如图,在$\odot O$中,$∠ AOB=90°$,AC和BE都是$\odot O$的切线,点A和点B是切点,BE交OC于点E,OC交$\odot O$于点D,$AD=CD$.若$OA=3$,则CE的长为.

6-2√3

【分析】
首先利用切线的性质得到∠CAO=90°，结合AD=CD推出△ACD为等腰三角形，得∠C=∠CAD；再由OA=OD得到△OAD为等腰三角形，结合三角形外角性质得到∠OAD=2∠C，根据∠CAO=90°即可求出∠C=30°，进而算出OC的长度；再求出∠BOE的度数，在Rt△OBE中利用三角函数求出OE的长度，最后用OC减去OE即可得到CE的长。
【解析】
1. 因为AC是$\odot O$的切线，A为切点，所以$∠ CAO=90°$。
2. 因为$AD=CD$，所以$∠ C=∠ CAD$。
3. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，则$∠ OAD=∠ ODA$。
4. 因为$∠ ODA$是$△ ACD$的外角，所以$∠ ODA=∠ C+∠ CAD=2∠ C$，因此$∠ OAD=2∠ C$。
5. 由$∠ CAO=∠ CAD+∠ OAD=∠ C+2∠ C=3∠ C=90°$，解得$∠ C=30°$。
6. 在$Rt△ CAO$中，$∠ C=30°$，$OA=3$，所以$OC=2OA=6$，$∠ COA=90°-30°=60°$。
7. 因为$∠ AOB=90°$，所以$∠ BOE=∠ AOB-∠ COA=90°-60°=30°$。
8. 因为BE是$\odot O$的切线，B为切点，所以$∠ OBE=90°$。
9. 在$Rt△ OBE$中，$OB=OA=3$，$\cos∠ BOE=\frac{OB}{OE}$，所以$OE=\frac{OB}{\cos30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。
10. 因此$CE=OC-OE=6-2\sqrt{3}$。
【答案】
$6-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形
【点评】
本题综合考查了圆的切线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及三角函数的应用，解题的关键是先通过角的关系求出$∠ C$的度数，再逐步计算对应线段的长度。
【难度系数】
0.65

1. 在平面直角坐标系中，$\odot M$ 的圆心坐标为$(3,5)$，半径为4，那么$x$轴与$\odot M$的位置关系是（）

A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切

1.A

【分析】
要判断x轴与$\odot M$的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：先求出圆心到直线（x轴）的距离$d$，再将$d$与圆的半径$r$比较大小：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。首先回忆平面直角坐标系中点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，由此先算出圆心$M$到x轴的距离，再和半径4比较即可得出结论。
【解析】
第一步：计算圆心$M(3,5)$到x轴的距离$d$
平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，因此$d=|5|=5$。
第二步：比较距离$d$和半径$r$的大小
已知$\odot M$的半径$r=4$，可得$d=5＞r=4$。
第三步：判断位置关系
根据直线与圆的位置关系判定规则，当$d＞r$时，直线和圆相离，因此x轴与$\odot M$相离。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定逻辑，解题关键是准确计算圆心到x轴的距离，掌握距离与半径的大小对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9