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10.小明是一位善于思考、勇于创新的同学。在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根。比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根。有一天，小明想：如果存在一个数i，使$i^2＝－1$，那么$(－i)^2＝－1$，因此－1就有两个平方根了。进一步，小明想：因为$(±2i)^2＝－4$，所以－4的平方根就是$±2i$；因为$(±3i)^2＝－9$，所以－9的平方根就是$±3i$。请根据上面的信息解答下列问题：
(1)求－16，－25的平方根；
(2)求$i^3$，$i^4$，$i^5$，$i^6$，$i^7$，$i^8$，…的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来。
(1)求－16，－25的平方根；
(2)求$i^3$，$i^4$，$i^5$，$i^6$，$i^7$，$i^8$，…的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来。
答案
解:(1)因为$(±4i)^2=-16$,
所以$\pm\sqrt{-16}=\pm4i$。
因为$(±5i)^2=-25$,所以$\pm\sqrt{-25}=\pm5i$。
(2)$i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,
$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,
$i^8=i^7· i=1$。
规律:i 每四次方一个循环,即 i,−1,−i,1。
所以$\pm\sqrt{-16}=\pm4i$。
因为$(±5i)^2=-25$,所以$\pm\sqrt{-25}=\pm5i$。
(2)$i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,
$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,
$i^8=i^7· i=1$。
规律:i 每四次方一个循环,即 i,−1,−i,1。
解析
【分析】
(1) 解题时参考题干给出的示例，求负数的平方根，只需找到对应的±ki，满足它的平方等于该负数即可，其中k为正数，k的平方等于负数去掉负号后的数值。
(2) 计算i的高次幂时，利用已知条件$i^2=-1$，把高于2次的幂拆成$i^2$和i的低次幂相乘的形式，代入$i^2=-1$降次计算，再观察计算结果的重复特点，即可总结出规律。
【解析】
(1) 计算可得$(±4i)^2=(±4)^2×i^2=16×(-1)=-16$，因此-16的平方根为$±4i$，即$\pm\sqrt{-16}=\pm4i$；
同理，$(±5i)^2=(±5)^2×i^2=25×(-1)=-25$，因此-25的平方根为$±5i$，即$\pm\sqrt{-25}=\pm5i$。
(2) 结合$i^2=-1$逐步降次计算：
$i^3=i^2·i=-1×i=-i$；
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$；
$i^5=i^4·i=1×i=i$；
$i^6=i^5·i=i·i=i^2=-1$；
$i^7=i^6·i=-1×i=-i$；
$i^8=i^7·i=-i·i=-i^2=1$。
观察计算结果可以发现，i的幂次每增加4，计算结果就重复出现，呈现周期性循环的特点。
【答案】
(1) 因为$(±4i)^2=-16$,所以$\pm\sqrt{-16}=\pm4i$。
因为$(±5i)^2=-25$,所以$\pm\sqrt{-25}=\pm5i$。
(2) $i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,
$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,
$i^8=i^7· i=1$。
规律:i 每四次方一个循环,即 i,−1,−i,1。
【知识点】
平方根的概念；乘方运算；规律探究
【点评】
本题属于新定义阅读题，需要在理解题干给出的新规则的基础上，结合已学的平方根、乘方运算知识解决问题，能够有效考查学生的信息提取能力、知识迁移应用能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时参考题干给出的示例，求负数的平方根，只需找到对应的±ki，满足它的平方等于该负数即可，其中k为正数，k的平方等于负数去掉负号后的数值。
(2) 计算i的高次幂时，利用已知条件$i^2=-1$，把高于2次的幂拆成$i^2$和i的低次幂相乘的形式，代入$i^2=-1$降次计算，再观察计算结果的重复特点，即可总结出规律。
【解析】
(1) 计算可得$(±4i)^2=(±4)^2×i^2=16×(-1)=-16$，因此-16的平方根为$±4i$，即$\pm\sqrt{-16}=\pm4i$；
同理，$(±5i)^2=(±5)^2×i^2=25×(-1)=-25$，因此-25的平方根为$±5i$，即$\pm\sqrt{-25}=\pm5i$。
(2) 结合$i^2=-1$逐步降次计算：
$i^3=i^2·i=-1×i=-i$；
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$；
$i^5=i^4·i=1×i=i$；
$i^6=i^5·i=i·i=i^2=-1$；
$i^7=i^6·i=-1×i=-i$；
$i^8=i^7·i=-i·i=-i^2=1$。
观察计算结果可以发现，i的幂次每增加4，计算结果就重复出现，呈现周期性循环的特点。
【答案】
(1) 因为$(±4i)^2=-16$,所以$\pm\sqrt{-16}=\pm4i$。
因为$(±5i)^2=-25$,所以$\pm\sqrt{-25}=\pm5i$。
(2) $i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,
$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,
$i^8=i^7· i=1$。
规律:i 每四次方一个循环,即 i,−1,−i,1。
【知识点】
平方根的概念；乘方运算；规律探究
【点评】
本题属于新定义阅读题，需要在理解题干给出的新规则的基础上，结合已学的平方根、乘方运算知识解决问题，能够有效考查学生的信息提取能力、知识迁移应用能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
知识点一 立方根的定义
一般地,如果一个数$x$的立方等于$a$,即
（也叫作三次方根）。
一般地,如果一个数$x$的立方等于$a$,即
$x^3=a$
，那么这个数$x$就叫作$a$的立方根（也叫作三次方根）。
答案
$x^3=a$
解析
【分析】
这道题考查立方根定义的识记，解题时直接对应立方根的定义表述即可，不需要复杂推导，只要明确“一个数x的立方等于a”对应的数学表达式，就能快速得出答案。
【解析】
根据立方根的定义，“一个数x的立方等于a”中，x的立方用数学式子可表示为$x^3$，因此对应的等式就是$x^3=a$，所以横线处填写该式即可。
【答案】
$x^3=a$
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对基础数学定义的文字表述和对应数学表达式的转换能力，掌握核心概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查立方根定义的识记，解题时直接对应立方根的定义表述即可，不需要复杂推导，只要明确“一个数x的立方等于a”对应的数学表达式，就能快速得出答案。
【解析】
根据立方根的定义，“一个数x的立方等于a”中，x的立方用数学式子可表示为$x^3$，因此对应的等式就是$x^3=a$，所以横线处填写该式即可。
【答案】
$x^3=a$
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对基础数学定义的文字表述和对应数学表达式的转换能力，掌握核心概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
知识点二 立方根的性质
正数的立方根是
正数的立方根是
正数
，0的立方根是0，负数的立方根是负数
。答案
正数 负数
解析
【分析】
我们可以结合立方运算的符号规律推导立方根的性质，首先回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a（即$x^3=a$），那么x叫做a的立方根。已知立方运算的符号规律为：正数的立方是正数，0的立方是0，负数的立方是负数，反过来推导即可得到立方根的符号：找立方等于正数的数，只能是正数，因此正数的立方根是正数；找立方等于负数的数，只能是负数，因此负数的立方根是负数。
【解析】
根据立方根的定义和立方运算的符号规律推导：
1. 对任意正数a，仅存在正数x满足$x^3=a$，因此正数的立方根是正数；
2. 对任意负数a，仅存在负数x满足$x^3=a$，因此负数的立方根是负数。
和题中给出的“0的立方根是0”共同组成完整的立方根性质。
【答案】正数；负数
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方运算的符号规律
【点评】
本题属于概念识记类基础题，直接考查立方根的核心性质，解题关键是牢记立方根的符号规律，注意和平方根的性质做好区分，避免混淆。
【难度系数】
0.9
我们可以结合立方运算的符号规律推导立方根的性质，首先回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a（即$x^3=a$），那么x叫做a的立方根。已知立方运算的符号规律为：正数的立方是正数，0的立方是0，负数的立方是负数，反过来推导即可得到立方根的符号：找立方等于正数的数，只能是正数，因此正数的立方根是正数；找立方等于负数的数，只能是负数，因此负数的立方根是负数。
【解析】
根据立方根的定义和立方运算的符号规律推导：
1. 对任意正数a，仅存在正数x满足$x^3=a$，因此正数的立方根是正数；
2. 对任意负数a，仅存在负数x满足$x^3=a$，因此负数的立方根是负数。
和题中给出的“0的立方根是0”共同组成完整的立方根性质。
【答案】正数；负数
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 立方运算的符号规律
【点评】
本题属于概念识记类基础题，直接考查立方根的核心性质，解题关键是牢记立方根的符号规律，注意和平方根的性质做好区分，避免混淆。
【难度系数】
0.9
知识点三 开立方的定义
求一个数a的
求一个数a的
立方根
的运算叫作开立方，a叫作被开方数。答案
立方根
解析
【分析】
本题考查开立方的基本定义，解题时可类比已经学过的开平方运算的对应关系：开平方是求一个数的平方根的运算，由此类推开立方对应的就是求一个数的立方根的运算，只要准确识记开立方的定义内容就能直接完成填空。
【解析】
根据开立方的定义：求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数，因此横线处应填写立方根。
【答案】
立方根
【知识点】
开立方的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对数学基础定义的掌握程度，熟练记忆相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查开立方的基本定义，解题时可类比已经学过的开平方运算的对应关系：开平方是求一个数的平方根的运算，由此类推开立方对应的就是求一个数的立方根的运算，只要准确识记开立方的定义内容就能直接完成填空。
【解析】
根据开立方的定义：求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数，因此横线处应填写立方根。
【答案】
立方根
【知识点】
开立方的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对数学基础定义的掌握程度，熟练记忆相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
例1 求下列各数的立方根：
(1)$0.216$；(2)$-3\frac{3}{8}$；(3)$\pm125$。
[点拨] 运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法。求带分数的立方根时，要先将带分数化为假分数，且一个数的立方根只有一个。
[解] (1)因为$0.6^3=0.216$，
所以$0.216$的立方根是$0.6$，
即$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2)因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，而$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，
所以$-3\frac{3}{8}$的立方根是$-\frac{3}{2}$，
即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3)因为$5^3=125,(-5)^3=-125$，
所以$125$的立方根是$5$，即$\sqrt[3]{125}=5$；
$-125$的立方根是$-5$，即$\sqrt[3]{-125}=-5$。
(1)$0.216$；(2)$-3\frac{3}{8}$；(3)$\pm125$。
[点拨] 运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法。求带分数的立方根时，要先将带分数化为假分数，且一个数的立方根只有一个。
[解] (1)因为$0.6^3=0.216$，
所以$0.216$的立方根是$0.6$，
即$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2)因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，而$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，
所以$-3\frac{3}{8}$的立方根是$-\frac{3}{2}$，
即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3)因为$5^3=125,(-5)^3=-125$，
所以$125$的立方根是$5$，即$\sqrt[3]{125}=5$；
$-125$的立方根是$-5$，即$\sqrt[3]{-125}=-5$。
答案
解：
(1) 因为$0.6^3=0.216$，
所以0.216的立方根是0.6，
即$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2) 因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，而$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，
所以$-3\frac{3}{8}$的立方根是$-\frac{3}{2}$，
即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3) 因为$5^3=125$，$(-5)^3=-125$，
所以125的立方根是5，即$\sqrt[3]{125}=5$；
$-125$的立方根是$-5$，即$\sqrt[3]{-125}=-5$。
(1) 因为$0.6^3=0.216$，
所以0.216的立方根是0.6，
即$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2) 因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，而$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，
所以$-3\frac{3}{8}$的立方根是$-\frac{3}{2}$，
即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3) 因为$5^3=125$，$(-5)^3=-125$，
所以125的立方根是5，即$\sqrt[3]{125}=5$；
$-125$的立方根是$-5$，即$\sqrt[3]{-125}=-5$。
解析
【分析】
解本题的核心依据是立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根。解题思路如下：①对于小数$0.216$，直接寻找哪个数的立方运算结果等于$0.216$即可；②对于带分数$-3\frac{3}{8}$，需要先将带分数化为假分数，再根据负数的立方根是负数，寻找对应的负数的立方等于这个假分数；③对于$\pm125$，根据立方根的符号性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数），分别计算$125$和$-125$的立方根即可，注意不要和平方根的双根性质混淆。
【解析】
(1) 因为$0.6^3=0.216$，
所以$0.216$的立方根是$0.6$，
即$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2) 因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，而$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，
所以$-3\frac{3}{8}$的立方根是$-\frac{3}{2}$，
即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3) 因为$5^3=125$，$(-5)^3=-125$，
所以$125$的立方根是$5$，即$\sqrt[3]{125}=5$；
$-125$的立方根是$-5$，即$\sqrt[3]{-125}=-5$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{0.216}=0.6$；
(2)$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$；
(3)$\sqrt[3]{125}=5$，$\sqrt[3]{-125}=-5$。
【知识点】
1.立方根的定义
2.立方根的性质
3.开立方运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，考查通过立方逆运算求立方根的方法，解题时需注意带分数要先化为假分数再计算，同时要明确立方根的唯一性：任意实数都只有1个立方根，且立方根的符号与被开方数的符号一致，避免和平方根的性质混淆。
【难度系数】
0.8
解本题的核心依据是立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根。解题思路如下：①对于小数$0.216$，直接寻找哪个数的立方运算结果等于$0.216$即可；②对于带分数$-3\frac{3}{8}$，需要先将带分数化为假分数，再根据负数的立方根是负数，寻找对应的负数的立方等于这个假分数；③对于$\pm125$，根据立方根的符号性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数），分别计算$125$和$-125$的立方根即可，注意不要和平方根的双根性质混淆。
【解析】
(1) 因为$0.6^3=0.216$，
所以$0.216$的立方根是$0.6$，
即$\sqrt[3]{0.216}=0.6$。
(2) 因为$-3\frac{3}{8}=-\frac{27}{8}$，而$(-\frac{3}{2})^3=-\frac{27}{8}$，
所以$-3\frac{3}{8}$的立方根是$-\frac{3}{2}$，
即$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$。
(3) 因为$5^3=125$，$(-5)^3=-125$，
所以$125$的立方根是$5$，即$\sqrt[3]{125}=5$；
$-125$的立方根是$-5$，即$\sqrt[3]{-125}=-5$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{0.216}=0.6$；
(2)$\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}=-\frac{3}{2}$；
(3)$\sqrt[3]{125}=5$，$\sqrt[3]{-125}=-5$。
【知识点】
1.立方根的定义
2.立方根的性质
3.开立方运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，考查通过立方逆运算求立方根的方法，解题时需注意带分数要先化为假分数再计算，同时要明确立方根的唯一性：任意实数都只有1个立方根，且立方根的符号与被开方数的符号一致，避免和平方根的性质混淆。
【难度系数】
0.8
