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例 如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP顺时针旋转，使点A与点C重合，这时点P旋转到了点G。
(1)请画出旋转后的图形，并写出此时△APB绕点B旋转了多少度？
(2)求PG的长。
(3)请你猜想△PGC的形状，并说明理由。
解:(1)旋转后的△BCG如图所示，此时△APB绕点B旋转了90°。
(2)如图，连接PG。由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°。
∴ △BPG为等腰直角三角形。
又 BP=BG=2，
∴ PG=$\sqrt{BP^2+BG^2}$=2$\sqrt{2}$。
(3)△PGC为直角三角形。理由如下：
由旋转的性质可知CG=AP=1。
∵ PC=3，PG=2$\sqrt{2}$，
∴ PG²+CG²=(2$\sqrt{2}$)²+1²=9，PC²=9，
∴ PG²+CG²=PC²。
∴ △PGC为直角三角形，且∠PGC=90°。
方法点拨 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用。解本题的关键是由旋转角为90°，对应边相等，得出△BPG是等腰直角三角形。
(1)请画出旋转后的图形，并写出此时△APB绕点B旋转了多少度？
(2)求PG的长。
(3)请你猜想△PGC的形状，并说明理由。
解:(1)旋转后的△BCG如图所示，此时△APB绕点B旋转了90°。
(2)如图，连接PG。由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°。
∴ △BPG为等腰直角三角形。
又 BP=BG=2，
∴ PG=$\sqrt{BP^2+BG^2}$=2$\sqrt{2}$。
(3)△PGC为直角三角形。理由如下：
由旋转的性质可知CG=AP=1。
∵ PC=3，PG=2$\sqrt{2}$，
∴ PG²+CG²=(2$\sqrt{2}$)²+1²=9，PC²=9，
∴ PG²+CG²=PC²。
∴ △PGC为直角三角形，且∠PGC=90°。
方法点拨 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用。解本题的关键是由旋转角为90°，对应边相等，得出△BPG是等腰直角三角形。
答案
解：
(1) 旋转后的△BCG如图所示，此时△APB绕点B旋转了90°。
(2) 连接PG。
由旋转的性质可知 $BP=BG$，$∠ PBG=∠ ABC=90°$，
∴ $△ BPG$ 为等腰直角三角形。
又 $BP=BG=2$，
∴ $PG=\sqrt{BP^2+BG^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
(3) $△ PGC$ 为直角三角形，理由如下：
由旋转的性质可知 $CG=AP=1$。
∵ $PC=3$，$PG=2\sqrt{2}$，
∴ $PG^2+CG^2=(2\sqrt{2})^2+1^2=9$，$PC^2=3^2=9$，
∴ $PG^2+CG^2=PC^2$，
∴ $△ PGC$ 为直角三角形，且 $∠ PGC=90°$。
(1) 旋转后的△BCG如图所示，此时△APB绕点B旋转了90°。
(2) 连接PG。
由旋转的性质可知 $BP=BG$，$∠ PBG=∠ ABC=90°$，
∴ $△ BPG$ 为等腰直角三角形。
又 $BP=BG=2$，
∴ $PG=\sqrt{BP^2+BG^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
(3) $△ PGC$ 为直角三角形，理由如下：
由旋转的性质可知 $CG=AP=1$。
∵ $PC=3$，$PG=2\sqrt{2}$，
∴ $PG^2+CG^2=(2\sqrt{2})^2+1^2=9$，$PC^2=3^2=9$，
∴ $PG^2+CG^2=PC^2$，
∴ $△ PGC$ 为直角三角形，且 $∠ PGC=90°$。
解析
【分析】
解题时围绕旋转的性质逐步推导即可：
(1) 旋转中心为点B，旋转后点A与点C重合，结合正方形内角为90°的性质，可知旋转角等于∠ABC的度数，即90°，再按照旋转作图的要求画出△BCG即可。
(2) 连接PG后，由旋转性质可得BP=BG，且旋转角∠PBG=∠ABC=90°，因此△BPG为等腰直角三角形，已知BP的长度，代入勾股定理即可求出PG的长。
(3) 先根据旋转性质得到CG=AP=1，再结合已知的PC长度和第(2)问求出的PG长度，分别计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，即可判断△PGC的形状。
【解析】
(1) 旋转后的△BCG如图所示，此时△APB绕点B旋转了90°。
(2) 连接PG。
由旋转的性质可知 $BP=BG$，$∠ PBG=∠ ABC=90°$，
∴ $△ BPG$ 为等腰直角三角形。
又 $BP=BG=2$，
∴ $PG=\sqrt{BP^2+BG^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
(3) $△ PGC$ 为直角三角形，理由如下：
由旋转的性质可知 $CG=AP=1$。
∵ $PC=3$，$PG=2\sqrt{2}$，
∴ $PG^2+CG^2=(2\sqrt{2})^2+1^2=9$，$PC^2=3^2=9$，
∴ $PG^2+CG^2=PC^2$，
∴ $△ PGC$ 为直角三角形，且 $∠ PGC=90°$。
【答案】
(1) 旋转后的△BCG见作图，△APB绕点B旋转了90°；
(2) $PG=2\sqrt{2}$；
(3) △PGC为直角三角形，∠PGC=90°。
【知识点】
旋转的性质；勾股定理及逆定理；正方形的性质
【点评】
本题属于旋转应用的基础综合题，将正方形性质、旋转性质与勾股相关知识结合考查，解题的核心是通过旋转得到等腰直角三角形，转化已知边长的位置关系，进而完成求解和证明。
【难度系数】
0.7
解题时围绕旋转的性质逐步推导即可：
(1) 旋转中心为点B，旋转后点A与点C重合，结合正方形内角为90°的性质，可知旋转角等于∠ABC的度数，即90°，再按照旋转作图的要求画出△BCG即可。
(2) 连接PG后，由旋转性质可得BP=BG，且旋转角∠PBG=∠ABC=90°，因此△BPG为等腰直角三角形，已知BP的长度，代入勾股定理即可求出PG的长。
(3) 先根据旋转性质得到CG=AP=1，再结合已知的PC长度和第(2)问求出的PG长度，分别计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，即可判断△PGC的形状。
【解析】
(1) 旋转后的△BCG如图所示，此时△APB绕点B旋转了90°。
(2) 连接PG。
由旋转的性质可知 $BP=BG$，$∠ PBG=∠ ABC=90°$，
∴ $△ BPG$ 为等腰直角三角形。
又 $BP=BG=2$，
∴ $PG=\sqrt{BP^2+BG^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
(3) $△ PGC$ 为直角三角形，理由如下：
由旋转的性质可知 $CG=AP=1$。
∵ $PC=3$，$PG=2\sqrt{2}$，
∴ $PG^2+CG^2=(2\sqrt{2})^2+1^2=9$，$PC^2=3^2=9$，
∴ $PG^2+CG^2=PC^2$，
∴ $△ PGC$ 为直角三角形，且 $∠ PGC=90°$。
【答案】
(1) 旋转后的△BCG见作图，△APB绕点B旋转了90°；
(2) $PG=2\sqrt{2}$；
(3) △PGC为直角三角形，∠PGC=90°。
【知识点】
旋转的性质；勾股定理及逆定理；正方形的性质
【点评】
本题属于旋转应用的基础综合题，将正方形性质、旋转性质与勾股相关知识结合考查，解题的核心是通过旋转得到等腰直角三角形，转化已知边长的位置关系，进而完成求解和证明。
【难度系数】
0.7
