登录
例1:《墨经》中记载:“圆,一中同长也。”下面不能通过这句话直接解释的是(
A.篝火晚会上,人们自然地围成圆
B.圆形井盖怎么放都不会掉进井里
C.以同一点为圆心可以画无数个圆
D.套圈游戏时,同学们围成圆更公平
答案:C
C
)。A.篝火晚会上,人们自然地围成圆
B.圆形井盖怎么放都不会掉进井里
C.以同一点为圆心可以画无数个圆
D.套圈游戏时,同学们围成圆更公平
答案:C
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要理解古文“圆，一中同长也”的含义：“一中”指圆有1个圆心，“同长”指同一个圆中，圆心到圆上任意一点的距离（即半径）都相等，这是本题的核心判断依据。接下来逐一分析每个选项的原理，判断是否用到“同一个圆半径相等”的特点，找出不符合的选项即可。
【解析】
首先明确“圆，一中同长也”的意思：圆有一个中心点（圆心），同一个圆内圆心到圆上任意一点的距离（半径）都相等。
对各选项分析如下：
A. 篝火相当于圆心，人们围成圆时站在圆上，每个人到篝火的距离都相等，观看体验更好，符合“一中同长”的特点，可以直接解释；
B. 圆形井盖的圆心到井盖边缘任意一点的距离都相等，因此无论怎么翻转井盖，井盖的直径都大于井口宽度，不会掉进井里，用到了“同长”的性质，可以直接解释；
C. 以同一点为圆心可以画无数个圆，是因为半径可以取任意不同的长度，和“一中同长”中“同一个圆半径相等”的含义无关，不能直接解释；
D. 套圈的目标相当于圆心，同学们围成圆站在圆上，每个人到目标的距离都相等，游戏更公平，符合“一中同长”的特点，可以直接解释。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本特征，半径的性质
【点评】
本题结合传统古文记载考查圆的基础性质，需要学生先理解古文描述的数学规律，再结合生活实例分析判断，能够有效考查数学知识在生活中的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解古文“圆，一中同长也”的含义：“一中”指圆有1个圆心，“同长”指同一个圆中，圆心到圆上任意一点的距离（即半径）都相等，这是本题的核心判断依据。接下来逐一分析每个选项的原理，判断是否用到“同一个圆半径相等”的特点，找出不符合的选项即可。
【解析】
首先明确“圆，一中同长也”的意思：圆有一个中心点（圆心），同一个圆内圆心到圆上任意一点的距离（半径）都相等。
对各选项分析如下：
A. 篝火相当于圆心，人们围成圆时站在圆上，每个人到篝火的距离都相等，观看体验更好，符合“一中同长”的特点，可以直接解释；
B. 圆形井盖的圆心到井盖边缘任意一点的距离都相等，因此无论怎么翻转井盖，井盖的直径都大于井口宽度，不会掉进井里，用到了“同长”的性质，可以直接解释；
C. 以同一点为圆心可以画无数个圆，是因为半径可以取任意不同的长度，和“一中同长”中“同一个圆半径相等”的含义无关，不能直接解释；
D. 套圈的目标相当于圆心，同学们围成圆站在圆上，每个人到目标的距离都相等，游戏更公平，符合“一中同长”的特点，可以直接解释。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本特征，半径的性质
【点评】
本题结合传统古文记载考查圆的基础性质，需要学生先理解古文描述的数学规律，再结合生活实例分析判断，能够有效考查数学知识在生活中的应用能力。
【难度系数】
0.7
练习1:数学家欧几里得将圆定义为“同一平面内到某一点的距离相等的点的集合”。下面不能通过这句话直接解释的是（
A. 圆形车轮滚动时,车轴到地面的距离始终保持不变
B. 用圆规画圆时,固定一个端点、旋转另一个端点就能画出圆
C. 两个大小不同的圆,形状相同但大小不同
D. 圆形钟面上,1~12每个数字到钟面中心的距离都相等
例2:乐乐家为了迎接新年,购置了一张崭新的圆形餐桌,寓意着团团圆圆。这张餐桌桌面的直径是1.2米。
(1) 这张餐桌桌面的面积是多少平方米?
(2) 给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带,这圈装饰带至少需要多少米?(得数保留两位小数)
答案:(1) $π × (1.2 ÷ 2)^2 = 0.36π$(平方米)
答:这张餐桌桌面的面积是$0.36π$平方米。
(2) $π × 1.2 \approx 3.77$(米)
答:这圈装饰带至少需要3.77米。
C
）。A. 圆形车轮滚动时,车轴到地面的距离始终保持不变
B. 用圆规画圆时,固定一个端点、旋转另一个端点就能画出圆
C. 两个大小不同的圆,形状相同但大小不同
D. 圆形钟面上,1~12每个数字到钟面中心的距离都相等
例2:乐乐家为了迎接新年,购置了一张崭新的圆形餐桌,寓意着团团圆圆。这张餐桌桌面的直径是1.2米。
(1) 这张餐桌桌面的面积是多少平方米?
(2) 给餐桌的边缘贴上一圈喜庆的装饰带,这圈装饰带至少需要多少米?(得数保留两位小数)
答案:(1) $π × (1.2 ÷ 2)^2 = 0.36π$(平方米)
答:这张餐桌桌面的面积是$0.36π$平方米。
(2) $π × 1.2 \approx 3.77$(米)
答:这圈装饰带至少需要3.77米。
答案
练习1答案：C
(1) $π × (1.2 ÷ 2)^2 = 0.36π$(平方米)
答:这张餐桌桌面的面积是$0.36π$平方米。
(2) $π × 1.2 \approx 3.77$(米)
答:这圈装饰带至少需要3.77米。
(1) $π × (1.2 ÷ 2)^2 = 0.36π$(平方米)
答:这张餐桌桌面的面积是$0.36π$平方米。
(2) $π × 1.2 \approx 3.77$(米)
答:这圈装饰带至少需要3.77米。
解析
【分析】
练习1解题思路：首先明确题干给出的圆的定义核心是“同一平面内，到固定点（圆心）的距离相等的所有点组成的图形”，逐一判断每个选项是否能直接用“到定点距离相等”这一核心特征解释即可。
例2解题思路：(1) 求圆形餐桌的面积，需要先根据直径求出半径，再代入圆的面积公式$S=π r^2$计算；(2) 求餐桌边缘装饰带的长度，就是求圆形桌面的周长，直接代入圆的周长公式$C=π d$计算，按要求保留两位小数即可。
【解析】
练习1解析
圆的定义核心为“同一平面内，圆上所有点到圆心的距离都相等”：
A选项：车轮为圆形，车轴是圆心，车轮上各点到车轴的距离都等于半径，因此滚动时车轴到地面的距离始终等于半径保持不变，可由定义直接解释。
B选项：圆规固定的端点是圆心，旋转的端点到固定端点的距离始终为定长（半径），因此旋转一周画出的图形就是圆，可由定义直接解释。
C选项：两个大小不同的圆形状相同是圆的共性特征，大小不同是因为半径长度不同，无法通过“到定点距离相等的点的集合”这一定义直接解释。
D选项：钟面中心是圆心，1~12的数字都在钟面的圆上，到中心的距离都等于半径，可由定义直接解释。
例2解析
(1) 已知圆形桌面直径$d=1.2$米，先求半径：$r = d÷2 = 1.2÷2 = 0.6$米
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入得：
$S = π×(0.6)^2 = 0.36π$（平方米）
(2) 装饰带的长度就是圆形桌面的周长，根据圆的周长公式$C=π d$，代入得：
$C = π×1.2 \approx 3.1416×1.2 \approx 3.77$（米）
【答案】
练习1答案：C
(1) $π × (1.2 ÷ 2)^2 = 0.36π$(平方米)
答:这张餐桌桌面的面积是$0.36π$平方米。
(2) $π × 1.2 \approx 3.77$(米)
答:这圈装饰带至少需要3.77米。
【知识点】
圆的定义、圆的面积计算、圆的周长计算
【点评】
这组题目结合生活场景考查圆的基础概念和公式应用，既考察对圆的核心特征的理解，又锻炼了运用圆的周长、面积公式解决实际问题的能力，贴合生活实用性强。
【难度系数】
0.7
练习1解题思路：首先明确题干给出的圆的定义核心是“同一平面内，到固定点（圆心）的距离相等的所有点组成的图形”，逐一判断每个选项是否能直接用“到定点距离相等”这一核心特征解释即可。
例2解题思路：(1) 求圆形餐桌的面积，需要先根据直径求出半径，再代入圆的面积公式$S=π r^2$计算；(2) 求餐桌边缘装饰带的长度，就是求圆形桌面的周长，直接代入圆的周长公式$C=π d$计算，按要求保留两位小数即可。
【解析】
练习1解析
圆的定义核心为“同一平面内，圆上所有点到圆心的距离都相等”：
A选项：车轮为圆形，车轴是圆心，车轮上各点到车轴的距离都等于半径，因此滚动时车轴到地面的距离始终等于半径保持不变，可由定义直接解释。
B选项：圆规固定的端点是圆心，旋转的端点到固定端点的距离始终为定长（半径），因此旋转一周画出的图形就是圆，可由定义直接解释。
C选项：两个大小不同的圆形状相同是圆的共性特征，大小不同是因为半径长度不同，无法通过“到定点距离相等的点的集合”这一定义直接解释。
D选项：钟面中心是圆心，1~12的数字都在钟面的圆上，到中心的距离都等于半径，可由定义直接解释。
例2解析
(1) 已知圆形桌面直径$d=1.2$米，先求半径：$r = d÷2 = 1.2÷2 = 0.6$米
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入得：
$S = π×(0.6)^2 = 0.36π$（平方米）
(2) 装饰带的长度就是圆形桌面的周长，根据圆的周长公式$C=π d$，代入得：
$C = π×1.2 \approx 3.1416×1.2 \approx 3.77$（米）
【答案】
练习1答案：C
(1) $π × (1.2 ÷ 2)^2 = 0.36π$(平方米)
答:这张餐桌桌面的面积是$0.36π$平方米。
(2) $π × 1.2 \approx 3.77$(米)
答:这圈装饰带至少需要3.77米。
【知识点】
圆的定义、圆的面积计算、圆的周长计算
【点评】
这组题目结合生活场景考查圆的基础概念和公式应用，既考察对圆的核心特征的理解，又锻炼了运用圆的周长、面积公式解决实际问题的能力，贴合生活实用性强。
【难度系数】
0.7
例3:如图,把一个圆沿半径平均分成若干份,再拼成一个近似的长方形。已知这个长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米,原来圆的面积是多少平方厘米?
答案:$π×(6÷2)^2=9π$(平方厘米)
答:原来圆的面积是$9π$平方厘米。
答案:$π×(6÷2)^2=9π$(平方厘米)
答:原来圆的面积是$9π$平方厘米。
答案
$π×(6÷2)^2=9π$(平方厘米)
答:原来圆的面积是$9π$平方厘米。
答:原来圆的面积是$9π$平方厘米。
解析
【分析】
首先明确圆剪拼成近似长方形的对应关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。对比两者周长可发现，长方形的周长=圆的周长+2×半径，因此周长增加的部分就是2条半径的长度。我们先根据增加的6厘米求出圆的半径，再代入圆的面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：拼成近似长方形后，周长增加的部分为2条圆的半径的长度。
1. 计算圆的半径：
$r=6÷2=3$（厘米）
2. 根据圆的面积公式$S=π r^2$计算面积：
$S=π×3^2=9π$（平方厘米）
【答案】
原来圆的面积是$9π$平方厘米。
【知识点】
1. 圆面积推导原理
2. 圆的面积计算
【点评】
本题是圆面积推导相关的典型题型，解题核心是抓住圆剪拼成近似长方形后的周长变化规律，明确增加的周长对应两条半径的长度，即可快速求出半径完成计算。
【难度系数】
0.7
首先明确圆剪拼成近似长方形的对应关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。对比两者周长可发现，长方形的周长=圆的周长+2×半径，因此周长增加的部分就是2条半径的长度。我们先根据增加的6厘米求出圆的半径，再代入圆的面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：拼成近似长方形后，周长增加的部分为2条圆的半径的长度。
1. 计算圆的半径：
$r=6÷2=3$（厘米）
2. 根据圆的面积公式$S=π r^2$计算面积：
$S=π×3^2=9π$（平方厘米）
【答案】
原来圆的面积是$9π$平方厘米。
【知识点】
1. 圆面积推导原理
2. 圆的面积计算
【点评】
本题是圆面积推导相关的典型题型，解题核心是抓住圆剪拼成近似长方形后的周长变化规律，明确增加的周长对应两条半径的长度，即可快速求出半径完成计算。
【难度系数】
0.7
练习3:探究圆的面积时,我们可以把圆转化成一个近似的梯形。请根据下图推导出圆的面积。
如果圆的半径用r来表示,那么梯形的上底与下底的和相当于圆(
梯形的面积=(a+b)×h÷2
圆的面积 =
由此,可以得到圆的面积S=
如果圆的半径用r来表示,那么梯形的上底与下底的和相当于圆(
周长的一半
),可以表示为(πr
),高可以表示为(2r
)。梯形的面积=(a+b)×h÷2
圆的面积 =
πr×2r
÷2由此,可以得到圆的面积S=
πr²
。答案
周长的一半 πr 2r πr×2r πr²
解析
【分析】
解题时我们用到转化的数学思想，把圆转化为已学过面积计算的梯形来推导圆的面积，思考步骤如下：第一步先找梯形各部分和圆各部分的对应关系：把圆平均分成若干偶数等份拼接成近似梯形时，梯形上底加下底的和是拼接所用小扇形的弧长总和，刚好等于圆周长的一半；第二步找梯形的高，拼接时梯形的高等于2个圆的半径长度；第三步把对应的量代入梯形面积公式，化简后就能得到圆的面积公式。
【解析】
我们知道圆的周长$C=2π r$，所以梯形的上底与下底的和相当于圆周长的一半，可表示为$2π r÷2=π r$；
拼接成的近似梯形的高等于2个圆的半径，可表示为$2r$；
根据梯形面积公式$S_{梯形}=(a+b)× h÷2$，把上底加下底的和$π r$、高$2r$代入公式，可得：
圆的面积$=π r×2r÷2$
化简计算：$π r×2r÷2=π r^2$，即圆的面积$S=π r^2$。
【答案】
周长的一半；$π r$；$2r$；$π r×2r$；$π r^2$
【知识点】
圆面积推导；梯形面积计算；圆的周长
【点评】
本题借助转化思想将未知的圆面积转化为已知的梯形面积推导，能加深对圆面积公式由来的理解，掌握转化法在几何公式推导中的用法。
【难度系数】
0.7
解题时我们用到转化的数学思想，把圆转化为已学过面积计算的梯形来推导圆的面积，思考步骤如下：第一步先找梯形各部分和圆各部分的对应关系：把圆平均分成若干偶数等份拼接成近似梯形时，梯形上底加下底的和是拼接所用小扇形的弧长总和，刚好等于圆周长的一半；第二步找梯形的高，拼接时梯形的高等于2个圆的半径长度；第三步把对应的量代入梯形面积公式，化简后就能得到圆的面积公式。
【解析】
我们知道圆的周长$C=2π r$，所以梯形的上底与下底的和相当于圆周长的一半，可表示为$2π r÷2=π r$；
拼接成的近似梯形的高等于2个圆的半径，可表示为$2r$；
根据梯形面积公式$S_{梯形}=(a+b)× h÷2$，把上底加下底的和$π r$、高$2r$代入公式，可得：
圆的面积$=π r×2r÷2$
化简计算：$π r×2r÷2=π r^2$，即圆的面积$S=π r^2$。
【答案】
周长的一半；$π r$；$2r$；$π r×2r$；$π r^2$
【知识点】
圆面积推导；梯形面积计算；圆的周长
【点评】
本题借助转化思想将未知的圆面积转化为已知的梯形面积推导，能加深对圆面积公式由来的理解，掌握转化法在几何公式推导中的用法。
【难度系数】
0.7
