一、选择题
1. (2024·武进区期末)如图，已知$∠ 1=∠ 2$，那么添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC∼△ ADE$的是()

A.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
B.$∠ B=∠ D$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$∠ C=∠ AED$

1.C

证明：已知$∠1 = ∠2$，则$∠DAE = ∠BAC$。
A. 若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据两边对应成比例且夹角相等，可判定$△ABC∼△ADE$；
B. 若$∠B = ∠D$，根据两角对应相等，可判定$△ABC∼△ADE$；
C. 若$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，已知角不是已知比例线段的夹角，无法判定$△ABC∼△ADE$；
D. 若$∠C = ∠AED$，根据两角对应相等，可判定$△ABC∼△ADE$。
答案：C

2. (2023·威海)如图，四边形$ABCD$是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠，使$DA$边落在$DC$边上，点$A$落在点$H$处，折痕为$DE$；使$CB$边落在$CD$边上，点$B$落在点$G$处，折痕为$CF$.若矩形$HEFG$与原矩形$ABCD$相似，$AD = 1$，则$CD$的长为()

A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$

2.C

解：设$CD=x$，则$AB=CD=x$，$AD=BC=1$。
由折叠性质得：$DH=AD=1$，$CG=BC=1$，$∠ DHE=∠ A=90°$，$∠ CGF=∠ B=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ ADC=∠ BCD=90°$，$\therefore$四边形$HEFG$是矩形。
$\therefore HE=GF=AD=1$，$HG=CD-DH-CG=x-2$。
$\because$矩形$HEFG$与矩形$ABCD$相似，$\therefore \dfrac{HE}{AD}=\dfrac{HG}{CD}$，即$\dfrac{1}{1}=\dfrac{x-2}{x}$（舍去）或$\dfrac{HE}{CD}=\dfrac{HG}{AD}$，即$\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-2}{1}$。
整理得$x^2 - 2x - 1 = 0$，解得$x_1 = 1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$（舍去）。
$\therefore CD = \sqrt{2} + 1$。
答案：C

3. (2023·浙江)如图，点$P$是$△ ABC$的重心，$D$是边$AC$的中点，$PE// AC$交$BC$于点$E$，$DF// BC$交$EP$于点$F$.若四边形$CDFE$的面积为$6$，则$△ ABC$的面积为()

A.$12$
B.$14$
C.$18$
D.$24$

3.C

二、填空题
4. (2023·镇江)如图，用一个卡钳$(AD = BC,\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{1}{3})$测量某个零件的内孔直径$AB$，量得$CD$的长度为$6\mathrm{cm}$，则$AB$等于$\mathrm{cm}$.

4.18

证明：在△OAB和△ODC中，
$\begin{cases}\frac{OC}{OB} = \frac{OD}{OA} = \frac{1}{3} \\∠ AOB = ∠ DOC\end{cases}$
∴△OAB∽△ODC，
∴$\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OB} = \frac{1}{3}$，
∵CD=6cm，
∴$\frac{6}{AB} = \frac{1}{3}$，
解得AB=18cm.
18

5. (2024·丹阳期中)已知$C$是$AB$的黄金分割点$(AC＜ BC)$，$AB = 4$，则$BC$的长为.(保留根号)

5.$2\sqrt{5}-2$

∵C是AB的黄金分割点（AC＜BC），AB=4，
∴BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×4=2$\sqrt{5}$-2．
故答案为：$2\sqrt{5}-2$

6. (2023·乐山)如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是线段$AB$上一点，连接$AC$，$DE$交于点$F$.若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，则$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=$.

6.$\frac{5}{2}$

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB = CD$。
$\because \frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，设$AE = 2k$，$EB=3k$，则$AB=AE + EB=5k$，$\therefore CD = AB=5k$。
$\because AB// CD$，
$\therefore △ AEF∼△ CDF$，
$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
设$AF = 2m$，则$CF=5m$，$AC=AF + CF=7m$。
$\because △ ADF$与$△ AEF$等高，
$\therefore \frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=\frac{AF + CF}{AF}=\frac{AC}{AF}=\frac{7m}{2m}=\frac{7}{2}$。
1

7. (2023·内蒙古)如图，$AC$，$AD$，$CE$是正五边形$ABCDE$的对角线，$AD$与$CE$相交于点$F$.下列结论：①$CF$平分$∠ ACD$；②$AF = 2DF$；③四边形$ABCF$是菱形；④$AB^{2}=AD· EF$.其中正确的结论是.(填序号)

7.①③④

证明：
①正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$108°$。
$\because AB=BC=CD=DE=EA$，
$\therefore △ ABC≌△ BCD≌△ CDE≌△ DEA≌△ EAB$，
$∠ BCA=∠ CAD=∠ ADE=∠ BEC=∠ DBA=36°$，
$∠ ACD=108°-36°=72°$，
$∠ DCE=36°$，$\therefore ∠ ACF=72°-36°=36°$，
$\therefore CF$平分$∠ ACD$，①正确。
③$\because ∠ BAC=36°$，$∠ BCF=36°+36°=72°$，
$∠ ABC=108°$，$∠ AFC=180°-36°-36°=108°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ AFC$，$∠ BAC=∠ ACF$，
$\therefore AB// CF$，$BC// AF$，
$\therefore$四边形$ABCF$是平行四边形，
又$AB=BC$，$\therefore$四边形$ABCF$是菱形，③正确。
④设$AB=a$，$AD=b$，$EF=c$，
由正五边形性质及相似三角形得$△ AEF∼△ ADE$，
$\frac{AE}{AD}=\frac{EF}{DE}$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{a}$，$\therefore a^2=bc$，即$AB^2=AD· EF$，④正确。
②$AF=DF$不成立，②错误。
正确结论是①③④。