1.[2025 内江]按如下步骤作四边形$ABCD$(如图):
(1)画$∠ EAF$;(2)以点$A$为圆心,1个单位长度为半径画弧,分别交$AE$,$AF$于点$B$,$D$;(3)分别以点$B$和点$D$为圆心,1个单位长度为半径画弧,两弧交于点$C$;(4)连接$BC$,$DC$,$BD$.若$∠ A=40°$,则$∠ BDC$的度数是 ()

A.$64°$ B.$66°$ C.$68°$ D.$70°$

1.D 【点拨】根据作图可得 $AB=AD=BC=CD$,
∴ 四边形 $ABCD$ 是菱形. $\therefore AB // CD, ∠ BDC = ∠ BDA = \frac{1}{2}∠ ADC$. 又 $\because ∠ A = 40°, \therefore ∠ BDC = \frac{1}{2}∠ ADC= \frac{1}{2}(180°-∠ A)=70°.$

2. 情境题生活应用 小颖买了一盏简单而精致的吊灯(图①),其正面的平面图如图②所示,四边形ABCD是一个菱形外框架,对角线AC,BD相交于点O,四边形AECF是其内部框架,且点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:四边形内部框架AECF为菱形;
(2)若AE⊥AD,F为DE的中点,AB=6√3,求四边形AECF的周长.

2.(1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore OB=OD,OA=OC,AC ⊥ BD.$
$\because BE=DF, \therefore OE=OF.$
$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形.
$\because AC ⊥ BD, \therefore$ 平行四边形 $AECF$ 是菱形.
(2)【解】$\because AE ⊥ AD, \therefore △ ADE$ 是直角三角形.
$\because F$ 为 $DE$ 的中点, $\therefore AF=EF=DF.$
$\because$ 四边形 $AECF$ 是菱形,
$\therefore AE=AF. \therefore AE=EF=DF. \therefore DE=2AE.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形, $\therefore AD=AB=6\sqrt{3}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $AE^2 + AD^2 = DE^2$,
$\therefore AE^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2AE)^2. \therefore AE=6.$
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的周长为 $4 × 6 = 24.$

3. 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE:∠BAE=1:3,则∠CAE的度数为()


A.$22.5°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$67.5°$

3.C

4. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE//AC,且DE=$\frac{1}{2}$AC,连接CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若DB=6,AC=8,求菱形ABCD的面积.

4.(1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore AC ⊥ BD, AO=OC=\frac{1}{2}AC. \therefore ∠ DOC=90°.$
$\because DE=\frac{1}{2}AC, \therefore DE=OC.$
$\because DE // OC, \therefore$ 四边形 $OCED$ 是平行四边形.
又 $\because ∠ DOC=90°$,
$\therefore$ 平行四边形 $OCED$ 是矩形.
(2)【解】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $DB=6,AC=8$,
$\therefore$ 菱形 $ABCD$ 的面积 $=\frac{1}{2}AC · BD=\frac{1}{2} × 8 × 6=24.$

5.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为. （第5题） （第6题）

5.$2\sqrt{5}$ 【点拨】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $AB=8,AD=10, \therefore ∠ ABC=∠ C=90°, CD=AB=8, BC=AD=10.$
$\therefore CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6. \therefore BE=BC-CE=10-6=4. \therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}.$
$\because ∠ ABE=90°$, 点 $F$ 是 $AE$ 的中点, $\therefore BF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2} × 4\sqrt{5}=2\sqrt{5}.$

6.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°,连接AC,BD.M是AC的中点,连接BM,DM.若△BMD的面积为32,则AC的长为.

6.16 【点拨】$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$,$M$ 是 $AC$ 的中点,
$\therefore BM=DM=AM=\frac{1}{2}AC. \therefore ∠ BAM=∠ ABM, ∠ DAM=∠ ADM. \because ∠ BMC=∠ BAM+∠ ABM, ∠ DMC=∠ DAM+∠ ADM, ∠ BAD=45°, \therefore ∠ BMD=2∠ BAD=90°. \therefore S_{△ BMD}=\frac{1}{2}BM · DM=\frac{1}{2}BM^2=32. \because BM＞0,$
$\therefore BM=8. \therefore AC=2BM=16.$