1. 如图,在$□ ABCD$中,$E$是$AB$延长线上的一点,$DE$交$BC$于点$F$,求证:$\frac {DC}{AE}=\frac {CF}{AD}$.

$\frac{DC}{AE}=\frac{CF}{AD}$

∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $DC // AB$，$AD // BC$，$DC = AB$，$AD = BC$。
∵ $DC // AB$，
∴ $△ DCF ∼ △ EBF$（两直线平行，内错角相等，对应角相等），
∴ $\frac{DC}{BE} = \frac{CF}{BF}$。
∵ $AD // BC$，
∴ $△ EBF ∼ △ EAD$（两直线平行，同位角相等，对应角相等），
∴ $\frac{BF}{AD} = \frac{BE}{AE}$，即 $\frac{BE}{AE} = \frac{BF}{AD}$。
由 $\frac{DC}{BE} = \frac{CF}{BF}$ 得 $\frac{DC}{CF} = \frac{BE}{BF}$，
又 $\frac{BE}{BF} = \frac{AE}{AD}$（由 $\frac{BE}{AE} = \frac{BF}{AD}$ 变形得），
∴ $\frac{DC}{CF} = \frac{AE}{AD}$，
∴ $\frac{DC}{AE} = \frac{CF}{AD}$。

2. 如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,$∠AED=∠B$,$AG$平分$∠BAC$,分别交线段$DE$,$BC$于点$F$,$G$. 求证:$\frac {AD}{AC}=\frac {DF}{CG}$.

AD/AC=DF/CG

∵∠AED=∠B，∠EAD=∠BAC（公共角），
∴△AED∽△ABC（两角对应相等的两个三角形相似），
∴∠ADE=∠C（相似三角形对应角相等）.
∵AG平分∠BAC，
∴∠DAF=∠CAG（角平分线定义）.
在△ADF和△ACG中，
∠ADF=∠C，∠DAF=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG（两角对应相等的两个三角形相似），
∴AD/AC=DF/CG（相似三角形对应边成比例）.

3. 如图,$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形,点$D$在$BC$上,$DE$交$AC$于点$F$. 求证:$AD^{2}=AF· AC$.

AD²=AF·AC

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠C=60°，∠ADE=60°，∠BAC=∠DAE=60°。
∵点F在DE上，∴∠ADF=∠ADE=60°，∴∠ADF=∠C。
又∵∠DAF=∠CAD（公共角），∴△ADF∽△ACD。
∴AD/AC=AF/AD，∴AD²=AF·AC。

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠BAC=90^{\circ}$,$M$为$BC$的中点,$DM⊥BC$交$CA$的延长线于点$D$,交$AB$于点$E$. 求证:$AM^{2}=MD· ME$.

AM²=MD·ME

∵∠BAC=90°，M为BC中点，∴AM=BM=CM（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴∠B=∠BAM。
∵DM⊥BC，∴∠DMC=90°，∴∠D+∠C=90°。
∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=∠D（同角的余角相等），∴∠BAM=∠D。
在△AME和△DMA中，∠AME=∠DMA（公共角），∠MAE=∠D，∴△AME∽△DMA（两角对应相等，两三角形相似）。
∴AM/MD=ME/AM（相似三角形对应边成比例），∴AM²=MD·ME。