9.如图,以平行四边形ABCD的边AB,CD为边,作等边△ABE和等边△CDF,连接DE,BF。求证:四边形BFDE是平行四边形。

证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB=CD$,$AD=BC$,$∠ BAD=∠ DCB$。
$\because △ ABE$和$△ CDF$是等边三角形,
$\therefore BE=AE=AB=CD=CF=DF$,$∠ BAE=∠ DCF=60°$,
$\therefore ∠ DCB-∠ DCF=∠ DAB-∠ BAE$,
即$∠ DAE=∠ FCB$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中,
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠ DAE=∠ BCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DE=BF$。
又$\because BE=DF$,
$\therefore$ 四边形$BFDE$为平行四边形。

【分析】
要证明四边形BFDE是平行四边形，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法推导：①首先利用平行四边形ABCD的性质得到对边相等、对角相等，结合等边三角形三边相等、内角为60°的性质，可得BE=DF，同时得到△ADE和△CBF的两组对应边相等；②再通过角度的和差计算推出∠DAE=∠BCF，证明△ADE≌△CBF得到DE=BF；③最后结合两组对边分别相等即可判定四边形BFDE是平行四边形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠DCB。
∵ △ABE和△CDF是等边三角形，
∴ BE=AE=AB=CD=CF=DF，∠BAE=∠DCF=60°，
∴ ∠DCB - ∠DCF = ∠DAB - ∠BAE，即∠DAE=∠FCB。
在△ADE和△CBF中，
$\begin{cases} AD=CB \\ ∠DAE=∠BCF \\ AE=CF \end{cases}$
∴ △ADE≌△CBF（SAS），
∴ DE=BF。
又
∵ BE=DF，
∴ 四边形BFDE为平行四边形。
【答案】
四边形BFDE是平行四边形
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定（SAS）
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、等边三角形、全等三角形的知识结合考查，解题关键是找准全等三角形的边角相等关系，熟练掌握平行四边形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10.某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示,测得$GD=CE=DF=50\ \mathrm{cm}$,$AB=20\ \mathrm{cm}$,$EF=80\ \mathrm{cm}$,$∠ GBA+∠ FEC=180°$,$∠ GFE=90°$。已知$AB// CD// EF$。
(1)求证:四边形$ACDB$是平行四边形；
(2)求椅子最高点$G$到地面$EF$的距离。

(1)证明:$\because AB// CD// EF$,$∠ GBA+∠ FEC=180°$,
$\therefore ∠ ABG=∠ CDG$,$∠ ACD=∠ FEC$,
则$∠ ACD+∠ GBA=180°$,
$\therefore AC// BD$,
$\therefore$ 四边形$ACDB$是平行四边形。
(2)解:$\because$ 四边形$ACDB$是平行四边形,
$\therefore CD=AB=20\ \mathrm{cm}$。
延长$GD$交$EF$于$H$。
由(1)可知,$DH// AE$,$CD// EH$,
$\therefore$ 四边形$CEHD$是平行四边形,
$\therefore DH=CE=50\ \mathrm{cm}$,$EH=CD=20\ \mathrm{cm}$,
则$GH=GD+DH=100\ \mathrm{cm}$,$HF=EF-EH=60\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ GFH=90°$,
$\therefore GF=\sqrt{GH^2-HF^2}=\sqrt{100^2-60^2}=80(\mathrm{cm})$,
因此,椅子最高点$G$到地面$EF$的距离为$80\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 要证明四边形$ACDB$是平行四边形，已知$AB// CD$，因此只需证明另一组对边$AC// BD$即可。结合已知$∠GBA+∠FEC=180°$和平行线的同位角相等的性质，可推导得到$AC$、$BD$被$CD$所截形成的同旁内角互补，从而得到$AC// BD$，即可完成证明。
(2) 求点$G$到$EF$的距离，已知$∠GFE=90°$即$GF⊥ EF$，因此$GF$的长度就是所求距离。首先利用平行四边形性质得到$CD$的长度，通过延长$GD$交$EF$于$H$，证明四边形$CEHD$是平行四边形，得到$DH$、$EH$的长度，进而求出$GH$、$HF$的长度，最后在$Rt△ GFH$中用勾股定理计算$GF$的长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD// EF$，$∠ GBA+∠ FEC=180°$，
$\therefore ∠ ABG=∠ CDG$，$∠ ACD=∠ FEC$，
则$∠ ACD+∠ GBA=180°$，
$\therefore AC// BD$，
$\therefore$ 四边形$ACDB$是平行四边形。
(2) 解：$\because$ 四边形$ACDB$是平行四边形，
$\therefore CD=AB=20\ \mathrm{cm}$。
延长$GD$交$EF$于$H$。
由(1)可知，$DH// AE$，$CD// EH$，
$\therefore$ 四边形$CEHD$是平行四边形，
$\therefore DH=CE=50\ \mathrm{cm}$，$EH=CD=20\ \mathrm{cm}$，
则$GH=GD+DH=50+50=100\ \mathrm{cm}$，$HF=EF-EH=80-20=60\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ GFH=90°$，
$\therefore GF=\sqrt{GH^2-HF^2}=\sqrt{100^2-60^2}=80(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 四边形$ACDB$是平行四边形，得证；
(2) $\boxed{80\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查了基础几何定理的综合应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造平行四边形和直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7

11. 如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，点E，F分别在边AD，BC上且AE=CF，连接EF，与AC相交于点O。求证：OA=OC。

证明:$\because AB=CD$,$BC=AD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
又$\because AE=CF$,$∠ AOE=∠ COF$,
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS})$,$\therefore OA=OC$。

【分析】
要证明OA=OC，可通过证明△AOE和△COF全等来推导。首先结合已知条件AB=CD、BC=AD，根据平行四边形的判定定理可先判定四边形ABCD是平行四边形，进而得到AD//BC，推出内错角∠EAO=∠FCO；再结合已知的AE=CF，以及对顶角相等的性质，即可用AAS判定△AOE和△COF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到OA=OC。
【解析】
证明:$\because AB=CD$,$BC=AD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
又$\because AE=CF$,$∠ AOE=∠ COF$,
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OA=OC$。
【答案】
证明过程如上，可得$OA=OC$。
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是从已知边的关系出发，先判定平行四边形得到等角条件，再通过全等三角形的性质推导结论，需要熟练掌握基础几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8