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1. [2025泰州靖江期中] 如图，有一只蚂蚁从点P沿数轴向右2个单位长度到达点B，设点A所表示的数为$m$.
(1)实数$m$的值是
(2)求$(m+2)^2 + |m+1|$的值；
(3)还有D两点分别为实数，且有$|2c +4|$与$\sqrt{d -4}$互为相反数，求$2c +8$的平方根.
(1)实数$m$的值是
$\sqrt{5} - 2$
；(2)求$(m+2)^2 + |m+1|$的值；
(3)还有D两点分别为实数，且有$|2c +4|$与$\sqrt{d -4}$互为相反数，求$2c +8$的平方根.
答案
(1) $\sqrt{5} - 2$
(2) 当$m = \sqrt{5} - 2$时，
$(m+2)^2 + |m+1| = (\sqrt{5} - 2 + 2)^2 + |\sqrt{5} - 2 + 1| = 5 + \sqrt{5} - 1 = 4 + \sqrt{5}.$
(3) $\because |2c +4|$与$\sqrt{d -4}$互为相反数，
$\therefore |2c +4| + \sqrt{d -4} = 0,$
$\therefore 2c +4 = 0,d -4 = 0,$ 解得$c = -2,d = 4,$
$\therefore 2c + 3d + 8 = 2 × (-2) + 3 × 4 + 8 = 16,$
$\because 16$的平方根为$\pm 4,$
$\therefore 2c + 3d + 8$的平方根为$\pm 4.$
(2) 当$m = \sqrt{5} - 2$时，
$(m+2)^2 + |m+1| = (\sqrt{5} - 2 + 2)^2 + |\sqrt{5} - 2 + 1| = 5 + \sqrt{5} - 1 = 4 + \sqrt{5}.$
(3) $\because |2c +4|$与$\sqrt{d -4}$互为相反数，
$\therefore |2c +4| + \sqrt{d -4} = 0,$
$\therefore 2c +4 = 0,d -4 = 0,$ 解得$c = -2,d = 4,$
$\therefore 2c + 3d + 8 = 2 × (-2) + 3 × 4 + 8 = 16,$
$\because 16$的平方根为$\pm 4,$
$\therefore 2c + 3d + 8$的平方根为$\pm 4.$
解析
【分析】
(1) 先根据数轴上点B的位置确定它表示的数，点B在2和3之间，结合无理数的大小可知点B对应$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}\approx2.236$，符合点B的位置）；再根据数轴上点向右平移的规律：向右平移n个单位，对应数值加n，可知点A的数m加2等于点B的数，据此计算m的值。
(2) 将第一问求出的m代入代数式，先分别计算乘方和绝对值部分，先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，再合并计算结果即可。
(3) 首先根据互为相反数的两个数和为0列出等式；再结合绝对值和算术平方根的非负性（两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0），求出c和d的值；代入所求式子计算出结果后，再求它的平方根即可，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) 由数轴可知点B表示的数为$\sqrt{5}$，蚂蚁从点A向右移动2个单位长度到达点B，因此$m + 2 = \sqrt{5}$，解得$m = \sqrt{5} - 2$。
(2) 把$m = \sqrt{5} - 2$代入代数式：
$\begin{aligned}(m+2)^2 + |m+1| &= (\sqrt{5} - 2 + 2)^2 + |\sqrt{5} - 2 + 1| \\&= (\sqrt{5})^2 + |\sqrt{5} - 1| \\&= 5 + \sqrt{5} - 1 \\&= 4 + \sqrt{5}\end{aligned}$
(3) $\because |2c +4|$与$\sqrt{d -4}$互为相反数，
$\therefore |2c +4| + \sqrt{d -4} = 0$，
又$\because |2c +4|≥0$，$\sqrt{d -4}≥0$，
$\therefore 2c +4 = 0$，$d -4 = 0$，
解得$c = -2$，$d = 4$，
代入$2c + 3d + 8$得：
$2×(-2) + 3×4 +8 = -4 +12 +8 =16$，
$\because (\pm4)^2=16$，
$\therefore 2c + 3d + 8$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $\sqrt{5} - 2$
(2) $4 + \sqrt{5}$
(3) $\pm4$
【知识点】
数轴与实数的对应、非负数的性质、平方根的计算
【点评】
本题结合数轴考查了实数的相关运算，既需要掌握数轴上点的平移规律，也需要熟练运用非负数的性质求解未知数，求解平方根时要注意不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据数轴上点B的位置确定它表示的数，点B在2和3之间，结合无理数的大小可知点B对应$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}\approx2.236$，符合点B的位置）；再根据数轴上点向右平移的规律：向右平移n个单位，对应数值加n，可知点A的数m加2等于点B的数，据此计算m的值。
(2) 将第一问求出的m代入代数式，先分别计算乘方和绝对值部分，先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，再合并计算结果即可。
(3) 首先根据互为相反数的两个数和为0列出等式；再结合绝对值和算术平方根的非负性（两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0），求出c和d的值；代入所求式子计算出结果后，再求它的平方根即可，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) 由数轴可知点B表示的数为$\sqrt{5}$，蚂蚁从点A向右移动2个单位长度到达点B，因此$m + 2 = \sqrt{5}$，解得$m = \sqrt{5} - 2$。
(2) 把$m = \sqrt{5} - 2$代入代数式：
$\begin{aligned}(m+2)^2 + |m+1| &= (\sqrt{5} - 2 + 2)^2 + |\sqrt{5} - 2 + 1| \\&= (\sqrt{5})^2 + |\sqrt{5} - 1| \\&= 5 + \sqrt{5} - 1 \\&= 4 + \sqrt{5}\end{aligned}$
(3) $\because |2c +4|$与$\sqrt{d -4}$互为相反数，
$\therefore |2c +4| + \sqrt{d -4} = 0$，
又$\because |2c +4|≥0$，$\sqrt{d -4}≥0$，
$\therefore 2c +4 = 0$，$d -4 = 0$，
解得$c = -2$，$d = 4$，
代入$2c + 3d + 8$得：
$2×(-2) + 3×4 +8 = -4 +12 +8 =16$，
$\because (\pm4)^2=16$，
$\therefore 2c + 3d + 8$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $\sqrt{5} - 2$
(2) $4 + \sqrt{5}$
(3) $\pm4$
【知识点】
数轴与实数的对应、非负数的性质、平方根的计算
【点评】
本题结合数轴考查了实数的相关运算，既需要掌握数轴上点的平移规律，也需要熟练运用非负数的性质求解未知数，求解平方根时要注意不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.7
2. [2026 无锡锡山区期中] 如图1,把两个面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形拼成一个面积为$2\ \mathrm{dm}^2$的大正方形,所得到的面积为$2\ \mathrm{dm}^2$的大正方形的边长就是原先面积为$1\ \mathrm{dm}^2$的小正方形的对角线长,因此,可得小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$.
(1)由此,我们得到了一种方法,能在数轴上画出无理数所对应的点,则图2中A,B两点表示的数为
(2)某同学把长为2,宽为1的两个长方形进行裁剪,拼成如图3所示的一个正方形.请你仿照上面的方法求出长方形的对角线的长度,并说明理由.
(3)若3是$4a+5$的一个平方根,$3a+b-9$的立方根是2,c为图3中小正方形边长x的整数部分,请计算$4a+b-c$的平方根.
拍批+错题本
(1)由此,我们得到了一种方法,能在数轴上画出无理数所对应的点,则图2中A,B两点表示的数为
$-\sqrt{2}$
,$\sqrt{2}$
.(2)某同学把长为2,宽为1的两个长方形进行裁剪,拼成如图3所示的一个正方形.请你仿照上面的方法求出长方形的对角线的长度,并说明理由.
(3)若3是$4a+5$的一个平方根,$3a+b-9$的立方根是2,c为图3中小正方形边长x的整数部分,请计算$4a+b-c$的平方根.
拍批+错题本
答案
(1) $-\sqrt{2}\quad \sqrt{2}$
(2) 由题意得,大正方形的面积为$(1 + 2)^2 = 9$,两个长方形的面积为$2 × 1 × 2 = 4$,
$\therefore$ 小正方形的面积为$9 - 4 = 5$,
$\therefore$ 长方形的对角线长为$\sqrt{5}.$
(3) 由题意,得$\begin{cases}4a + 5 = 3^2,\\3a + b - 9 = 2^3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 14.\end{cases}$
由(2)知题图3中小正方形的边长$x = \sqrt{5}$,
且$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,
$\therefore x$的整数部分为2,即$c = 2$,
$\therefore 4a + b - c = 4 × 1 + 14 - 2 = 4 + 14 - 2 = 16.$
$\because (\pm 4)^2 = 16,\therefore \pm \sqrt{4a + b - c} = \pm 4,$
$\therefore 4a + b - c$的平方根是$\pm 4.$
(2) 由题意得,大正方形的面积为$(1 + 2)^2 = 9$,两个长方形的面积为$2 × 1 × 2 = 4$,
$\therefore$ 小正方形的面积为$9 - 4 = 5$,
$\therefore$ 长方形的对角线长为$\sqrt{5}.$
(3) 由题意,得$\begin{cases}4a + 5 = 3^2,\\3a + b - 9 = 2^3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 14.\end{cases}$
由(2)知题图3中小正方形的边长$x = \sqrt{5}$,
且$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,
$\therefore x$的整数部分为2,即$c = 2$,
$\therefore 4a + b - c = 4 × 1 + 14 - 2 = 4 + 14 - 2 = 16.$
$\because (\pm 4)^2 = 16,\therefore \pm \sqrt{4a + b - c} = \pm 4,$
$\therefore 4a + b - c$的平方根是$\pm 4.$
解析
【分析】
(1) 先确定图2中半圆的半径为小正方形对角线长$\sqrt{2}$，再根据数轴上原点左侧的数为负、右侧为负的规律，即可得到A、B对应的数；
(2) 利用面积守恒求解：先计算拼接后外围大正方形的总面积，减去两个长方形的总面积，得到中间小正方形的面积，小正方形的边长就是长方形的对角线，对面积开方即可得对角线长度；
(3) 先根据平方根、立方根的定义列方程求出a、b的值，再结合(2)的结果估算$\sqrt{5}$的整数部分得到c，最后代入代数式计算后求平方根即可。
【解析】
(1) 由题意得半圆的半径为$\sqrt{2}$，点A在原点左侧，距离原点$\sqrt{2}$个单位长度，表示的数为$-\sqrt{2}$；点B在原点右侧，距离原点$\sqrt{2}$个单位长度，表示的数为$\sqrt{2}$。
(2) 由题意得，拼接后外围大正方形的边长为$2+1=3$，面积为$3^2=9$，两个长方形的总面积为$2×(1×2)=4$，因此中间小正方形的面积为$9-4=5$。因为小正方形的边长就是长方形的对角线长，所以长方形对角线长为$\sqrt{5}$。
(3) 由题意列方程组：
$\begin{cases}4a + 5 = 3^2\\3a + b - 9 = 2^3\end{cases}$
解第一个方程：$4a+5=9$，得$a=1$；
将$a=1$代入第二个方程：$3×1 + b -9=8$，得$b=14$。
由(2)知图3中小正方形边长$x=\sqrt{5}$，因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，故$\sqrt{5}$的整数部分$c=2$。
代入计算得：$4a+b-c=4×1 +14 -2=16$，因为$(\pm4)^2=16$，所以$4a+b-c$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
(2) 长方形的对角线长为$\sqrt{5}$，理由见解析
(3) $\pm4$
【知识点】
实数与数轴；平方根与立方根；无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接考查数形结合思想的应用，覆盖了数轴表示无理数、面积法求边长、根式运算等多个考点，解题时抓住拼接过程的面积不变性，牢记平方根、立方根的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 先确定图2中半圆的半径为小正方形对角线长$\sqrt{2}$，再根据数轴上原点左侧的数为负、右侧为负的规律，即可得到A、B对应的数；
(2) 利用面积守恒求解：先计算拼接后外围大正方形的总面积，减去两个长方形的总面积，得到中间小正方形的面积，小正方形的边长就是长方形的对角线，对面积开方即可得对角线长度；
(3) 先根据平方根、立方根的定义列方程求出a、b的值，再结合(2)的结果估算$\sqrt{5}$的整数部分得到c，最后代入代数式计算后求平方根即可。
【解析】
(1) 由题意得半圆的半径为$\sqrt{2}$，点A在原点左侧，距离原点$\sqrt{2}$个单位长度，表示的数为$-\sqrt{2}$；点B在原点右侧，距离原点$\sqrt{2}$个单位长度，表示的数为$\sqrt{2}$。
(2) 由题意得，拼接后外围大正方形的边长为$2+1=3$，面积为$3^2=9$，两个长方形的总面积为$2×(1×2)=4$，因此中间小正方形的面积为$9-4=5$。因为小正方形的边长就是长方形的对角线长，所以长方形对角线长为$\sqrt{5}$。
(3) 由题意列方程组：
$\begin{cases}4a + 5 = 3^2\\3a + b - 9 = 2^3\end{cases}$
解第一个方程：$4a+5=9$，得$a=1$；
将$a=1$代入第二个方程：$3×1 + b -9=8$，得$b=14$。
由(2)知图3中小正方形边长$x=\sqrt{5}$，因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，故$\sqrt{5}$的整数部分$c=2$。
代入计算得：$4a+b-c=4×1 +14 -2=16$，因为$(\pm4)^2=16$，所以$4a+b-c$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
(2) 长方形的对角线长为$\sqrt{5}$，理由见解析
(3) $\pm4$
【知识点】
实数与数轴；平方根与立方根；无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接考查数形结合思想的应用，覆盖了数轴表示无理数、面积法求边长、根式运算等多个考点，解题时抓住拼接过程的面积不变性，牢记平方根、立方根的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. [2025福州第十九中学期中]小茗同学探索$\sqrt{145}$的近似值的过程如下：
∵面积为145的正方形的边长是$\sqrt{145}$，且$12 ＜ \sqrt{145} ＜ 13$，∴设$\sqrt{145} = 12 + x$，其中$0 ＜ x ＜ 1$.
画出示意图，如图所示.
根据示意图，得$12^2 + 2×12x + x^2 = 145$.
∵$0 ＜ x ＜ 1$，∴$x^2 ＜ 1$，
此时可忽略$x^2$，得$144 + 24x ≈ 145$，解得$x ≈ 0.04$，
∴$\sqrt{145} ≈ 12.04$，即$\sqrt{145}$的近似值是12.04.
(1)$\sqrt{270}$的整数部分为
(2)仿照小茗的探索过程，求$\sqrt{270}$的近似值.（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01）
∵面积为145的正方形的边长是$\sqrt{145}$，且$12 ＜ \sqrt{145} ＜ 13$，∴设$\sqrt{145} = 12 + x$，其中$0 ＜ x ＜ 1$.
画出示意图，如图所示.
根据示意图，得$12^2 + 2×12x + x^2 = 145$.
∵$0 ＜ x ＜ 1$，∴$x^2 ＜ 1$，
此时可忽略$x^2$，得$144 + 24x ≈ 145$，解得$x ≈ 0.04$，
∴$\sqrt{145} ≈ 12.04$，即$\sqrt{145}$的近似值是12.04.
(1)$\sqrt{270}$的整数部分为
16
.(2)仿照小茗的探索过程，求$\sqrt{270}$的近似值.（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01）
答案
(1) 16
$\because 16^2 = 256,17^2 = 289,\therefore 16 ＜ \sqrt{270} ＜ 17,$
$\therefore \sqrt{270}$的整数部分为16.
(2) $\because$ 面积为270的正方形的边长为$\sqrt{270}$,且$16 ＜ \sqrt{270} ＜ 17$,
$\therefore$ 设$\sqrt{270} = 16 + x$,其中$0 ＜ x ＜ 1$.
画出示意图,如图所示.
根据示意图,得$16^2 + 2 × 16x + x^2 = 270.$
$\because 0 ＜ x ＜ 1,\therefore x^2 ＜ 1,$
此时可忽略$x^2$,得$256 + 32x \approx 270$,解得$x \approx 0.44$,
$\therefore \sqrt{270} \approx 16.44$,
即$\sqrt{270}$的近似值是16.44.
解析
【分析】
(1) 求$\sqrt{270}$的整数部分，只需计算相邻正整数的平方，找到夹着270的两个平方数，确定$\sqrt{270}$的取值范围即可得到整数部分。
(2) 仿照题干估算$\sqrt{145}$的方法：首先确定$\sqrt{270}$介于16和17之间，设$\sqrt{270}=16+x$（$0＜x＜1$），结合正方形面积分割的几何模型，根据大正方形面积等于各部分面积和列方程；由于x小于1，$x^2$数值极小可以忽略，将方程简化为一元一次方程求解x，即可得到$\sqrt{270}$的近似值，示意图只需将题干示例图中的12替换为16即可。
【解析】
(1) 计算得$16^2=256$，$17^2=289$，因为$256＜270＜289$，所以$16＜\sqrt{270}＜17$，因此$\sqrt{270}$的整数部分为16。
(2) ① 确定范围：面积为270的正方形的边长为$\sqrt{270}$，由$16^2=256＜270＜289=17^2$，可得$16＜\sqrt{270}＜17$。
② 设未知数：设$\sqrt{270}=16+x$，其中$0＜x＜1$。
③ 列方程：根据正方形面积分割（示意图如下），大正方形面积等于四部分面积之和，可得$16^2 + 2×16x + x^2 = 270$。
④ 近似化简：因为$0＜x＜1$，所以$x^2＜1$，数值极小可忽略，方程简化为$256 + 32x ≈ 270$。
⑤ 求解计算：解得$x≈(270-256)÷32≈0.44$，因此$\sqrt{270}≈16+0.44=16.44$。
【答案】
(1) 16
(2) 示意图：，$\sqrt{270}$的近似值为16.44
（求解过程：
∵面积为270的正方形的边长为$\sqrt{270}$，且$16 ＜ \sqrt{270} ＜ 17$，
∴设$\sqrt{270} = 16 + x$，其中$0 ＜ x ＜ 1$。根据示意图，得$16^2 + 2 × 16x + x^2 = 270$。
∵$0 ＜ x ＜ 1$，
∴$x^2 ＜ 1$，此时可忽略$x^2$，得$256 + 32x \approx 270$，解得$x \approx 0.44$，
∴$\sqrt{270} \approx 16.44$）
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式的几何意义，近似计算
【点评】
本题通过数形结合的思想，借助正方形面积分割模型估算无理数的近似值，既考查了无理数大小判断的基础能力，也锻炼了方法迁移应用的能力，解题时要注意忽略$x^2$的前提是x的取值在0到1之间，保证近似精度符合要求。
【难度系数】
0.75
(1) 求$\sqrt{270}$的整数部分，只需计算相邻正整数的平方，找到夹着270的两个平方数，确定$\sqrt{270}$的取值范围即可得到整数部分。
(2) 仿照题干估算$\sqrt{145}$的方法：首先确定$\sqrt{270}$介于16和17之间，设$\sqrt{270}=16+x$（$0＜x＜1$），结合正方形面积分割的几何模型，根据大正方形面积等于各部分面积和列方程；由于x小于1，$x^2$数值极小可以忽略，将方程简化为一元一次方程求解x，即可得到$\sqrt{270}$的近似值，示意图只需将题干示例图中的12替换为16即可。
【解析】
(1) 计算得$16^2=256$，$17^2=289$，因为$256＜270＜289$，所以$16＜\sqrt{270}＜17$，因此$\sqrt{270}$的整数部分为16。
(2) ① 确定范围：面积为270的正方形的边长为$\sqrt{270}$，由$16^2=256＜270＜289=17^2$，可得$16＜\sqrt{270}＜17$。
② 设未知数：设$\sqrt{270}=16+x$，其中$0＜x＜1$。
③ 列方程：根据正方形面积分割（示意图如下），大正方形面积等于四部分面积之和，可得$16^2 + 2×16x + x^2 = 270$。
④ 近似化简：因为$0＜x＜1$，所以$x^2＜1$，数值极小可忽略，方程简化为$256 + 32x ≈ 270$。
⑤ 求解计算：解得$x≈(270-256)÷32≈0.44$，因此$\sqrt{270}≈16+0.44=16.44$。
【答案】
(1) 16
(2) 示意图：
，$\sqrt{270}$的近似值为16.44（求解过程：
∵面积为270的正方形的边长为$\sqrt{270}$，且$16 ＜ \sqrt{270} ＜ 17$，
∴设$\sqrt{270} = 16 + x$，其中$0 ＜ x ＜ 1$。根据示意图，得$16^2 + 2 × 16x + x^2 = 270$。
∵$0 ＜ x ＜ 1$，
∴$x^2 ＜ 1$，此时可忽略$x^2$，得$256 + 32x \approx 270$，解得$x \approx 0.44$，
∴$\sqrt{270} \approx 16.44$）
【知识点】
无理数的估算，完全平方公式的几何意义，近似计算
【点评】
本题通过数形结合的思想，借助正方形面积分割模型估算无理数的近似值，既考查了无理数大小判断的基础能力，也锻炼了方法迁移应用的能力，解题时要注意忽略$x^2$的前提是x的取值在0到1之间，保证近似精度符合要求。
【难度系数】
0.75
