7 勾股定理在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中涂色部分的面积,则一定能求出（）

A.直角三角形的面积
B.最大的正方形的面积
C.图②中较小的两个正方形重叠部分的面积
D.最大的正方形与直角三角形的面积之和

7. C 【解析】设直角三角形的斜边长为 $c$，较长直角边的长为 $b$，较短直角边的长为 $a.$ 由勾股定理，得 $c^2=a^2+b^2,\therefore$ 题图②中涂色部分的面积为 $c^2-b^2-a(c-b)=a^2-ac+ab=a(a+b-c).$ $\because$ 题图②中较小的两个正方形重叠部分的长为 $a$，宽为 $a-(c-b)=a+b-c,\therefore$ 题图②中较小的两个正方形重叠部分的面积为 $a(a+b-c).$

8 方程思想 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF=45°。将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°，得到△DCM。若AE=1，则FM的长为。

8. $\dfrac{5}{2}$ 【解析】先说明 $F,C,M$ 三点共线，再证 $△DEF≌△DMF(\mathrm{SAS})$，得 $FE=FM.$ 设 $EF=x.$ 由旋转，得 $AE=CM=1,\therefore BM=BC+CM=3+1=4,\therefore BF=BM-MF=BM-EF=4-x.$ 在 $\mathrm{Rt}△EBF$ 中，由勾股定理，得 $EB^2+BF^2=EF^2$，即 $(3-1)^2+(4-x)^2=x^2$，解得 $x=\dfrac{5}{2},\therefore FM=\dfrac{5}{2}.$

9 如图，CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边AB上的高，教材第100页例2通过勾股定理与完全平方公式证明出了结论：$CD^2 = AD · DB$. 请你利用上述结论与学过的数学知识，求证：
(1) $AC^2 = AD · AB$；
(2) $BC^2 = DB · AB$.

9. (1) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ADC$ 中，$AC^2=CD^2+AD^2.$ $\because CD^2=AD·DB,\therefore AC^2=AD·DB+AD^2=AD·(DB+AD).$ $\because AB=DB+AD,\therefore AC^2=AD·AB$
(2) $\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△BDC$ 中，$BC^2=CD^2+DB^2.$ $\because CD^2=AD·DB,\therefore BC^2=AD·DB+DB^2=DB·(AD+DB).$ $\because AB=AD+DB,\therefore BC^2=DB·AB$

10 [2024 陕西]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$E$是边$AB$上一点，连接$CE$，在$BC$的右侧作$BF// AC$，且$BF=AE$，连接$CF$。若$AC=13$，$BC=10$，求四边形$EBFC$的面积。

10. 如图，过点 $A$ 作 $AH⊥BC$，垂足为 $H$，过点 $C$ 分别作 $CM⊥AB,CN⊥BF$，垂足分别为 $M,N.$ $\because AB=AC,AH⊥BC,BC=10,\therefore CH=\dfrac{1}{2}BC=5.$ 又 $AC=13,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△AHC$ 中，$AH^2=AC^2-CH^2=13^2-5^2,\therefore AH=12.$ $\therefore S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·AH=\dfrac{1}{2}×10×12=60.$ $\because AB=AC,\therefore ∠ABC=∠ACB.$ $\because BF// AC,\therefore ∠ACB=∠CBF,\therefore ∠ABC=∠CBF.$ $\because CM⊥AB,CN⊥BF,\therefore CM=CN.$ $\because S_{△ACE}=\dfrac{1}{2}AE·CM,S_{△CBF}=\dfrac{1}{2}BF·CN,AE=BF,\therefore S_{△ACE}=S_{△CBF},\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△CBF}+S_{△CBE}=S_{△ACE}+S_{△CBE}=S_{△ABC}=60$