8. 新趋势学科内综合 如果 m 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数，n 是从 0,1,3 三个数中任取的一个数，那么关于 x 的方程 $mx - 2 = n(x + \frac{1}{n})$有正数解的概率是。

8.$\frac{1}{6}$ 【点拨】$mx-2=n(x+\frac{1}{n})$可化简为$(m-n)x=3$.
∵原方程有正数解,
∴$m-n＞0$且$n≠0$.画树状图如图：
一共有 12 种等可能的结果,其中能使方程 $mx-2=n(x+\frac{1}{n})$有正数解的结果有:(2,1),(3,1),共 2 种,
∴方程 $mx-2=n(x+\frac{1}{n})$有正数解的概率是 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

9. ★★ 新趋势 跨学科 如图，电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光。
(1)任意闭合其中一个开关，小灯泡发光的概率为；
(2)任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率为。

9.(1)$\frac{1}{4}$
(2)$\frac{1}{2}$ 【点拨】任意闭合其中两个开关时,出现等可能的结果如图：
共有 12 种等可能的结果,其中小灯泡发光的结果有(A,D),(B,D),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C),共 6 种,
∴任意闭合其中两个开关,小灯泡发光的概率是 $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

10. :: 情境题游戏活动型 某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳$AA_1$,$BB_1$,$CC_1$,只露出它们的头和尾(如图所示),由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结,拿开红布,若三根细绳连成一条,则称两人一条心,分在同队;否则互为反方队员.
(1)若甲嘉宾随意打了个结,则他恰好将$AA_1$和$BB_1$连成一条的概率为;
(2)请用画树状图的方法,求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率.

10.【解】(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如图：
共有 9 种等可能的结果.
∵三根细绳连成一条,则称两人一条心,分在同队,
∴甲、乙两位嘉宾能分在同队的结果有 6 种.
∴甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率是 $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

11. ★★ [2025 咸阳期中] 置换反应是一种单质与一种化合物反应，生成另一种单质和另一种化合物的化学反应，包括金属与金属盐的反应、金属与酸的反应等。某次化学实验课上，老师带来了 Al，Zn，Cu，Ag 四种金属。这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气。（根据金属活动顺序可知，Al，Zn 可以置换出氢气，而 Cu，Ag 不能置换出氢气）
(1)若从四种金属中随机选择一种，选到 Zn 的概率是；
(2)甲同学从四种金属中随机选择一种金属进行实验，将四个容器的顺序打乱，然后乙同学从四种金属中再随机选择一种金属进行实验，请用画树状图法或列表法，求两人所选金属均能置换出氢气的概率。

11.【解】(1)$\frac{1}{4}$
(2)列表如下：
| | Al | Zn | Cu | Ag |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| Al | (Al,Al) | (Al,Zn) | (Al,Cu) | (Al,Ag) |
| Zn | (Zn,Al) | (Zn,Zn) | (Zn,Cu) | (Zn,Ag) |
| Cu | (Cu,Al) | (Cu,Zn) | (Cu,Cu) | (Cu,Ag) |
| Ag | (Ag,Al) | (Ag,Zn) | (Ag,Cu) | (Ag,Ag) |
共有 16 种等可能的结果,其中两人所选金属均能置换出氢气的结果有:(Al,Al),(Al,Zn),(Zn,Al),(Zn,Zn),共 4 种,
∴两人所选金属均能置换出氢气的概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.