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4.王先生和李先生是同一研究所的科研人员，每人都相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每6天去一次，李先生每8天去一次，6月2日他们都去了图书馆。下一次两人在图书馆相遇的日子是6月几日？
答案
6和8的最小公倍数是24,下一次两人在图书馆相遇的日子是6月26日。
解析
【分析】
要解决两人下一次同时在图书馆相遇的日期问题，首先要明确：两人相遇的间隔天数必须同时是6和8的倍数，才能同时满足两人去图书馆的周期要求，下一次相遇的间隔就是满足条件的最小数，也就是6和8的最小公倍数。算出这个间隔天数后，再加上6月2日的日期，就能得到相遇的具体日期。
【解析】
1. 计算6和8的最小公倍数
先分解质因数：
$6=2×3$
$8=2×2×2$
最小公倍数是共有质因数和各自独有质因数的乘积，即$2×2×2×3=24$，说明两人每隔24天会同时去图书馆一次。
2. 推算相遇日期
6月2日两人同时去了图书馆，再过24天相遇，$2+24=26$，所以相遇日期是6月26日。
【答案】
6月26日
【知识点】
最小公倍数计算，周期相遇问题，日期推算
【点评】
本题结合生活场景考查最小公倍数的实际应用，解题核心是理解相遇间隔时间是两人去图书馆周期的最小公倍数，掌握最小公倍数的计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决两人下一次同时在图书馆相遇的日期问题，首先要明确：两人相遇的间隔天数必须同时是6和8的倍数，才能同时满足两人去图书馆的周期要求，下一次相遇的间隔就是满足条件的最小数，也就是6和8的最小公倍数。算出这个间隔天数后，再加上6月2日的日期，就能得到相遇的具体日期。
【解析】
1. 计算6和8的最小公倍数
先分解质因数：
$6=2×3$
$8=2×2×2$
最小公倍数是共有质因数和各自独有质因数的乘积，即$2×2×2×3=24$，说明两人每隔24天会同时去图书馆一次。
2. 推算相遇日期
6月2日两人同时去了图书馆，再过24天相遇，$2+24=26$，所以相遇日期是6月26日。
【答案】
6月26日
【知识点】
最小公倍数计算，周期相遇问题，日期推算
【点评】
本题结合生活场景考查最小公倍数的实际应用，解题核心是理解相遇间隔时间是两人去图书馆周期的最小公倍数，掌握最小公倍数的计算方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5.一个正方体玻璃容器,从里面量长、宽均为 20 cm,向容器中倒入6 L水,再把一个苹果放入水中。这时量得容器内的水深是 16 cm。这个苹果的体积是多少立方分米？
答案
6 L=6 dm³
20×20×16÷1000−6=6.4−6=0.4(dm³)
20×20×16÷1000−6=6.4−6=0.4(dm³)
解析
【分析】
这道题利用排水法求解不规则物体的体积，解题思路如下：首先明确苹果的体积等于放入苹果后容器内水和苹果的总体积减去原来倒入的水的体积；其次要注意单位统一，原有水的体积单位是升，长宽高的单位是厘米，最终结果要求立方分米，计算时需要将不同单位换算统一后再进行运算。
【解析】
首先进行单位换算：因为1L=1dm³，所以6L=6dm³。
再计算放入苹果后水和苹果的总体积，根据长方体体积=长×宽×高，先算出以立方厘米为单位的体积，再换算成立方分米，最后用总体积减去原有水的体积得到苹果体积，列综合算式计算：
$20×20×16÷1000−6=6.4−6=0.4(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
$0.4\ \mathrm{dm}^3$
【知识点】
排水法求不规则物体体积、体积单位换算、长方体体积计算
【点评】
本题是不规则物体体积计算的基础典型题，核心是理解排水法的原理：浸入液体的物体体积等于其排开的液体的体积，计算时要注意不同单位的换算统一，避免单位不匹配导致的计算失误。
【难度系数】
0.7
这道题利用排水法求解不规则物体的体积，解题思路如下：首先明确苹果的体积等于放入苹果后容器内水和苹果的总体积减去原来倒入的水的体积；其次要注意单位统一，原有水的体积单位是升，长宽高的单位是厘米，最终结果要求立方分米，计算时需要将不同单位换算统一后再进行运算。
【解析】
首先进行单位换算：因为1L=1dm³，所以6L=6dm³。
再计算放入苹果后水和苹果的总体积，根据长方体体积=长×宽×高，先算出以立方厘米为单位的体积，再换算成立方分米，最后用总体积减去原有水的体积得到苹果体积，列综合算式计算：
$20×20×16÷1000−6=6.4−6=0.4(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
$0.4\ \mathrm{dm}^3$
【知识点】
排水法求不规则物体体积、体积单位换算、长方体体积计算
【点评】
本题是不规则物体体积计算的基础典型题，核心是理解排水法的原理：浸入液体的物体体积等于其排开的液体的体积，计算时要注意不同单位的换算统一，避免单位不匹配导致的计算失误。
【难度系数】
0.7
6. 把一块长 120 m，宽 75 m 的长方形土地划分成面积相等且最大的正方形土地而没有剩余，可以划分成多少块？
答案
120和75的最大公因数是15。
(120÷15)×(75÷15)=40(块)
(120÷15)×(75÷15)=40(块)
解析
【分析】
要把长方形土地划分成面积相等且最大的正方形、且没有剩余，首先明确：正方形的边长必须同时是长方形长和宽的因数，也就是长和宽的公因数；要让正方形面积最大，边长就要取长和宽的最大公因数。接下来先求出120和75的最大公因数，再分别计算长、宽方向能划分出多少个这样的正方形，最后把两个方向的数量相乘，就能得到总块数。
【解析】
1. 求120和75的最大公因数：
用短除法计算，120和75先同时除以公因数3得到40和25，再同时除以公因数5得到8和5，此时8和5互质，因此120和75的最大公因数为$3×5=15$，即最大正方形的边长是15m。
2. 计算各方向可划分的正方形数量：
长的方向：$120÷15=8$（块）
宽的方向：$75÷15=5$（块）
3. 计算总块数：$8×5=40$（块）
【答案】
可以划分成40块。
【知识点】
最大公因数的求解；公因数的实际应用
【点评】
本题是最大公因数在实际场景中的典型应用题，解题核心是理解“面积最大且无剩余的正方形”的边长对应长方形长和宽的最大公因数，结合整数乘除法计算即可，重点考查对最大公因数概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要把长方形土地划分成面积相等且最大的正方形、且没有剩余，首先明确：正方形的边长必须同时是长方形长和宽的因数，也就是长和宽的公因数；要让正方形面积最大，边长就要取长和宽的最大公因数。接下来先求出120和75的最大公因数，再分别计算长、宽方向能划分出多少个这样的正方形，最后把两个方向的数量相乘，就能得到总块数。
【解析】
1. 求120和75的最大公因数：
用短除法计算，120和75先同时除以公因数3得到40和25，再同时除以公因数5得到8和5，此时8和5互质，因此120和75的最大公因数为$3×5=15$，即最大正方形的边长是15m。
2. 计算各方向可划分的正方形数量：
长的方向：$120÷15=8$（块）
宽的方向：$75÷15=5$（块）
3. 计算总块数：$8×5=40$（块）
【答案】
可以划分成40块。
【知识点】
最大公因数的求解；公因数的实际应用
【点评】
本题是最大公因数在实际场景中的典型应用题，解题核心是理解“面积最大且无剩余的正方形”的边长对应长方形长和宽的最大公因数，结合整数乘除法计算即可，重点考查对最大公因数概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
7.节约粮食是中华民族的传统美德。社区组织45名志愿者到小区的4个单元宣传节粮新观念，弘扬节俭美德。节粮宣传牌是用一根长24 dm的铁丝围成的一个长方形。
(1)每个单元派的都是奇数名志愿者，你能按要求分配任务吗？请说明理由。
(2)要求节粮宣传牌的长和宽都是整分米数，而且都是质数，则围成的节粮宣传牌的长和宽分别是多少？这个节粮宣传牌的面积是多少？
(1)每个单元派的都是奇数名志愿者，你能按要求分配任务吗？请说明理由。
(2)要求节粮宣传牌的长和宽都是整分米数，而且都是质数，则围成的节粮宣传牌的长和宽分别是多少？这个节粮宣传牌的面积是多少？
答案
(1)不能。因为4个奇数相加的和是偶数,而45是奇数,所以不能按要求分配任务。
(2)24÷2=12(dm) 12=7+5
7×5=35(dm²)
围成的节粮宣传牌的长是7 dm,宽是5 dm,这个节粮宣传牌的面积是35 dm²。
(2)24÷2=12(dm) 12=7+5
7×5=35(dm²)
围成的节粮宣传牌的长是7 dm,宽是5 dm,这个节粮宣传牌的面积是35 dm²。
解析
【分析】
(1) 要判断是否能给4个单元都分配奇数名志愿者，先回忆奇数相加的和的奇偶性规律：两个奇数相加的和是偶数，4个奇数相加相当于两组奇数求和，也就是两个偶数相加，最终和仍是偶数。总志愿者人数为45，是奇数，和4个奇数的和为偶数的结论矛盾，因此无法分配。
(2) 已知长方形宣传牌的周长是24dm，首先根据长方形周长公式推导出长与宽的和。接下来需要把这个和拆成两个均为质数的整数，且长大于宽，找到符合条件的长和宽后，再用长方形面积公式计算宣传牌的面积即可。
【解析】
(1) 理由：奇数+奇数=偶数，4个奇数相加的和为偶数，而总志愿者人数45是奇数，二者矛盾，因此不能按要求分配任务。
(2) 第一步：计算长与宽的和，根据长方形周长公式：周长=（长+宽）×2，可得长+宽=24÷2=12(dm)。
第二步：拆分12为两个质数的和，12以内的质数有2、3、5、7、11，只有5+7=12符合要求，且长大于宽，因此长为7dm，宽为5dm。
第三步：计算面积，长方形面积=长×宽，即7×5=35(dm²)。
【答案】
(1)不能。因为4个奇数相加的和是偶数,而45是奇数,所以不能按要求分配任务。
(2)围成的节粮宣传牌的长是7 dm,宽是5 dm,这个节粮宣传牌的面积是35 dm²。
【知识点】
1. 奇偶性运算性质
2. 长方形周长与面积计算
3. 质数的认识
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了数论中奇偶性、质数的基础知识点，又融合了长方形周长、面积的几何计算，能够引导学生学会将所学数学知识运用到解决实际问题中。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断是否能给4个单元都分配奇数名志愿者，先回忆奇数相加的和的奇偶性规律：两个奇数相加的和是偶数，4个奇数相加相当于两组奇数求和，也就是两个偶数相加，最终和仍是偶数。总志愿者人数为45，是奇数，和4个奇数的和为偶数的结论矛盾，因此无法分配。
(2) 已知长方形宣传牌的周长是24dm，首先根据长方形周长公式推导出长与宽的和。接下来需要把这个和拆成两个均为质数的整数，且长大于宽，找到符合条件的长和宽后，再用长方形面积公式计算宣传牌的面积即可。
【解析】
(1) 理由：奇数+奇数=偶数，4个奇数相加的和为偶数，而总志愿者人数45是奇数，二者矛盾，因此不能按要求分配任务。
(2) 第一步：计算长与宽的和，根据长方形周长公式：周长=（长+宽）×2，可得长+宽=24÷2=12(dm)。
第二步：拆分12为两个质数的和，12以内的质数有2、3、5、7、11，只有5+7=12符合要求，且长大于宽，因此长为7dm，宽为5dm。
第三步：计算面积，长方形面积=长×宽，即7×5=35(dm²)。
【答案】
(1)不能。因为4个奇数相加的和是偶数,而45是奇数,所以不能按要求分配任务。
(2)围成的节粮宣传牌的长是7 dm,宽是5 dm,这个节粮宣传牌的面积是35 dm²。
【知识点】
1. 奇偶性运算性质
2. 长方形周长与面积计算
3. 质数的认识
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了数论中奇偶性、质数的基础知识点，又融合了长方形周长、面积的几何计算，能够引导学生学会将所学数学知识运用到解决实际问题中。
【难度系数】
0.7
