10. 已知点 $ P(a + 1,2a - 3) $ 关于原点的对称点在第二象限,则 $ a $ 的取值范围是()
A. $ a ＜ -1 $
B. $ -1 ＜ a ＜ \frac{3}{2} $
C. $ -\frac{3}{2} ＜ a ＜ 1 $
D. $ a ＞ \frac{3}{2} $

B

11. (2025 武昌)在平面直角坐标系中,已知 $ \square ABCD $ 的三个顶点坐标分别是 $ A(m,n) $,$ B(2,-1) $,$ C(-m,-n) $,则点 $ D $ 的坐标是()
A. $ (-2,1) $
B. $ (-2,-1) $
C. $ (-1,-2) $
D. $ (-1,2) $

A

12. (2025 孝感)如图,在平面直角坐标系中,已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点坐标分别是 $ A(1,2) $,$ B(4,2) $,$ C(3,4) $．
(1)画出 $ \triangle ABC $ 关于原点对称的 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $($ A $,$ B $,$ C $ 的对应点分别为 $ A_{1} $,$ B_{1} $,$ C_{1} $)；
(2)画出 $ \triangle ABC $ 绕原点顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 后得到的 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $($ A $,$ B $,$ C $ 的对应点分别为 $ A_{2} $,$ B_{2} $,$ C_{2} $)；
(3) $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 绕某点旋转得到 $ \triangle A_{2}B_{2}C_{2} $,直接写出该点的坐标为______．

(1)(2)如图所示：

(3)$(0,0)$

13. (原创题)如图,抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $．
(1)求点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标；
(2)将点 $ C $ 向左平移 $ a(a ＞ 0) $ 个单位长度得到点 $ D $,点 $ D $ 关于原点的对称点 $ E $ 在抛物线上．求 $ a $ 的值；
(3)点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ M $,将线段 $ AM $ 绕某点旋转 $ 180^{\circ} $ 得到线段 $ A'M' $(点 $ A $ 与点 $ A' $ 对应,点 $ M $ 与点 $ M' $ 对应)．若点 $ A' $,$ M' $ 都在抛物线上,求点 $ A' $,$ M' $ 的坐标．

解：(1)令$x=0$，得$y=-3,$
$\therefore C(0,-3).$
令$y=0$，得$x^{2}-2x-3=0,$
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=3,$
$\therefore A(-1,0),B(3,0);$
(2)$\because C(0,-3),$
由题意，可设点$D(-a,-3),$
则点$E(a,3),$
$\therefore a^{2}-2a-3=3$，解得$a=1\pm \sqrt {7},$
$\because a＞0,\therefore a=1+\sqrt {7};$
(3)$\because C(0,-3),$
依题意，得$M(0,3),$
AM与$A'M'$关于某点成中心对称，
$\therefore AM\underline {\underline {// }}A'M',$
$\because A(-1,0),M(0,3),$
设$A'(a,b),$
则$M'(a-1,b-3),$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} a^{2}-2a-3=b,\\ (a-1)^{2}-2(a-1)-3=b-3,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=0,\end{array}\right. $
$\therefore$点$A'(3,0),M'(2,-3).$