1.如图,线段$AB=12$,且$C$是它的中点,则$AC$的长为 （）


A.2
B.4
C.6
D.8

1.C

【分析】
解题时先明确已知条件：线段AB的长度为12，点C是AB的中点。我们结合线段中点的定义推导即可：线段中点会将原线段分为两条长度相等的线段，即分得的每一条线段长度都是原线段的一半，因此只需用AB的长度除以2就能得到AC的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，
根据线段中点的定义，可得：$AC=\frac{1}{2}AB$
又
∵$AB=12$
∴$AC=\frac{1}{2}×12=6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于基础题，核心是理解线段中点的性质，直接根据性质代入数值计算即可，解题时注意不要混淆中点分得的线段和原线段的数量关系。
【难度系数】
0.9

2.如图，长度为12 cm的线段AB的中点为M，C为BM的中点，则线段AC的长为。

2.9 cm

【分析】
解题时先利用线段中点的定义求出线段AM、BM的长度，再根据C是BM的中点求出MC的长度，最后根据线段和的关系，AC等于AM加MC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵M是AB的中点，AB=12cm
∴$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\mathrm{cm}$
又
∵C是BM的中点
∴$MC=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$
∴$AC=AM+MC=6+3=9\mathrm{cm}$
【答案】
9 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查线段中点的性质与线段和差的运算，解题核心是熟练运用中点定义拆分线段长度，属于基础题，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3.如图，线段$AB=8$，C是线段AB上一点，$AC=3.2$，M是AB的中点，N是AC的中点，求线段MN的长.

MN=2.4

【分析】
解题时先回忆线段中点的性质：线段中点将线段分为两条长度相等的线段。首先结合已知条件，分别求出线段AM、AN的长度，再观察图形可知线段MN的长度等于AM减去AN，代入数值计算即可得到结果，也可先算NC和MC的长度，通过MN=NC+MC求解。
【解析】
解：
∵ M是AB的中点，AB=8
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
∵ N是AC的中点，AC=3.2
∴ $AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3.2=1.6$
结合图形可得：$MN=AM-AN=4-1.6=2.4$
【答案】
MN=2.4
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是结合图形理清各线段的数量关系，正确运用线段中点的性质列式计算，熟练掌握相关概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 把弯曲的河道改直可以缩短航程，用来解释这一现象的数学知识是（）

A.两点之间的所有连线中，线段最短
B.过一点有无数条直线
C.两点确定一条直线
D.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离

4.A

【分析】
解题时首先要把实际问题转化为数学模型：将弯曲河道的起点和终点看作两个固定的点，弯曲的河道是连接这两点的曲线，改直后的河道是连接这两点的线段。题目问缩短航程的原理，本质是找“两点之间哪种连线长度最短”对应的数学知识，再逐一辨析四个选项的概念，排除和“长度比较”无关的选项，就能选出正确答案。
【解析】
我们把河道的起点和终点看作两个固定点：
1. 原来弯曲的河道是连接这两个点的曲线，改直后的河道是连接这两个点的线段，航程缩短说明线段的长度比曲线更短。
2. 逐一分析选项：
A. 两点之间的所有连线中，线段最短，刚好符合改直缩短航程的原理，表述正确；
B. 过一点有无数条直线，和路程长短没有关联，排除；
C. 两点确定一条直线，描述的是两点只能确定唯一一条直线，不涉及长度比较，排除；
D. 该选项是两点之间距离的定义，不是解释航程缩短的原理，排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 线段的基本性质
2. 两点间距离的定义
3. 直线的性质
【点评】
这道题是几何基本性质的实际应用类题目，解题的核心是把生活场景抽象为两点连线的数学问题，再结合各类基本概念的辨析即可得出答案，注重考查知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.85

5. A,B两点之间的距离是指（）

A.过A,B两点间的直线
B.连接A,B两点间的线段
C.直线AB的长
D.连接A,B两点间的线段的长度

5.D

【分析】
解题时首先回忆两点间距离的核心定义：两点间的距离是一个可度量的数值，而非几何图形。第一步先排除涉及直线的选项：因为直线是无限延伸的，不存在固定长度，因此A、C选项明显不符合要求；第二步辨析剩余选项：B选项描述的是连接A、B的线段，属于几何图形，不是数值类的“距离”，只有D选项描述的线段长度符合距离的定义，即可选出正确答案。
【解析】
根据两点间距离的定义：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，我们逐一分析选项：
A. 过A、B两点的直线是无限延伸的，没有固定长度，不符合距离的概念，错误；
B. 连接A、B两点的线段是几何图形，不是表示长度的数值，错误；
C. 直线无限长，不存在可度量的长度，错误；
D. 连接A、B两点间的线段的长度，完全符合两点间距离的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
两点间的距离；直线的特征；线段的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆“线段”这个几何图形和“线段的长度”这个数值，只要准确牢记两点间距离的定义，区分直线、线段的不同性质，就能轻松做对。
【难度系数】
0.9

6. [易错题]已知A,B,C三点在同一条直线上,则下列可以判断C是线段AB中点的有 （）
①$AC + BC = AB$；②$AC = \frac{1}{2}AB$；③$AC = BC$；④$AB = 2BC$.

A.③
B.②④
C.②③④
D.①③④

6.A

【分析】
要判断点C是否为线段AB的中点，首先明确线段中点的判定核心：一是点C必须在线段AB上，二是点C将线段AB分成两条长度相等的线段（即AC=BC）。接下来我们结合三点共线的前提，逐个分析4个条件是否满足这两个核心要求，排除不成立的情况即可得出正确结论。
【解析】
首先回忆线段中点的定义：若点C在线段AB上，且AC=BC=$\frac{1}{2}$AB，则点C是线段AB的中点。结合A、B、C三点共线的前提，逐个分析：
① 当点C是线段AB上任意一点时，都满足AC+BC=AB，无法说明AC=BC，因此不能判定C是线段AB的中点；
② 若点C在BA的延长线上时，也可能出现AC=$\frac{1}{2}$AB的情况，此时C不在线段AB上，不符合中点要求，因此不能判定；
③ 已知三点共线，若AC=BC，则点C不可能在线段AB的延长线或反向延长线上，必然在线段AB上，且满足AC=BC，符合中点定义，因此可以判定；
④ 若点C在AB的延长线上时，也可能出现AB=2BC的情况，此时C不在线段AB上，不符合中点要求，因此不能判定。
综上，只有③可以判定C是线段AB的中点，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段中点判定的易错题，解题时容易忽略点C可能在线段AB的延长线或反向延长线上的情况，牢记中点判定必须同时满足“点在线段上”和“分线段为等长的两段”两个条件，即可避免出错。
【难度系数】
0.6

7.已知线段AB,在线段AB的延长线上取一点C,使$AB=\frac{1}{2}BC$,M是线段AC的中点.若$AB=20$,则线段BM的长为（）

A.5
B.10
C.15
D.30

7.B

【分析】
解题时先从已知条件入手：第一步，根据AB的长度和AB与BC的数量关系求出BC的长度；第二步，结合点C在AB延长线上的位置关系，求出AC的总长度；第三步，利用线段中点的性质算出AM的长度；最后通过线段的差计算出BM的长度即可得到答案。
【解析】
解：已知$AB=20$，且$AB=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore BC=2AB=2×20=40$，
$\because$点C在线段AB的延长线上，
$\therefore AC=AB+BC=20+40=60$，
$\because$M是线段AC的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×60=30$，
$\therefore BM=AM-AB=30-20=10$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题属于线段计算的常规基础题，解题核心是理清各线段的位置关系和数量关系，结合中点性质逐步推导即可，解题时注意不要混淆各线段的比例关系。
【难度系数】
0.8

8.[分类讨论思想](1)已知线段$AB=8$,在直线$AB$上作线段$BC$,使得$BC=4$.若$D$是线段$AC$的中点,则线段$AD$的长为.
(2)有两根木条,其中一根长$10\ \mathrm{cm}$,另一根长$12\ \mathrm{cm}$,将它们一端重合且放在同一条直线上,此时两根木条的中点之间的距离为.

(1)2或6 (2)1 cm或11 cm

【分析】
这两道题都存在位置不确定的情况，需运用分类讨论思想求解：
(1)题中线段BC在直线AB上，点C的位置有两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。先分别计算两种情况下AC的长度，再结合线段中点的定义即可求出AD的长。
(2)题中两根木条一端重合放在同一直线上，摆放方式有两种：①两根木条在重合端的同侧（同向叠放）；②两根木条在重合端的两侧（反向摆放）。分别计算两种摆放方式下两个中点到重合端的距离的和或差，即可得到中点间的距离。
【解析】
(1)分两种情况讨论：
情况1：当点C在线段AB上时，
$AC=AB-BC=8-4=4$，
∵D是线段AC的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$；
情况2：当点C在线段AB的延长线上时，
$AC=AB+BC=8+4=12$，
∵D是线段AC的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$；
综上，线段AD的长为2或6。
(2)分两种情况讨论：
12cm长木条的中点到重合端的距离为$12÷2=6\ \mathrm{cm}$，10cm长木条的中点到重合端的距离为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
情况1：两根木条放在重合端的同侧时，
两中点的距离为$6-5=1\ \mathrm{cm}$；
情况2：两根木条放在重合端的两侧时，
两中点的距离为$6+5=11\ \mathrm{cm}$；
综上，两根木条的中点之间的距离为1 cm或11 cm。
【答案】
(1)2或6 (2)1 cm或11 cm
【知识点】
线段中点计算，线段和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题考查线段中点性质和线段和差的应用，解题的核心是注意点或线段位置的不确定性，合理分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

9.[新课标—探究题]如图,点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AC=8,BC=6,求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任意一点,且满足AC+BC=a,其他条件不变,你能猜想出线段MN的长吗?并说明理由.
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC−BC=b,M,N分别为AC,BC的中点,请写出MN的长,不用说明理由.

(1)$MN=7$
(2)$MN=\frac{1}{2}a$,理由略.
(3)$MN=\frac{1}{2}b$

【分析】
本题围绕线段中点的性质展开，解题思路如下：
1. 首先明确线段中点的性质：若一点是线段的中点，则该点把线段分成两条长度相等的线段，长度均为原线段的$\frac{1}{2}$。
2. 第(1)问：观察图形可知$MN=MC+CN$，结合M、N分别是AC、BC的中点，可得$MC=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，代入已知AC、BC的长度计算即可。
3. 第(2)问：类比第(1)问的推导过程，将$AC+BC$整体替换为$a$，即可得出MN和$a$的数量关系。
4. 第(3)问：当C在AB延长线上时，$MN=MC-CN$，再结合中点性质，将$AC-BC$替换为$b$即可得出结果。
【解析】
(1) 因为M是AC的中点，$AC=8$，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
因为N是BC的中点，$BC=6$，所以$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
所以$MN=MC+CN=4+3=7$。
(2) 猜想$MN=\frac{1}{2}a$，理由如下：
因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
因为N是BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$。
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为$AC+BC=a$，所以$MN=\frac{1}{2}a$。
(3) 根据线段中点性质和线段差的关系，可得$MN=\frac{1}{2}b$。
【答案】
(1) $MN=7$
(2) $MN=\frac{1}{2}a$
(3) $MN=\frac{1}{2}b$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设置点C的不同位置，考查对线段中点性质的灵活运用，解题时注意结合图形分析线段间的和差关系，同时体会整体代换思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7