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例3.已知一元二次方程$x^2 + kx - 3 = 0$有一个根为1，则$k$的值为 （）
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
分析:根据一元二次方程的解的定义,把$x=1$代入方程得关于$k$的一次方程$1 + k - 3 = 0$,然后解一次方程即可.
解:把$x=1$代入方程得$1 + k - 3 = 0$,解得$k=2$.故选:B.
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
分析:根据一元二次方程的解的定义,把$x=1$代入方程得关于$k$的一次方程$1 + k - 3 = 0$,然后解一次方程即可.
解:把$x=1$代入方程得$1 + k - 3 = 0$,解得$k=2$.故选:B.
答案
解：
把$x=1$代入方程$x^2 + kx - 3 = 0$，得
$1 + k - 3 = 0$，
解得$k=2$。
故选：B。
把$x=1$代入方程$x^2 + kx - 3 = 0$，得
$1 + k - 3 = 0$，
解得$k=2$。
故选：B。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，要求参数k的值，解题核心是利用一元二次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知根x=1代入原方程，就能得到只含k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
把$x=1$代入方程$x^2 + kx - 3 = 0$，得
$1 + k - 3 = 0$，
解得$k=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题方法固定，熟练掌握方程解的定义、会用代入法求参数即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根，要求参数k的值，解题核心是利用一元二次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知根x=1代入原方程，就能得到只含k的一元一次方程，解这个方程即可求出k的值。
【解析】
把$x=1$代入方程$x^2 + kx - 3 = 0$，得
$1 + k - 3 = 0$，
解得$k=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题方法固定，熟练掌握方程解的定义、会用代入法求参数即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - x - m = 0 $
的一个根是 $ x = 1 $，则 $ m $ 的值是 （
A.1
B.0
C.−1
D.2
的一个根是 $ x = 1 $，则 $ m $ 的值是 （
B
）A.1
B.0
C.−1
D.2
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，解题核心是理解方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题思路为：将已知的根x=1代入原方程，即可得到一个关于m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 - x - m = 0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 - 1 - m = 0$
计算得：$1-1 -m =0$
化简得：$-m=0$
解得：$m=0$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法求参数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，直接考察方程根的定义的应用，只需将已知根代入方程转化为关于参数的方程求解即可，是一元二次方程章节的常见基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，解题核心是理解方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题思路为：将已知的根x=1代入原方程，即可得到一个关于m的一元一次方程，解这个方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 - x - m = 0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 - 1 - m = 0$
计算得：$1-1 -m =0$
化简得：$-m=0$
解得：$m=0$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法求参数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，直接考察方程根的定义的应用，只需将已知根代入方程转化为关于参数的方程求解即可，是一元二次方程章节的常见基础题。
【难度系数】
0.9
6.$a$是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，则代数式$4a^2 - 2a$的值是________.
答案
6.8
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，将x=a代入已知方程得到关于a的等式，再观察所求代数式4a²-2a和得到的等式的关联，发现所求代数式是2a²-a的2倍，因此不需要求解a的具体值，用整体代入的方法即可快速算出结果，避免复杂计算。
【解析】
∵a是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$2a^2 = a + 4$，
移项整理可得：$2a^2 - a = 4$，
对所求代数式变形得：$4a^2 - 2a = 2(2a^2 - a)$，
将$2a^2 - a = 4$代入得：$4a^2 - 2a = 2×4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用方程根的性质得到相关代数式的值，采用整体代入的方法避开了求解一元二次方程的步骤，简化了计算过程，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，将x=a代入已知方程得到关于a的等式，再观察所求代数式4a²-2a和得到的等式的关联，发现所求代数式是2a²-a的2倍，因此不需要求解a的具体值，用整体代入的方法即可快速算出结果，避免复杂计算。
【解析】
∵a是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$2a^2 = a + 4$，
移项整理可得：$2a^2 - a = 4$，
对所求代数式变形得：$4a^2 - 2a = 2(2a^2 - a)$，
将$2a^2 - a = 4$代入得：$4a^2 - 2a = 2×4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用方程根的性质得到相关代数式的值，采用整体代入的方法避开了求解一元二次方程的步骤，简化了计算过程，是代数式求值类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.8
7.若 $ m $ 是方程 $ x^2 + x - 1 = 0 $ 的一个根，试求代数式 $ m^3 + 2m^2 + 2025 $ 的值。
答案
7.
∵ m 是方程 $ x^2 + x - 1 = 0 $ 的一个根，
∴$m^2 + m - 1 = 0$，
∴$m^2 + m = 1$，
∴$m^3 + 2m^2 + 2025 = m^3 + m^2 + m^2 + 2025 = m(m^2 + m) + m^2 + 2025 = m + m^2 + 2025 = 2026$
∵ m 是方程 $ x^2 + x - 1 = 0 $ 的一个根，
∴$m^2 + m - 1 = 0$，
∴$m^2 + m = 1$，
∴$m^3 + 2m^2 + 2025 = m^3 + m^2 + m^2 + 2025 = m(m^2 + m) + m^2 + 2025 = m + m^2 + 2025 = 2026$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，因此先将m代入原方程得到$m^2+m=1$。观察所求代数式是三次式，而已知条件是二次式，因此通过拆项、提取公因式的方法对三次式降次，将其转化为含有$m^2+m$的形式，再整体代入求值即可，无需解出m的具体值，能简化运算。
【解析】
∵ m 是方程 $x^2 + x - 1 = 0$ 的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + m - 1 = 0$，即 $m^2 + m = 1$，
对所求代数式变形：
$m^3 + 2m^2 + 2025 = m^3 + m^2 + m^2 + 2025$
提取公因式得：$= m(m^2 + m) + m^2 + 2025$
将$m^2 + m =1$代入得：$= m×1 + m^2 + 2025 = m^2 + m + 2025$
再代入$m^2 + m =1$得：$=1 + 2025 =2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用方程根的性质得到二次整式的值，通过拆项降次将高次代数式转化为可整体代入的形式，避免了直接求解m的复杂运算，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程后等式成立，因此先将m代入原方程得到$m^2+m=1$。观察所求代数式是三次式，而已知条件是二次式，因此通过拆项、提取公因式的方法对三次式降次，将其转化为含有$m^2+m$的形式，再整体代入求值即可，无需解出m的具体值，能简化运算。
【解析】
∵ m 是方程 $x^2 + x - 1 = 0$ 的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + m - 1 = 0$，即 $m^2 + m = 1$，
对所求代数式变形：
$m^3 + 2m^2 + 2025 = m^3 + m^2 + m^2 + 2025$
提取公因式得：$= m(m^2 + m) + m^2 + 2025$
将$m^2 + m =1$代入得：$= m×1 + m^2 + 2025 = m^2 + m + 2025$
再代入$m^2 + m =1$得：$=1 + 2025 =2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用方程根的性质得到二次整式的值，通过拆项降次将高次代数式转化为可整体代入的形式，避免了直接求解m的复杂运算，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.7
例4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 45 元,为了扩大销售、增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件
衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若商场平均每天盈利2 100 元,每件衬衫应降价多少元?请完成下列问题:
(1)未降价之前,某商场衬衫的总盈利为元;
(2)降价后,设某商场每件衬衫应降价 x元,则每件衬衫盈利元,平均每天可售出件;(用含 x 的代数式来表示)
(3)请列出方程.
分析:(1)利用销量$20×$每件的利润即可;
(2)每件的盈利=原利润-降价;销量=原销量+多售的数量;(3)商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数;每件的盈利=原来每件的盈利-降价数.设每件衬衫应降价 x 元,然后根据前面的关系式即可列出方程.
解:(1)900
(2)$(45-x);(20+4x)$
(3)$(45-x)(20+4x)=2100$
衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若商场平均每天盈利2 100 元,每件衬衫应降价多少元?请完成下列问题:
(1)未降价之前,某商场衬衫的总盈利为元;
(2)降价后,设某商场每件衬衫应降价 x元,则每件衬衫盈利元,平均每天可售出件;(用含 x 的代数式来表示)
(3)请列出方程.
分析:(1)利用销量$20×$每件的利润即可;
(2)每件的盈利=原利润-降价;销量=原销量+多售的数量;(3)商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数;每件的盈利=原来每件的盈利-降价数.设每件衬衫应降价 x 元,然后根据前面的关系式即可列出方程.
解:(1)900
(2)$(45-x);(20+4x)$
(3)$(45-x)(20+4x)=2100$
答案
解：
(1) $20×45=900$
(2) 每件衬衫盈利$(45-x)$元，平均每天可售出$(20+4x)$件
(3) 依题意列方程：
$(45-x)(20+4x)=2100$
整理得：$x^2-40x+300=0$
因式分解得：$(x-10)(x-30)=0$
解得：$x_1=10,\ x_2=30$
∵ 要尽快减少库存，降价越多日销售量越大，库存减少速度越快，
∴ $x=30$符合要求。
答：每件衬衫应降价30元。
(1) $20×45=900$
(2) 每件衬衫盈利$(45-x)$元，平均每天可售出$(20+4x)$件
(3) 依题意列方程：
$(45-x)(20+4x)=2100$
整理得：$x^2-40x+300=0$
因式分解得：$(x-10)(x-30)=0$
解得：$x_1=10,\ x_2=30$
∵ 要尽快减少库存，降价越多日销售量越大，库存减少速度越快，
∴ $x=30$符合要求。
答：每件衬衫应降价30元。
解析
【分析】
1. 第(1)问求未降价总盈利，直接利用总盈利计算公式：总盈利=单件盈利×日销售量，代入未降价时的对应数值计算即可。
2. 第(2)问列代数式：降价x元后，单件盈利为原盈利减去降价金额；日销售量为原销量加上降价后多售出的件数，每降价1元多售4件，降价x元则多售4x件，对应代入即可得到含x的代数式。
3. 第(3)问列方程求解：核心等量关系为“降价后单件盈利×降价后日销售量=日均总盈利2100元”，代入第(2)问的代数式即可列出一元二次方程，解方程得到两个根后，结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的根，因为降价越多销量越高，去库存速度越快。
【解析】
(1) 未降价时，日均总盈利=单件盈利×日销量=20×45=900元。
(2) 设每件衬衫降价x元，则每件盈利为原盈利减去降价金额，即$(45-x)$元；
日销量为原销量加上因降价多售出的件数，即$20+4x$件。
(3) 根据日均总盈利为2100元，列方程：
$(45-x)(20+4x)=2100$
展开并整理方程：
$900+180x-20x-4x^2=2100$
移项合并同类项得：$x^2-40x+300=0$
因式分解得：$(x-10)(x-30)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=30$
因需尽快减少库存，降价越多日销售量越高，库存减少越快，故选择$x=30$。
【答案】
(1) $\boxed{900}$
(2) $\boxed{(45-x)}$；$\boxed{(20+4x)}$
(3) 所列方程为$\boxed{(45-x)(20+4x)=2100}$，每件衬衫应降价$\boxed{30}$元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；代数式列写
【点评】
本题为典型的销售类一元二次方程应用题，核心是抓住“总利润=单件利润×销量”的等量关系列方程，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对解出的根进行取舍，避免因忽略附加条件得出错误结果。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问求未降价总盈利，直接利用总盈利计算公式：总盈利=单件盈利×日销售量，代入未降价时的对应数值计算即可。
2. 第(2)问列代数式：降价x元后，单件盈利为原盈利减去降价金额；日销售量为原销量加上降价后多售出的件数，每降价1元多售4件，降价x元则多售4x件，对应代入即可得到含x的代数式。
3. 第(3)问列方程求解：核心等量关系为“降价后单件盈利×降价后日销售量=日均总盈利2100元”，代入第(2)问的代数式即可列出一元二次方程，解方程得到两个根后，结合“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的根，因为降价越多销量越高，去库存速度越快。
【解析】
(1) 未降价时，日均总盈利=单件盈利×日销量=20×45=900元。
(2) 设每件衬衫降价x元，则每件盈利为原盈利减去降价金额，即$(45-x)$元；
日销量为原销量加上因降价多售出的件数，即$20+4x$件。
(3) 根据日均总盈利为2100元，列方程：
$(45-x)(20+4x)=2100$
展开并整理方程：
$900+180x-20x-4x^2=2100$
移项合并同类项得：$x^2-40x+300=0$
因式分解得：$(x-10)(x-30)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=30$
因需尽快减少库存，降价越多日销售量越高，库存减少越快，故选择$x=30$。
【答案】
(1) $\boxed{900}$
(2) $\boxed{(45-x)}$；$\boxed{(20+4x)}$
(3) 所列方程为$\boxed{(45-x)(20+4x)=2100}$，每件衬衫应降价$\boxed{30}$元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；代数式列写
【点评】
本题为典型的销售类一元二次方程应用题，核心是抓住“总利润=单件利润×销量”的等量关系列方程，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对解出的根进行取舍，避免因忽略附加条件得出错误结果。
【难度系数】
0.7
8.根据下列问题列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个矩形的长比宽多1 cm,面积是$132\ \mathrm{cm}^2$,矩形的长和宽各是多少?
(2)有一根1 m长的铁丝,怎样用它围成一个面积为$0.06\ \mathrm{m}^2$的矩形?
(3)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
(1)一个矩形的长比宽多1 cm,面积是$132\ \mathrm{cm}^2$,矩形的长和宽各是多少?
(2)有一根1 m长的铁丝,怎样用它围成一个面积为$0.06\ \mathrm{m}^2$的矩形?
(3)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
答案
8.(1)设宽为x cm,依题意得 x(x+1)=132,化为一元二次方程的一般形式为 $x^2 + x - 132 = 0$ (2)设宽为x m,依题意得 x(0.5-x)=0.06,化为一元二次方程的一般形式为 $x^2 - 0.5x + 0.06 = 0$ (3)设有x人参加聚会,依题意得 $\frac{1}{2}x(x-1)=10$,化为一元二次方程的一般形式为$x^2 - x - 20 = 0$
解析
【分析】
解答这三道题的核心思路是“设未知数→找等量关系→列方程→化为一元二次方程一般形式”：
1. 矩形面积类问题的核心等量关系是矩形面积=长×宽，先根据长和宽的数量关系设出其中一个未知量，再用含未知量的式子表示另一个量，代入面积公式列方程即可；
2. 固定长度铁丝围矩形的问题，先根据周长求出长与宽的和，再结合面积公式列方程；
3. 握手问题的核心逻辑是：x个人每人会和(x-1)人握手，但每一次握手会被重复计算2次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，代入总握手次数即可列方程。
最后所有方程都要整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程一般形式。
【解析】
(1) 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(x+1)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积公式列方程：
$x(x+1)=132$
展开并移项化为一般形式：
$x^2 + x - 132 = 0$
(2) 设围成的矩形宽为$x\ \mathrm{m}$，已知铁丝长1m即矩形周长为1m，因此长+宽=$1÷2=0.5\ \mathrm{m}$，则长为$(0.5-x)\ \mathrm{m}$，根据面积公式列方程：
$x(0.5-x)=0.06$
展开并移项整理为一般形式：
$x^2 - 0.5x + 0.06 = 0$
(3) 设有$x$人参加聚会，每人需和其余$(x-1)$人握手，每一次握手重复计算1次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
两边乘2后展开移项化为一般形式：
$x^2 - x - 20 = 0$
【答案】
(1) 设宽为$x\ \mathrm{cm}$，方程为$x(x+1)=132$，一般形式为$x^2 + x - 132 = 0$；
(2) 设宽为$x\ \mathrm{m}$，方程为$x(0.5-x)=0.06$，一般形式为$x^2 - 0.5x + 0.06 = 0$；
(3) 设有$x$人参加聚会，方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=10$，一般形式为$x^2 - x - 20 = 0$。
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
3. 实际问题与一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，需要准确提取题目中的等量关系，熟练掌握一元二次方程一般形式的化简规则，掌握这类题型可以为后续解决更复杂的一元二次方程实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解答这三道题的核心思路是“设未知数→找等量关系→列方程→化为一元二次方程一般形式”：
1. 矩形面积类问题的核心等量关系是矩形面积=长×宽，先根据长和宽的数量关系设出其中一个未知量，再用含未知量的式子表示另一个量，代入面积公式列方程即可；
2. 固定长度铁丝围矩形的问题，先根据周长求出长与宽的和，再结合面积公式列方程；
3. 握手问题的核心逻辑是：x个人每人会和(x-1)人握手，但每一次握手会被重复计算2次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，代入总握手次数即可列方程。
最后所有方程都要整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程一般形式。
【解析】
(1) 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$(x+1)\ \mathrm{cm}$，根据矩形面积公式列方程：
$x(x+1)=132$
展开并移项化为一般形式：
$x^2 + x - 132 = 0$
(2) 设围成的矩形宽为$x\ \mathrm{m}$，已知铁丝长1m即矩形周长为1m，因此长+宽=$1÷2=0.5\ \mathrm{m}$，则长为$(0.5-x)\ \mathrm{m}$，根据面积公式列方程：
$x(0.5-x)=0.06$
展开并移项整理为一般形式：
$x^2 - 0.5x + 0.06 = 0$
(3) 设有$x$人参加聚会，每人需和其余$(x-1)$人握手，每一次握手重复计算1次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
两边乘2后展开移项化为一般形式：
$x^2 - x - 20 = 0$
【答案】
(1) 设宽为$x\ \mathrm{cm}$，方程为$x(x+1)=132$，一般形式为$x^2 + x - 132 = 0$；
(2) 设宽为$x\ \mathrm{m}$，方程为$x(0.5-x)=0.06$，一般形式为$x^2 - 0.5x + 0.06 = 0$；
(3) 设有$x$人参加聚会，方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=10$，一般形式为$x^2 - x - 20 = 0$。
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 一元二次方程的一般形式
3. 实际问题与一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，需要准确提取题目中的等量关系，熟练掌握一元二次方程一般形式的化简规则，掌握这类题型可以为后续解决更复杂的一元二次方程实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
