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8.如图6，AB//CD，那么∠A+∠C+∠AEC等于（
A.$360°$
B.$270°$
C.$200°$
D.$180°$
A
）A.$360°$
B.$270°$
C.$200°$
D.$180°$
答案
8.A
解析
【分析】
本题是平行线背景下的角度求和问题，图形存在明显拐点E，解决这类题的常规思路是过拐点作已知平行线的平行线，把分散的三个角转化为平行线间的同旁内角，再利用平行线的性质计算角度总和。
【解析】
过点E作EF//AB。
∵AB//CD（已知），
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵EF//AB，
∴∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵EF//CD，
∴∠C + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
将两个等式相加得：
∠A + ∠AEF + ∠CEF + ∠C = 180° + 180° = 360°，
又
∵∠AEF + ∠CEF = ∠AEC，
∴∠A + ∠C + ∠AEC = 360°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；辅助线构造
【点评】
这道题是平行线相关的经典基础题型，核心考查过拐点作平行线的辅助线技巧，熟练掌握平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是平行线背景下的角度求和问题，图形存在明显拐点E，解决这类题的常规思路是过拐点作已知平行线的平行线，把分散的三个角转化为平行线间的同旁内角，再利用平行线的性质计算角度总和。
【解析】
过点E作EF//AB。
∵AB//CD（已知），
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵EF//AB，
∴∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵EF//CD，
∴∠C + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
将两个等式相加得：
∠A + ∠AEF + ∠CEF + ∠C = 180° + 180° = 360°，
又
∵∠AEF + ∠CEF = ∠AEC，
∴∠A + ∠C + ∠AEC = 360°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；辅助线构造
【点评】
这道题是平行线相关的经典基础题型，核心考查过拐点作平行线的辅助线技巧，熟练掌握平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.将一个三角尺与两边平行的纸条按如图7所示放置,下列结论:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③∠2+∠4=90°;④∠4+∠5=180°.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9.D
解析
【分析】
本题考查平行线性质与三角尺特征的结合应用，解题思路如下：首先回忆平行线的三条性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。再结合三角尺的直角为90°、平角为180°的特征，逐一判断四个结论是否成立即可。
【解析】
已知纸条两边平行，结合图形和相关性质逐一判断：
1. 对于结论①：∠1与∠2是两平行直线被第三条直线所截形成的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠2，故①正确；
2. 对于结论②：∠3与∠4是两平行直线被第三条直线所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠3=∠4，故②正确；
3. 对于结论③：三角尺的顶角为直角（90°），∠2、∠4与该直角三个角共同组成平角（180°），因此∠2+∠4=180°-90°=90°，故③正确；
4. 对于结论④：∠4与∠5是两平行直线被第三条直线所截形成的同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠4+∠5=180°，故④正确。
综上，4个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平角的定义
3. 直角的特征
【点评】
本题属于基础几何题，将平行线的性质与三角尺的特殊角特征结合考查，只要熟练掌握平行线的三类角对应性质，结合特殊角的度数关系即可快速判断。
【难度系数】
0.9
本题考查平行线性质与三角尺特征的结合应用，解题思路如下：首先回忆平行线的三条性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。再结合三角尺的直角为90°、平角为180°的特征，逐一判断四个结论是否成立即可。
【解析】
已知纸条两边平行，结合图形和相关性质逐一判断：
1. 对于结论①：∠1与∠2是两平行直线被第三条直线所截形成的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠2，故①正确；
2. 对于结论②：∠3与∠4是两平行直线被第三条直线所截形成的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠3=∠4，故②正确；
3. 对于结论③：三角尺的顶角为直角（90°），∠2、∠4与该直角三个角共同组成平角（180°），因此∠2+∠4=180°-90°=90°，故③正确；
4. 对于结论④：∠4与∠5是两平行直线被第三条直线所截形成的同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠4+∠5=180°，故④正确。
综上，4个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平角的定义
3. 直角的特征
【点评】
本题属于基础几何题，将平行线的性质与三角尺的特殊角特征结合考查，只要熟练掌握平行线的三类角对应性质，结合特殊角的度数关系即可快速判断。
【难度系数】
0.9
10. 一大门的栏杆如图8所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=
270
度。答案
10.270
解析
【分析】
要求∠ABC+∠BCD的度数，已知BA⊥AE，CD//AE，直接计算两个角的度数比较困难，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度关系。首先过点B作BF//AE，根据平行公理的推论可得BF//CD，再结合平行线的同旁内角互补以及垂直的性质，分别求出相关角的和，最终得到所求的角度和。
【解析】
过点B作BF//AE，
∵ CD//AE，
∴ BF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠BCD + ∠CBF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ BA⊥AE，
∴ ∠BAE = 90°，
∵ BF//AE，
∴ ∠ABF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠ABF = 180° - 90° = 90°。
∵ ∠ABC = ∠ABF + ∠CBF，
∴ ∠ABC + ∠BCD = ∠ABF + ∠CBF + ∠BCD = 90° + 180° = 270°。
【答案】
270
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的定义
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的关键是合理作辅助线构造平行线，将分散的角度关系整合，解题时注意区分平行线的性质和判定。
【难度系数】
0.7
要求∠ABC+∠BCD的度数，已知BA⊥AE，CD//AE，直接计算两个角的度数比较困难，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度关系。首先过点B作BF//AE，根据平行公理的推论可得BF//CD，再结合平行线的同旁内角互补以及垂直的性质，分别求出相关角的和，最终得到所求的角度和。
【解析】
过点B作BF//AE，
∵ CD//AE，
∴ BF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠BCD + ∠CBF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ BA⊥AE，
∴ ∠BAE = 90°，
∵ BF//AE，
∴ ∠ABF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠ABF = 180° - 90° = 90°。
∵ ∠ABC = ∠ABF + ∠CBF，
∴ ∠ABC + ∠BCD = ∠ABF + ∠CBF + ∠BCD = 90° + 180° = 270°。
【答案】
270
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的定义
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，解题的关键是合理作辅助线构造平行线，将分散的角度关系整合，解题时注意区分平行线的性质和判定。
【难度系数】
0.7
11.如图9,已知直线AB//CD,∠GEB的平分线EF交CD于点F.若∠1=42°,则∠2=
$159°$
.答案
11.$159°$
解析
【分析】
解题可按3步推导：①首先根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，由AB//CD可直接得到∠GEB和∠1相等，算出∠GEB的度数；②再结合EF是∠GEB的平分线，利用角平分线的定义，可求出∠BEF的度数为∠GEB的一半；③最后再次利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可知∠BEF与∠2的和为180°，代入∠BEF的数值即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠GEB=∠1=42°（两直线平行，同位角相等）
∵EF是∠GEB的平分线（已知）
∴∠BEF=$\frac{1}{2}$∠GEB=$\frac{1}{2}$×42°=21°（角平分线的定义）
又
∵AB//CD（已知）
∴∠BEF+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠2=180°-21°=159°
【答案】
159°
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、角度运算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察平行线性质和角平分线定义的应用，解题时需准确识别平行线形成的同位角、同旁内角，结合已知条件逐步推导即可求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题可按3步推导：①首先根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，由AB//CD可直接得到∠GEB和∠1相等，算出∠GEB的度数；②再结合EF是∠GEB的平分线，利用角平分线的定义，可求出∠BEF的度数为∠GEB的一半；③最后再次利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可知∠BEF与∠2的和为180°，代入∠BEF的数值即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠GEB=∠1=42°（两直线平行，同位角相等）
∵EF是∠GEB的平分线（已知）
∴∠BEF=$\frac{1}{2}$∠GEB=$\frac{1}{2}$×42°=21°（角平分线的定义）
又
∵AB//CD（已知）
∴∠BEF+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠2=180°-21°=159°
【答案】
159°
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、角度运算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察平行线性质和角平分线定义的应用，解题时需准确识别平行线形成的同位角、同旁内角，结合已知条件逐步推导即可求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
12.如图10，AB//DE，∠1=∠ACB，AC平分∠BAD.
(1)求证:AD//BC；
(2)若∠B=80°,求∠ADE的度数.
(1)求证:AD//BC；
(2)若∠B=80°,求∠ADE的度数.
答案
12.(1)略 (2)$∠ ADE=80°$
解析
【分析】
(1)要证明AD//BC，根据平行线的判定定理，只需证明内错角∠DAC=∠ACB即可。首先利用AB//DE的性质得到∠BAC=∠1，结合已知∠1=∠ACB，等量代换得∠BAC=∠ACB；再根据AC平分∠BAD的定义，得到∠BAC=∠DAC，再次等量代换即可得到∠DAC=∠ACB，进而判定AD//BC。
(2)要求∠ADE的度数，可通过平行线的性质进行角的等量代换：先由AB//DE得∠B和∠DEC相等，再由已证的AD//BC得∠ADE和∠DEC相等，即可推出∠ADE=∠B，代入已知∠B的度数即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵AB//DE（已知）
∴∠BAC=∠1（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠ACB（已知）
∴∠BAC=∠ACB（等量代换）
∵AC平分∠BAD（已知）
∴∠BAC=∠DAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠ACB（等量代换）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
(2)解：
∵AB//DE（已知）
∴∠B=∠DEC（两直线平行，同位角相等）
∵AD//BC（已证）
∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）
∴∠ADE=∠B（等量代换）
∵∠B=80°（已知）
∴∠ADE=80°
【答案】
(1)证明见解析；(2)$∠ADE=80°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线相关定理和角平分线定义的综合应用，解题核心是通过角的等量代换得到判定平行的条件，再利用平行线性质推导所求角的度数，解题时需理清角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.75
(1)要证明AD//BC，根据平行线的判定定理，只需证明内错角∠DAC=∠ACB即可。首先利用AB//DE的性质得到∠BAC=∠1，结合已知∠1=∠ACB，等量代换得∠BAC=∠ACB；再根据AC平分∠BAD的定义，得到∠BAC=∠DAC，再次等量代换即可得到∠DAC=∠ACB，进而判定AD//BC。
(2)要求∠ADE的度数，可通过平行线的性质进行角的等量代换：先由AB//DE得∠B和∠DEC相等，再由已证的AD//BC得∠ADE和∠DEC相等，即可推出∠ADE=∠B，代入已知∠B的度数即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵AB//DE（已知）
∴∠BAC=∠1（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠ACB（已知）
∴∠BAC=∠ACB（等量代换）
∵AC平分∠BAD（已知）
∴∠BAC=∠DAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠ACB（等量代换）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
(2)解：
∵AB//DE（已知）
∴∠B=∠DEC（两直线平行，同位角相等）
∵AD//BC（已证）
∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）
∴∠ADE=∠B（等量代换）
∵∠B=80°（已知）
∴∠ADE=80°
【答案】
(1)证明见解析；(2)$∠ADE=80°$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线相关定理和角平分线定义的综合应用，解题核心是通过角的等量代换得到判定平行的条件，再利用平行线性质推导所求角的度数，解题时需理清角之间的位置和数量关系。
【难度系数】
0.75
13. 如图11，$l$表示一条弯曲的小河，$m$表示一条笔直的公路，点$A,B$表示两个村庄.
(1)在小河哪处架桥可以使$A$村和$B$村之间的路程最短？作出图形，并将桥的位置记为点$P$；
(2)为了方便$A$村村民出行，现计划在公路边新建一个公交站点，使得$A$村到该公交站点的距离最短，作出图形，并将公交站点的位置记为点$Q$.
(1)在小河哪处架桥可以使$A$村和$B$村之间的路程最短？作出图形，并将桥的位置记为点$P$；
(2)为了方便$A$村村民出行，现计划在公路边新建一个公交站点，使得$A$村到该公交站点的距离最短，作出图形，并将公交站点的位置记为点$Q$.
答案
解：
(1) 根据“两点之间，线段最短”，连接A、B两点，线段AB与小河l的交点即为点P，点P就是所求的架桥位置。
(2) 根据“垂线段最短”，过点A作直线m的垂线，垂足即为点Q，点Q就是所求的公交站点位置。
作图结果：用实线连接AB，标注交点P；用虚线画出A到m的垂线段，标注垂足Q，标注直角符号。
(1) 根据“两点之间，线段最短”，连接A、B两点，线段AB与小河l的交点即为点P，点P就是所求的架桥位置。
(2) 根据“垂线段最短”，过点A作直线m的垂线，垂足即为点Q，点Q就是所求的公交站点位置。
作图结果：用实线连接AB，标注交点P；用虚线画出A到m的垂线段，标注垂足Q，标注直角符号。
解析
【分析】
本题分为两个最短路径求解的小问，解题思路如下：
(1) 要在小河上找架桥点使得A村到B村路程最短，依据两点之间线段最短的原理，只需要连接A、B两个定点，线段与小河l的交点就是架桥位置，此时A到B经过该点的路程就是线段AB的长度，为最短路径。
(2) 要在公路边找公交站使得A村到站点距离最短，依据直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短的原理，过A点向公路m作垂线，垂足就是公交站位置，此时A到站点的距离最短。
【解析】
(1) 连接A、B两点，使用实线绘制线段AB，线段AB与小河l的交点即为架桥位置，标注该点为P。
(2) 过点A向直线m作垂线，垂线段使用虚线绘制，垂线与直线m的垂足即为公交站点位置，标注该点为Q，并在垂足处标注直角符号。
【答案】
(1) 连接A、B两点，线段AB与小河l的交点即为点P，是所求架桥位置；
(2) 过点A作直线m的垂线，垂足即为点Q，是所求公交站点位置；作图需按要求标注点位与直角符号。
【知识点】
两点之间线段最短，垂线段最短，垂线的画法
【点评】
本题是几何最短路径的基础应用题型，核心考查两个常用的最短路径性质，解题难度低，只要熟练掌握相关性质，按规范要求作图即可得分。
【难度系数】
0.8
本题分为两个最短路径求解的小问，解题思路如下：
(1) 要在小河上找架桥点使得A村到B村路程最短，依据两点之间线段最短的原理，只需要连接A、B两个定点，线段与小河l的交点就是架桥位置，此时A到B经过该点的路程就是线段AB的长度，为最短路径。
(2) 要在公路边找公交站使得A村到站点距离最短，依据直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短的原理，过A点向公路m作垂线，垂足就是公交站位置，此时A到站点的距离最短。
【解析】
(1) 连接A、B两点，使用实线绘制线段AB，线段AB与小河l的交点即为架桥位置，标注该点为P。
(2) 过点A向直线m作垂线，垂线段使用虚线绘制，垂线与直线m的垂足即为公交站点位置，标注该点为Q，并在垂足处标注直角符号。
【答案】
(1) 连接A、B两点，线段AB与小河l的交点即为点P，是所求架桥位置；
(2) 过点A作直线m的垂线，垂足即为点Q，是所求公交站点位置；作图需按要求标注点位与直角符号。
【知识点】
两点之间线段最短，垂线段最短，垂线的画法
【点评】
本题是几何最短路径的基础应用题型，核心考查两个常用的最短路径性质，解题难度低，只要熟练掌握相关性质，按规范要求作图即可得分。
【难度系数】
0.8
14.如图12，已知直线$a // b$，三角形ABC为直角三角形，$∠ BCA=90°$，$∠ BAC=30°$。
(1)在图12①中，$∠ 1=46°$，求$∠ 2$的度数；
(2)如图12②，把直线a向上平移，并把$∠ 2$的位置改变，求证：$∠ 2 - ∠ 1=120°$。
(1)在图12①中，$∠ 1=46°$，求$∠ 2$的度数；
(2)如图12②，把直线a向上平移，并把$∠ 2$的位置改变，求证：$∠ 2 - ∠ 1=120°$。
答案
14.(1)$∠ 2=44°$ (2)略
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用平角的度数为180°，结合已知的∠1和∠BCA的度数，求出AC与直线b的锐角夹角，再根据平行线同位角相等的性质，即可得到∠2的度数。
(2) 解题思路：先根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再过点B作平行于直线a的辅助线，利用平行线的传递性得到辅助线也平行于b，结合平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，将∠1、∠2和∠ABC的关系建立起来，整理后即可证明结论。
【解析】
(1) 解：设直线AC与直线b的锐角夹角为∠ACD，由平角的定义可得：
$∠1 + ∠ BCA + ∠ ACD = 180°$
已知$∠1=46°$，$∠ BCA=90°$，代入得：
$46° + 90° + ∠ ACD = 180°$
解得$∠ ACD=44°$
又
∵$a// b$，根据两直线平行，同位角相等
∴$∠2=∠ ACD=44°$
(2) 证明：在$Rt△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180° - ∠ BCA - ∠ BAC=180° -90° -30°=60°$
过点B作$BG// a$，
∵$a// b$，
∴$BG// a// b$（平行线的传递性）
∵$BG// b$，
∴$∠1=∠ CBG$（两直线平行，内错角相等）
∵$BG// a$，
∴$∠2 + ∠ ABG=180°$（两直线平行，同旁内角互补），即$∠ ABG=180°-∠2$
又
∵$∠ ABC=∠ ABG + ∠ CBG=60°$，将$∠ ABG=180°-∠2$、$∠ CBG=∠1$代入得：
$180° - ∠2 + ∠1=60°$
移项整理得：$∠2 - ∠1=120°$，得证。
【答案】
(1)$∠2=44°$；(2)$∠2 - ∠1=120°$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义
【点评】
本题侧重考查平行线性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是合理构造辅助线，利用平行线的性质将不同位置的角建立数量联系，梳理清楚角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先利用平角的度数为180°，结合已知的∠1和∠BCA的度数，求出AC与直线b的锐角夹角，再根据平行线同位角相等的性质，即可得到∠2的度数。
(2) 解题思路：先根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再过点B作平行于直线a的辅助线，利用平行线的传递性得到辅助线也平行于b，结合平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，将∠1、∠2和∠ABC的关系建立起来，整理后即可证明结论。
【解析】
(1) 解：设直线AC与直线b的锐角夹角为∠ACD，由平角的定义可得：
$∠1 + ∠ BCA + ∠ ACD = 180°$
已知$∠1=46°$，$∠ BCA=90°$，代入得：
$46° + 90° + ∠ ACD = 180°$
解得$∠ ACD=44°$
又
∵$a// b$，根据两直线平行，同位角相等
∴$∠2=∠ ACD=44°$
(2) 证明：在$Rt△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180° - ∠ BCA - ∠ BAC=180° -90° -30°=60°$
过点B作$BG// a$，
∵$a// b$，
∴$BG// a// b$（平行线的传递性）
∵$BG// b$，
∴$∠1=∠ CBG$（两直线平行，内错角相等）
∵$BG// a$，
∴$∠2 + ∠ ABG=180°$（两直线平行，同旁内角互补），即$∠ ABG=180°-∠2$
又
∵$∠ ABC=∠ ABG + ∠ CBG=60°$，将$∠ ABG=180°-∠2$、$∠ CBG=∠1$代入得：
$180° - ∠2 + ∠1=60°$
移项整理得：$∠2 - ∠1=120°$，得证。
【答案】
(1)$∠2=44°$；(2)$∠2 - ∠1=120°$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义
【点评】
本题侧重考查平行线性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是合理构造辅助线，利用平行线的性质将不同位置的角建立数量联系，梳理清楚角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
