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7. 如果$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}= 4$,则一定成立的是()
A. $a是b$的相反数
B. $a是b$的倒数
C. $a是-b$的相反数
D. $a是-b$的倒数
A. $a是b$的相反数
B. $a是b$的倒数
C. $a是-b$的相反数
D. $a是-b$的倒数
答案
B
8. (2024乐山中考)已知$a-b= 3$,$ab= 10$,则$a^{2}+b^{2}$的值为______.
答案
29
9. 已知长方形金鱼池的面积为1平方米,周长为6米,以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园,则两个正方形小花园面积之和是______平方米.
答案
7
10. (教材变式)已知$(a+b)^{2}= 25$,$(a-b)^{2}= 9$,求$ab与a^{2}+b^{2}$的值.
答案
解:$\because (a+b)^{2}=25,(a-b)^{2}=9$,
$\therefore a^{2}+b^{2}+2ab=25$, ①
$a^{2}+b^{2}-2ab=9$, ②
①+②, 得$2(a^{2}+b^{2})=34$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=17$.
①-②, 得$4ab=16$,
$\therefore ab=4$.
$\therefore a^{2}+b^{2}+2ab=25$, ①
$a^{2}+b^{2}-2ab=9$, ②
①+②, 得$2(a^{2}+b^{2})=34$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=17$.
①-②, 得$4ab=16$,
$\therefore ab=4$.
11. (2024武威中考)先化简,再求值:$[(2a+b)^{2}-(2a+b)(2a-b)]÷(2b)$,其中$a= 2$,$b= -1$.
答案
解: 原式$=[4a^{2}+4ab+b^{2}-(4a^{2}-b^{2})]÷(2b)$
$=(4ab+2b^{2})÷(2b)$
$=2a+b$.
当$a=2,b=-1$时,
原式$=2×2-1$
$=3$.
$=(4ab+2b^{2})÷(2b)$
$=2a+b$.
当$a=2,b=-1$时,
原式$=2×2-1$
$=3$.
12. 杨老师在黑板上布置了一道题,小白和小红展开了下面的讨论:
已知$y= 2$,求$(x+2y)(x-2y)-(x+3y)^{2}+6xy$的值.
你认为谁的说法正确? 请说明理由.
已知$y= 2$,求$(x+2y)(x-2y)-(x+3y)^{2}+6xy$的值.
你认为谁的说法正确? 请说明理由.
答案
解: 小红的说法正确. 理由如下:
$(x+2y)(x-2y)-(x+3y)^{2}+6xy$
$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}+6xy+9y^{2})+6xy=x^{2}-4y^{2}-x^{2}-6xy-9y^{2}+6xy=-13y^{2}$,
$\therefore$ 这道题的结果与$x$的取值无关,
当$y=2$时,
原式$=-13×2^{2}=-52$.
$(x+2y)(x-2y)-(x+3y)^{2}+6xy$
$=x^{2}-4y^{2}-(x^{2}+6xy+9y^{2})+6xy=x^{2}-4y^{2}-x^{2}-6xy-9y^{2}+6xy=-13y^{2}$,
$\therefore$ 这道题的结果与$x$的取值无关,
当$y=2$时,
原式$=-13×2^{2}=-52$.
13. 如图,$M是AG$的中点,$B是AG$上一点. 分别以$AB$,$BG$为边,作正方形$ABCD和正方形BGFE$,连接$MD和MF$. 设$AB= a$,$BG= b$,且$a+b= 12$,$ab= 9$,求图中阴影部分的面积.
答案
解:$\because AB=a,BG=b$, M 是 AG 的中点,
$\therefore AM=GM=\frac {a+b}{2}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}-S_{△ADM}-S_{△MGF}$
$=a^{2}+b^{2}-\frac {1}{2}a\cdot \frac {a+b}{2}-\frac {1}{2}b\cdot \frac {a+b}{2}$
$=a^{2}+b^{2}-\frac {1}{4}(a+b)^{2}$
$=(a+b)^{2}-2ab-\frac {1}{4}(a+b)^{2}$
$=\frac {3}{4}(a+b)^{2}-2ab$.
当$a+b=12,ab=9$时,
原式$=\frac {3}{4}×12^{2}-2×9=90$.
$\therefore AM=GM=\frac {a+b}{2}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}-S_{△ADM}-S_{△MGF}$
$=a^{2}+b^{2}-\frac {1}{2}a\cdot \frac {a+b}{2}-\frac {1}{2}b\cdot \frac {a+b}{2}$
$=a^{2}+b^{2}-\frac {1}{4}(a+b)^{2}$
$=(a+b)^{2}-2ab-\frac {1}{4}(a+b)^{2}$
$=\frac {3}{4}(a+b)^{2}-2ab$.
当$a+b=12,ab=9$时,
原式$=\frac {3}{4}×12^{2}-2×9=90$.
