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7. 已知$\frac{1}{b} - \frac{2}{a} = 2$，则$\frac{2a + 3ab - 4b}{4ab - 3a + 6b}$的值等于
$-\dfrac{7}{2}$
。答案
7.$-\dfrac{7}{2}$
解析
【分析】
首先观察已知条件是关于a、b倒数的等式，无法直接求出a、b的具体值，因此考虑用整体代入法求解。由于待求分式的分子、分母都是关于a、b的一次式与ab的组合，且a、b均不为0（否则已知分式无意义），可将待求分式的分子、分母同时除以ab，把分式转化为含有$(\frac{1}{b} - \frac{2}{a})$的形式，再代入已知值计算即可。
【解析】
由已知$\frac{1}{b} - \frac{2}{a} = 2$可知，$a≠0$，$b≠0$，因此$ab≠0$。
将待求分式的分子、分母同时除以$ab$，得：
分子：$\frac{2a + 3ab - 4b}{ab} = \frac{2a}{ab} + \frac{3ab}{ab} - \frac{4b}{ab} = \frac{2}{b} + 3 - \frac{4}{a} = 2(\frac{1}{b} - \frac{2}{a}) + 3$
分母：$\frac{4ab - 3a + 6b}{ab} = \frac{4ab}{ab} - \frac{3a}{ab} + \frac{6b}{ab} = 4 - \frac{3}{b} + \frac{6}{a} = 4 - 3(\frac{1}{b} - \frac{2}{a})$
将$\frac{1}{b} - \frac{2}{a} = 2$代入上式：
分子$=2×2 + 3 = 7$
分母$=4 - 3×2 = -2$
因此原式$=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$
【答案】
$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心技巧是通过分式的基本性质对待求式做同除变形，将未知式子转化为含有已知条件的结构，用整体代入法简化计算，无需单独求解a、b的取值，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件是关于a、b倒数的等式，无法直接求出a、b的具体值，因此考虑用整体代入法求解。由于待求分式的分子、分母都是关于a、b的一次式与ab的组合，且a、b均不为0（否则已知分式无意义），可将待求分式的分子、分母同时除以ab，把分式转化为含有$(\frac{1}{b} - \frac{2}{a})$的形式，再代入已知值计算即可。
【解析】
由已知$\frac{1}{b} - \frac{2}{a} = 2$可知，$a≠0$，$b≠0$，因此$ab≠0$。
将待求分式的分子、分母同时除以$ab$，得：
分子：$\frac{2a + 3ab - 4b}{ab} = \frac{2a}{ab} + \frac{3ab}{ab} - \frac{4b}{ab} = \frac{2}{b} + 3 - \frac{4}{a} = 2(\frac{1}{b} - \frac{2}{a}) + 3$
分母：$\frac{4ab - 3a + 6b}{ab} = \frac{4ab}{ab} - \frac{3a}{ab} + \frac{6b}{ab} = 4 - \frac{3}{b} + \frac{6}{a} = 4 - 3(\frac{1}{b} - \frac{2}{a})$
将$\frac{1}{b} - \frac{2}{a} = 2$代入上式：
分子$=2×2 + 3 = 7$
分母$=4 - 3×2 = -2$
因此原式$=\frac{7}{-2}=-\frac{7}{2}$
【答案】
$-\dfrac{7}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心技巧是通过分式的基本性质对待求式做同除变形，将未知式子转化为含有已知条件的结构，用整体代入法简化计算，无需单独求解a、b的取值，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.6
8.先化简,再求值:$(\dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y})÷\dfrac{x}{x^2-y^2}$,其中$x,y$满足$2x+y-3=0$.
答案
8.解：原式$=4x+2y$. 由$2x+y-3=0$,得$2x+y=3$,则原式$=4x+2y=2(2x+y)=2×3=6$.
解析
【分析】
解题时先观察分式运算的结构，首先将除法运算转化为乘法运算，同时对$x^2-y^2$利用平方差公式因式分解为$(x-y)(x+y)$，选择用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的加法更简便；化简完成后，不需要单独求解$x$和$y$的值，根据已知等式变形得到$2x+y=3$，将化简后的式子整理为含$2x+y$的形式，整体代入即可求出结果。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，同时因式分解$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，则：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y} ) × \dfrac{(x-y)(x+y)}{x} \\&=\dfrac{3x}{x-y} × \dfrac{(x-y)(x+y)}{x} + \dfrac{x}{x+y} × \dfrac{(x-y)(x+y)}{x} \\&=3(x+y)+(x-y) \\&=3x+3y+x-y \\&=4x+2y\end{aligned}$
由$2x+y-3=0$，移项得$2x+y=3$，
将其代入化简后的式子：
$原式=4x+2y=2(2x+y)=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，合理运用乘法分配律可简化计算过程，避免通分的繁琐，同时考查了整体代入的思想，不需要求出未知数的具体值即可求解，是分式章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
解题时先观察分式运算的结构，首先将除法运算转化为乘法运算，同时对$x^2-y^2$利用平方差公式因式分解为$(x-y)(x+y)$，选择用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的加法更简便；化简完成后，不需要单独求解$x$和$y$的值，根据已知等式变形得到$2x+y=3$，将化简后的式子整理为含$2x+y$的形式，整体代入即可求出结果。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，同时因式分解$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，则：
$\begin{aligned}原式&=( \dfrac{3x}{x-y}+\dfrac{x}{x+y} ) × \dfrac{(x-y)(x+y)}{x} \\&=\dfrac{3x}{x-y} × \dfrac{(x-y)(x+y)}{x} + \dfrac{x}{x+y} × \dfrac{(x-y)(x+y)}{x} \\&=3(x+y)+(x-y) \\&=3x+3y+x-y \\&=4x+2y\end{aligned}$
由$2x+y-3=0$，移项得$2x+y=3$，
将其代入化简后的式子：
$原式=4x+2y=2(2x+y)=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
分式的混合运算；平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，合理运用乘法分配律可简化计算过程，避免通分的繁琐，同时考查了整体代入的思想，不需要求出未知数的具体值即可求解，是分式章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
9.已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$,如何求$\frac{x^2 - y^2 + 2z^2}{xy + yz + xz}$的值?
思维支架
(1)问题转化:求值→尝试求出$x,y,z$的值或将$x,y,z$转化为同一个字母.
(2)分析条件:由$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=$
$≠0$,你能得到$x,y,z$的值或它们之间的关系吗?
(3)写出解题过程.
思维支架
(1)问题转化:求值→尝试求出$x,y,z$的值或将$x,y,z$转化为同一个字母.
(2)分析条件:由$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=$
$≠0$,你能得到$x,y,z$的值或它们之间的关系吗?(3)写出解题过程.
答案
9.解：原式$=\dfrac{27}{26}$.
解析
【分析】
遇到连比相等的条件时，可采用设参数法简化计算：设这组相等的比值为参数$k$（$k≠0$），就能将$x、y、z$都用含$k$的代数式表示，再代入待求分式，分子分母的公共因式$k^2$可直接约去，不需要单独求出$x、y、z$的具体数值就能得到最终结果。
【解析】
解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述式子代入$\frac{x^2 - y^2 + 2z^2}{xy + yz + xz}$得：
分子：$(2k)^2 - (3k)^2 + 2×(4k)^2=4k^2 - 9k^2 + 32k^2=27k^2$
分母：$2k·3k + 3k·4k + 2k·4k=6k^2 + 12k^2 + 8k^2=26k^2$
$\because k≠0$，$\therefore k^2≠0$，
$\therefore$原式$=\frac{27k^2}{26k^2}=\frac{27}{26}$
【答案】
$\dfrac{27}{26}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心解题思路是利用参数法将连比条件下的多个未知量统一为同一参数表示，代入分式后通过约分得到结果，该方法是解决连比类代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
遇到连比相等的条件时，可采用设参数法简化计算：设这组相等的比值为参数$k$（$k≠0$），就能将$x、y、z$都用含$k$的代数式表示，再代入待求分式，分子分母的公共因式$k^2$可直接约去，不需要单独求出$x、y、z$的具体数值就能得到最终结果。
【解析】
解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述式子代入$\frac{x^2 - y^2 + 2z^2}{xy + yz + xz}$得：
分子：$(2k)^2 - (3k)^2 + 2×(4k)^2=4k^2 - 9k^2 + 32k^2=27k^2$
分母：$2k·3k + 3k·4k + 2k·4k=6k^2 + 12k^2 + 8k^2=26k^2$
$\because k≠0$，$\therefore k^2≠0$，
$\therefore$原式$=\frac{27k^2}{26k^2}=\frac{27}{26}$
【答案】
$\dfrac{27}{26}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值，参数法解题
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心解题思路是利用参数法将连比条件下的多个未知量统一为同一参数表示，代入分式后通过约分得到结果，该方法是解决连比类代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
10. [2026 亳州期末] 已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$，求$\frac{a+b-c}{a-b+c}$的值.
答案
10.解：$\dfrac{a+b-c}{a-b+c}=1$.
解析
【分析】
遇到连等的比例式，通常采用设参数k的方法解题：先设$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k$，结合分母不为0的隐含条件推导k的取值，进而得到a、b、c的数量关系，最后代入所求分式计算即可。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k$（$a,b,c$均不为0），则：
$a=bk$，$b=ck$，$c=ak$，
将三个等式左右两边分别相乘，得：
$a· b· c = bk· ck· ak$，
即$abc = k^3abc$，
∵$a,b,c$为分式的分母，
∴$abc≠0$，
等式两边同时除以$abc$，得$k^3=1$，解得$k=1$，
∴$a=b=c$，
将$a=b=c$代入$\frac{a+b-c}{a-b+c}$得：
原式$=\frac{a+a-a}{a-a+a}=\frac{a}{a}=1$。
【答案】
1
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题技巧是对连比式设参数k，通过等量推导得到变量间的关系再代入计算，熟练掌握设参数法解连比类问题，可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式，通常采用设参数k的方法解题：先设$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k$，结合分母不为0的隐含条件推导k的取值，进而得到a、b、c的数量关系，最后代入所求分式计算即可。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k$（$a,b,c$均不为0），则：
$a=bk$，$b=ck$，$c=ak$，
将三个等式左右两边分别相乘，得：
$a· b· c = bk· ck· ak$，
即$abc = k^3abc$，
∵$a,b,c$为分式的分母，
∴$abc≠0$，
等式两边同时除以$abc$，得$k^3=1$，解得$k=1$，
∴$a=b=c$，
将$a=b=c$代入$\frac{a+b-c}{a-b+c}$得：
原式$=\frac{a+a-a}{a-a+a}=\frac{a}{a}=1$。
【答案】
1
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题技巧是对连比式设参数k，通过等量推导得到变量间的关系再代入计算，熟练掌握设参数法解连比类问题，可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
11. 中考趋势·阅读理解 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$知$x≠0$,
所以$\frac{x^2 + 1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$.
所以$\frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.所以$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1} = \frac{1}{$
$}$,求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$知$x≠0$,
所以$\frac{x^2 + 1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$.
所以$\frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.所以$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1} = \frac{1}{$
$}$,求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.答案
11.解：$\dfrac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\dfrac{1}{63}$.
解析
【分析】
本题采用“倒数法”求解：首先观察已知等式和所求分式的结构，二者分子均为单项式，分母均为多项式，且x≠0（若x=0，已知等式左边为0，与$\frac{1}{5}$矛盾），因此可先对已知分式取倒数，变形求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，利用完全平方公式将其转化为含$x+\frac{1}{x}$的式子，代入计算后再取倒数即可得到最终结果。
【解析】
由$\frac{x}{x^2 -3x +1}=\frac{1}{5}$可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 -3x +1}{x}=5$
拆分分式整理得：$x - 3 + \frac{1}{x}=5$，即$x+\frac{1}{x}=8$。
对所求分式$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$取倒数得：
$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
根据完全平方公式变形可得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2$，代入$x+\frac{1}{x}=8$得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=8^2 -2=62$
因此$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=62+1=63$，取倒数得$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{63}$。
【答案】
$\dfrac{1}{63}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，倒数的应用
【点评】
本题考查倒数法在分式求值中的应用，核心是通过取倒数简化分式结构，结合完全平方公式的变形实现降次计算，该方法适用于分子为单项式、分母为同底数幂组合的多项式的分式求值问题。
【难度系数】
0.65
本题采用“倒数法”求解：首先观察已知等式和所求分式的结构，二者分子均为单项式，分母均为多项式，且x≠0（若x=0，已知等式左边为0，与$\frac{1}{5}$矛盾），因此可先对已知分式取倒数，变形求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，利用完全平方公式将其转化为含$x+\frac{1}{x}$的式子，代入计算后再取倒数即可得到最终结果。
【解析】
由$\frac{x}{x^2 -3x +1}=\frac{1}{5}$可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\frac{x^2 -3x +1}{x}=5$
拆分分式整理得：$x - 3 + \frac{1}{x}=5$，即$x+\frac{1}{x}=8$。
对所求分式$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$取倒数得：
$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
根据完全平方公式变形可得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2$，代入$x+\frac{1}{x}=8$得：
$x^2+\frac{1}{x^2}=8^2 -2=62$
因此$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=62+1=63$，取倒数得$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{63}$。
【答案】
$\dfrac{1}{63}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，倒数的应用
【点评】
本题考查倒数法在分式求值中的应用，核心是通过取倒数简化分式结构，结合完全平方公式的变形实现降次计算，该方法适用于分子为单项式、分母为同底数幂组合的多项式的分式求值问题。
【难度系数】
0.65
