+bt+2=0$，
可知$t=2026$是该方程的一个根，即$x-2=2026$，解得$x=2028$。
∵ $a-b+2=0$，将$x=-1$代入$ax^2+bx+2$得：
$a·(-1)^2 + b·(-1) + 2 = a - b + 2 = 0$，
∴ $x=-1$是方程$ax^2+bx+2=0$的一个根。

6.《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问:户高、广、邪各几何?
大意:今有门(矩形),不知其高、宽,有竿,不知其长短.横放,竿比门宽长出四尺;竖放,竿比门高出二尺;斜放,竿与门的对角线恰好相等.问:门的高、宽、对角线的长分别是多少?
(1)若设门的对角线的长为x尺,根据题意列出方程;
(2)将上述方程化为一般形式,并指出该方程的二次项系数、一次项系数、常数项.

解：
(1) 设门的对角线的长为$x$尺，则门的宽为$(x-4)$尺，门的高为$(x-2)$尺。
根据勾股定理，列出方程：
$(x-4)^2 + (x-2)^2 = x^2$
(2) 将方程展开、移项、合并同类项化为一般形式：
$\begin{aligned}x^2 - 8x + 16 + x^2 - 4x + 4 &= x^2 \\x^2 - 12x + 20 &= 0\end{aligned}$
该方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$-12$，常数项为$20$。

7. 提升题 已知关于$x$的方程$(m^2 -1)x^2 + (m+1)x +1=0$.
(1)当$m$为何值时,原方程为一元二次方程?
(2)当$m$为何值时,原方程为一元一次方程?

解：
(1) 若原方程为一元二次方程，则二次项系数不为0，即
$m^2 - 1 ≠ 0$
解得 $m ≠ \pm1$。
即当$m ≠ \pm1$时，原方程为一元二次方程。
(2) 若原方程为一元一次方程，则需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，即
$\begin{cases}m^2 - 1 = 0 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 -1=0$得$m=\pm1$，结合$m+1≠0$即$m≠-1$，可得$m=1$。
即当$m=1$时，原方程为一元一次方程。