登录
【例3】如图，已知$△ ABC$和$△ A'B'C'$关于点$O$中心对称，则下列结论错误的是 （
A.$∠ ABC=∠ A'B'C'$
B.$∠ AOC=∠ A'OC'$
C.$AB=A'B'$
D.$OA=OB'$
D
）A.$∠ ABC=∠ A'B'C'$
B.$∠ AOC=∠ A'OC'$
C.$AB=A'B'$
D.$OA=OB'$
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要明确中心对称的相关性质：成中心对称的两个图形全等，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分，再结合对顶角相等的性质，逐一分析四个选项即可找出错误结论。首先，由两个三角形中心对称可得二者全等，可直接判断A、C选项的正误；其次，观察∠AOC和∠A'OC'的位置关系，二者是对顶角，相等，可判断B选项正误；最后根据对应点到对称中心距离相等，判断D选项即可。
【解析】
∵△ABC和△A'B'C'关于点O中心对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴对应角∠ABC=∠A'B'C'，对应边AB=A'B'，故A、C选项结论正确，不符合题意；
∠AOC与∠A'OC'是对顶角，根据对顶角相等可得∠AOC=∠A'OC'，故B选项结论正确，不符合题意；
根据中心对称的性质：对应点到对称中心的距离相等，点A的对应点为A'，因此OA=OA'，OA和OB'没有相等的关系，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查中心对称性质的应用，解题的关键是熟练掌握中心对称的特征，结合相关几何性质逐一判断选项即可。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确中心对称的相关性质：成中心对称的两个图形全等，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分，再结合对顶角相等的性质，逐一分析四个选项即可找出错误结论。首先，由两个三角形中心对称可得二者全等，可直接判断A、C选项的正误；其次，观察∠AOC和∠A'OC'的位置关系，二者是对顶角，相等，可判断B选项正误；最后根据对应点到对称中心距离相等，判断D选项即可。
【解析】
∵△ABC和△A'B'C'关于点O中心对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴对应角∠ABC=∠A'B'C'，对应边AB=A'B'，故A、C选项结论正确，不符合题意；
∠AOC与∠A'OC'是对顶角，根据对顶角相等可得∠AOC=∠A'OC'，故B选项结论正确，不符合题意；
根据中心对称的性质：对应点到对称中心的距离相等，点A的对应点为A'，因此OA=OA'，OA和OB'没有相等的关系，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查中心对称性质的应用，解题的关键是熟练掌握中心对称的特征，结合相关几何性质逐一判断选项即可。
【难度系数】
0.8
【例4】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，边BC上的高为5，则阴影部分的面积为（
A.8
B.10
C.15
D.30
C
）A.8
B.10
C.15
D.30
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先明确平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心，处于对称位置的两个图形面积相等。观察题图可知，阴影部分与对应的空白部分可配对，所有阴影部分的面积之和等于平行四边形面积的一半，因此先求出平行四边形的总面积，再除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
第一步：计算平行四边形ABCD的面积
平行四边形面积公式为$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知底$BC=6$，BC边上的高为5，因此平行四边形的总面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=6×5=30$
第二步：利用中心对称性质求阴影面积
平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，将阴影部分绕对称中心旋转180°后，可发现阴影部分的总面积恰好等于平行四边形面积的一半，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=\frac{1}{2}×30=15$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积计算，中心对称图形的性质，割补法求面积
【点评】
本题无需逐个计算每个阴影小三角形的面积，通过利用平行四边形的中心对称性进行割补，就可以快速简化计算，是几何面积求解中很典型的技巧类题型，熟练掌握图形的对称性可大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是其对称中心，处于对称位置的两个图形面积相等。观察题图可知，阴影部分与对应的空白部分可配对，所有阴影部分的面积之和等于平行四边形面积的一半，因此先求出平行四边形的总面积，再除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
第一步：计算平行四边形ABCD的面积
平行四边形面积公式为$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，已知底$BC=6$，BC边上的高为5，因此平行四边形的总面积为：
$S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=6×5=30$
第二步：利用中心对称性质求阴影面积
平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，将阴影部分绕对称中心旋转180°后，可发现阴影部分的总面积恰好等于平行四边形面积的一半，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=\frac{1}{2}×30=15$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形面积计算，中心对称图形的性质，割补法求面积
【点评】
本题无需逐个计算每个阴影小三角形的面积，通过利用平行四边形的中心对称性进行割补，就可以快速简化计算，是几何面积求解中很典型的技巧类题型，熟练掌握图形的对称性可大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7
【例5】在平面直角坐标系中，已知点$A(3,a)$和点$B(b,2)$关于原点对称，则$a^2 - b^2$的值为（
A.－1
B.1
C.－5
D.5
C
）A.－1
B.1
C.－5
D.5
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先需要掌握关于原点对称的点的坐标规律，再利用规律求出参数$a$、$b$的值，最后代入代数式计算即可。第一步：回忆原点对称的坐标特征，两个点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；第二步：对应点$A$、$B$的坐标，求出$a$、$b$的取值；第三步：代入代数式，按照乘方运算规则计算出结果。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点$A(3,a)$和点$B(b,2)$关于原点对称，因此可得：
$b=-3$（3的相反数），$a=-2$（2的相反数）。
将$a=-2$、$b=-3$代入$a^2 - b^2$计算：
$a^2 - b^2 = (-2)^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对原点对称坐标性质的理解与运用，解题关键是牢记对称点的坐标变化规则，计算时注意负数的偶次幂为正，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要掌握关于原点对称的点的坐标规律，再利用规律求出参数$a$、$b$的值，最后代入代数式计算即可。第一步：回忆原点对称的坐标特征，两个点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；第二步：对应点$A$、$B$的坐标，求出$a$、$b$的取值；第三步：代入代数式，按照乘方运算规则计算出结果。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点$A(3,a)$和点$B(b,2)$关于原点对称，因此可得：
$b=-3$（3的相反数），$a=-2$（2的相反数）。
将$a=-2$、$b=-3$代入$a^2 - b^2$计算：
$a^2 - b^2 = (-2)^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对原点对称坐标性质的理解与运用，解题关键是牢记对称点的坐标变化规则，计算时注意负数的偶次幂为正，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
【例】如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转$60°$，得到线段AE，连接CD，BE。
(1)求证：$△ AEB ≌ △ ADC$。
(2)连接DE，若$∠ ADC = 96°$，求$∠ BED$的度数。
(1)求证：$△ AEB ≌ △ ADC$。
(2)连接DE，若$∠ ADC = 96°$，求$∠ BED$的度数。
答案
(1)证明:因为$△ ABC$是等边三角形，
所以$AB=AC,∠ BAC=60°$。
由旋转,得$AE=AD,∠ EAD=60°$，
所以$∠ BAE=60°-∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ AEB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
所以$△ AEB ≌ △ ADC (\mathrm{SAS})$。
(2)解:$∠ BED=36°$。
所以$AB=AC,∠ BAC=60°$。
由旋转,得$AE=AD,∠ EAD=60°$，
所以$∠ BAE=60°-∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ AEB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
所以$△ AEB ≌ △ ADC (\mathrm{SAS})$。
(2)解:$∠ BED=36°$。
解析
【分析】
(1)要证明△AEB≌△ADC，先从已知条件提取信息：等边三角形ABC可得到AB=AC、∠BAC=60°；旋转的性质可得到AE=AD、∠EAD=60°，由此可推导得出∠BAE=∠CAD，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求∠BED的度数，首先由旋转得到的AE=AD和∠EAD=60°，可判定△AED是等边三角形，得到∠AED=60°；再利用(1)中全等三角形的对应角相等，得到∠AEB=∠ADC=96°，最后用∠AEB减去∠AED即可得到∠BED的度数。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC,∠BAC=60°$。
∵线段AD绕点A顺时针旋转$60°$得到线段AE，
∴$AE=AD,∠EAD=60°$，
∴$∠BAE=∠EAD-∠BAD=60°-∠BAD$，$∠CAD=∠BAC-∠BAD=60°-∠BAD$，
即$∠BAE=∠CAD$。
在$△AEB$和$△ADC$中：
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
∴$△ AEB ≌ △ ADC (\mathrm{SAS})$。
(2)解：
由旋转性质得$AE=AD,∠EAD=60°$，
∴△AED是等边三角形，
∴$∠AED=60°$。
由(1)中全等可得$∠AEB=∠ADC=96°$，
∴$∠BED=∠AEB-∠AED=96°-60°=36°$。
【答案】
(1)△AEB≌△ADC，证明如上；
(2)$36°$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合旋转、等边三角形的性质考查全等三角形的判定与应用，解题核心是从已知性质中挖掘相等的边、角关系，此类题是几何部分的常见典型题，需要熟练掌握相关性质和判定方法。
【难度系数】
0.75
(1)要证明△AEB≌△ADC，先从已知条件提取信息：等边三角形ABC可得到AB=AC、∠BAC=60°；旋转的性质可得到AE=AD、∠EAD=60°，由此可推导得出∠BAE=∠CAD，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求∠BED的度数，首先由旋转得到的AE=AD和∠EAD=60°，可判定△AED是等边三角形，得到∠AED=60°；再利用(1)中全等三角形的对应角相等，得到∠AEB=∠ADC=96°，最后用∠AEB减去∠AED即可得到∠BED的度数。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC,∠BAC=60°$。
∵线段AD绕点A顺时针旋转$60°$得到线段AE，
∴$AE=AD,∠EAD=60°$，
∴$∠BAE=∠EAD-∠BAD=60°-∠BAD$，$∠CAD=∠BAC-∠BAD=60°-∠BAD$，
即$∠BAE=∠CAD$。
在$△AEB$和$△ADC$中：
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
∴$△ AEB ≌ △ ADC (\mathrm{SAS})$。
(2)解：
由旋转性质得$AE=AD,∠EAD=60°$，
∴△AED是等边三角形，
∴$∠AED=60°$。
由(1)中全等可得$∠AEB=∠ADC=96°$，
∴$∠BED=∠AEB-∠AED=96°-60°=36°$。
【答案】
(1)△AEB≌△ADC，证明如上；
(2)$36°$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合旋转、等边三角形的性质考查全等三角形的判定与应用，解题核心是从已知性质中挖掘相等的边、角关系，此类题是几何部分的常见典型题，需要熟练掌握相关性质和判定方法。
【难度系数】
0.75
