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7. 箱内有50个白球和10个红球,小慧打算从箱内抽球31次,每次从箱内抽出一球,若抽出白球,则将白球放回箱内;若抽出红球,则不将红球放回箱内.已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次,若她第31次抽球时箱内的每个球被抽出的机会相等,则这次她抽出红球的概率为 ()
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{3}{28}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{3}{28}$
答案
D
解析
初始状态箱内有$50$个白球和$10$个红球，共$60$个球。
前$30$次抽球中，共抽出红球$4$次，由于抽出红球不放回，所以红球剩余数量为$10 - 4 = 6$个。
白球数量始终不变，因为抽出白球会放回，所以白球仍有$50$个。
此时箱内球的总数为$50 + 6 = 56$个。
根据等可能条件下的概率计算公式，第$31$次抽球时抽出红球的概率为红球个数除以球的总个数，即$\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$。
前$30$次抽球中，共抽出红球$4$次，由于抽出红球不放回，所以红球剩余数量为$10 - 4 = 6$个。
白球数量始终不变，因为抽出白球会放回，所以白球仍有$50$个。
此时箱内球的总数为$50 + 6 = 56$个。
根据等可能条件下的概率计算公式，第$31$次抽球时抽出红球的概率为红球个数除以球的总个数，即$\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$。
8. 在$□ ABCD$中,$AC$、$BD$是两条对角线,有以下四个关系:①$AB=BC$;②$AC=BD$;③$AC\perp BD$;④$AB\perp BC$.现从中随机选出一个作为条件,可推出$□ ABCD$是菱形的概率为.
答案
$\frac{1}{2}$（或 0.5）的填装形式（即概率的标准填空形式为分数或小数，本题答案以分数$\frac{1}{2}$为准进行盒子填充）为：$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
解析
要判断平行四边形$ABCD$是菱形，依次分析四个条件：
①$AB=BC$：
根据菱形的定义，邻边相等的平行四边形是菱形，所以条件①可以推出$ABCD$是菱形。
②$AC=BD$：
对角线相等的平行四边形是矩形，但不一定是菱形，所以条件②不能推出$ABCD$是菱形。
③$AC\perp BD$：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以条件③可以推出$ABCD$是菱形。
④$AB\perp BC$：
这个条件只能说明平行四边形有一个直角，即它是矩形，但并不能说明它是菱形，所以条件④不能推出$ABCD$是菱形。
从四个条件中随机选出一个，有2个条件（①和③）可以推出$ABCD$是菱形，所以概率为$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
①$AB=BC$：
根据菱形的定义，邻边相等的平行四边形是菱形，所以条件①可以推出$ABCD$是菱形。
②$AC=BD$：
对角线相等的平行四边形是矩形，但不一定是菱形，所以条件②不能推出$ABCD$是菱形。
③$AC\perp BD$：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以条件③可以推出$ABCD$是菱形。
④$AB\perp BC$：
这个条件只能说明平行四边形有一个直角，即它是矩形，但并不能说明它是菱形，所以条件④不能推出$ABCD$是菱形。
从四个条件中随机选出一个，有2个条件（①和③）可以推出$ABCD$是菱形，所以概率为$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
9. (2024·泸州)在一个不透明的盒子中装有6个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是$\frac{2}{3}$,则黄球的个数为.
答案
3
解析
设黄球的个数为$x$个，由题意，总球数为$6 + x$，摸到白球的概率为$\frac{6}{6 + x} = \frac{2}{3}$，即$18=2(6+x)$,$6+x=9$,解得$x = 3$。
10. 从-3、-2、2这三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点落在第三象限的概率是.
答案
$\frac{1}{3}$（或 填对应选择项）。
解析
首先，从$-3$，$-2$，$2$这三个数中任取两个不同的数，将所有的组合情况列举出来。
作为点的坐标，有以下$6$种情况（假设第一个数为$x$坐标，第二个数为$y$坐标）：$(-3, -2)$，$(-3, 2)$，$(-2, -3)$，$(-2, 2)$，$(2, -3)$，$(2, -2)$。
接下来，需要确定哪些点落在第三象限。
在第三象限，$x$坐标和$y$坐标都应该是负数。
从上面的组合中，满足这一条件的点有$2$个，即$(-3, -2)$和$(-2, -3)$。
因此，从$-3$，$-2$，$2$，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点落在第三象限的概率为满足条件的组合数除以所有可能的组合数，即$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
作为点的坐标，有以下$6$种情况（假设第一个数为$x$坐标，第二个数为$y$坐标）：$(-3, -2)$，$(-3, 2)$，$(-2, -3)$，$(-2, 2)$，$(2, -3)$，$(2, -2)$。
接下来，需要确定哪些点落在第三象限。
在第三象限，$x$坐标和$y$坐标都应该是负数。
从上面的组合中，满足这一条件的点有$2$个，即$(-3, -2)$和$(-2, -3)$。
因此，从$-3$，$-2$，$2$，这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点落在第三象限的概率为满足条件的组合数除以所有可能的组合数，即$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
11. (2024·苏州高新区期中)如图,在一不规则图形内,有一边长为$3\sqrt{3}$m的正方形,向不规则图形内随机地掷4000颗黄豆,数得落在正方形内(含边界)的黄豆有1350颗,以此试验数据为依据,可以估计出该不规则图形的面积.
(1) 随机向不规则图形内掷一颗黄豆,求黄豆落在正方形内(含边界)的概率;
(2) 请你估计该不规则图形的面积.
(1) 随机向不规则图形内掷一颗黄豆,求黄豆落在正方形内(含边界)的概率;
(2) 请你估计该不规则图形的面积.
答案
(1) 黄豆落在正方形内（含边界）的概率为：$\frac{1350}{4000} = \frac{27}{80}$。
(2) 正方形的面积为：$(3\sqrt{3})^2 = 27$（$m^2$）。
设不规则图形的面积为$S$，由概率公式得：$\frac{27}{S} = \frac{27}{80}$，解得$S = 80$（$m^2$）。
(1) $\frac{27}{80}$；(2) $80m^2$
(2) 正方形的面积为：$(3\sqrt{3})^2 = 27$（$m^2$）。
设不规则图形的面积为$S$，由概率公式得：$\frac{27}{S} = \frac{27}{80}$，解得$S = 80$（$m^2$）。
(1) $\frac{27}{80}$；(2) $80m^2$
12. (教材P132例2变式)一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个,它们除颜色外都相同,其中黄球的个数比白球个数的2倍少5.已知从袋子中摸出1个球是红球的概率是$\frac{3}{10}$.
(1) 求袋子中红球的个数;
(2) 求从袋子中摸出1个球是白球的概率;
(3) 取走10个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
(1) 求袋子中红球的个数;
(2) 求从袋子中摸出1个球是白球的概率;
(3) 取走10个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
答案
(1) 袋子中红球的个数：
由题意，从袋子中摸出1个球是红球的概率是 $\frac{3}{10}$，因此红球的数量为：
$100 × \frac{3}{10} = 30$，
所以袋子中红球的个数为30。
(2) 设白球有 $x$ 个，则黄球有 $2x - 5$ 个。
根据题意，红球、黄球和白球的总数为100，即：
$30 + x + (2x - 5) = 100$，
解这个方程，得到：
$3x = 75$，
$x = 25$，
所以白球有25个，从袋子中摸出1个球是白球的概率为：
$P(白球) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$。
(3) 取走10个球（其中没有红球）后，剩余的球数为90个，红球数量仍为30个。
因此，从剩余的球中摸出1个球是红球的概率为：
$P(红球) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$。
由题意，从袋子中摸出1个球是红球的概率是 $\frac{3}{10}$，因此红球的数量为：
$100 × \frac{3}{10} = 30$，
所以袋子中红球的个数为30。
(2) 设白球有 $x$ 个，则黄球有 $2x - 5$ 个。
根据题意，红球、黄球和白球的总数为100，即：
$30 + x + (2x - 5) = 100$，
解这个方程，得到：
$3x = 75$，
$x = 25$，
所以白球有25个，从袋子中摸出1个球是白球的概率为：
$P(白球) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$。
(3) 取走10个球（其中没有红球）后，剩余的球数为90个，红球数量仍为30个。
因此，从剩余的球中摸出1个球是红球的概率为：
$P(红球) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$。
