6.如图,点 A,B,C 在⊙O 上,点 C 在$\stackrel\frown{AMB}$上.若∠OBA = 50°,则∠C 的度数为.

40°

∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∠AOB=180°-50°-50°=80°。∵点C在$\stackrel\frown{AMB}$上，∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°。

7.如图,C,D 两点在以 AB 为直径的圆上,AB = 2,∠ACD = 30°,则 AD = .

1

如图，连接$BD$。
$AB$为直径，故$\angle ADB = 90°$。
在圆上，$\angle ABD$和$\angle ACD$对应同一条弧，即$\angle ABD = \angle ACD = 30°$。
在直角三角形$ABD$中，$AB = 2$，$\angle ABD = 30°$，
所以$AD = \frac{1}{2} × AB = 1$。

8.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为 100 cm,下雨前水面宽为 60 cm,一场大雨过后,水面宽为 80 cm,则水位上升cm.

10或70

设圆形管道圆心为O，半径r=50cm。
下雨前：水面宽60cm，弦长AB=60cm，中点为C。由垂径定理得AC=30cm，在Rt△OAC中，弦心距OC=√(OA²-AC²)=√(50²-30²)=40cm。此时水面在圆心下方，水深h₁=50-40=10cm。
雨后：水面宽80cm，弦长DE=80cm，中点为F。同理DF=40cm，弦心距OF=√(OD²-DF²)=√(50²-40²)=30cm。
若水面仍在圆心下方：水深h₂=50-30=20cm，水位上升20-10=10cm。
若水面在圆心上方：水深h₂=50+30=80cm，水位上升80-10=70cm。

9.如图,△ABC 内接于⊙O.若∠OAB = 32°,则∠C = .

58°

如图，已知△ABC内接于⊙O，且∠OAB = 32°。
由于O是圆心，OA和OB是半径，因此OA = OB。
所以，△OAB是等腰三角形，∠OAB = ∠OBA = 32°。
根据三角形内角和定理，∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 32° - 32° = 116°。
∠C是∠AOB的圆周角，根据圆周角定理，圆周角是圆心角的一半，因此：
∠C = 116° / 2 = 58°。

10.如图,在半圆 O 中,AB 为直径,P 为$\stackrel\frown{AB}$的中点,分别在$\stackrel\frown{AP}$和$\stackrel\frown{PB}$上取其中点$A_1$和$B_1$,再在$\stackrel\frown{PA_1}$和$\stackrel\frown{PB_1}$上分别取其中点$A_2$和$B_2$.若一直这样取下去,则∠$A_nOB_n$= .

180/2ⁿ

∵AB为半圆O的直径，∴∠AOB=180°，弧AB=180°。
∵P为弧AB中点，∴弧AP=弧PB=90°，∠AOP=∠POB=90°。
当n=1时，A₁、B₁分别为弧AP、弧PB中点，弧PA₁=弧AP/2=45°，弧PB₁=弧PB/2=45°，弧A₁B₁=弧PA₁+弧PB₁=90°，∠A₁OB₁=90°=180°×(1/2)¹。
当n=2时，A₂、B₂分别为弧PA₁、弧PB₁中点，弧PA₂=弧PA₁/2=22.5°，弧PB₂=弧PB₁/2=22.5°，弧A₂B₂=弧PA₂+弧PB₂=45°，∠A₂OB₂=45°=180°×(1/2)²。
依此类推，每次取中点后，弧AₙBₙ=弧Aₙ₋₁Bₙ₋₁×(1/2)，故∠AₙOBₙ=180°×(1/2)ⁿ=180°/2ⁿ。