6. 在$\triangle ABC$中,$AB= 3\sqrt{6}$,$AC= 6$,$∠B= 45^{\circ}$,求$BC$的长.

情况一:当△ABC为锐角三角形时，如图①。
　　　　　　　　　 　　　　　
　过点A作AH⊥BC于H。
　∵∠B = 45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴$AH=BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$
　在Rt△ACH中，由勾股定理可知$CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{36 - 27}=3$
　∴$BC=BH + CH=3\sqrt{3}+3$。
　情况二:当△ABC为钝角三角形时，如图②。
　由情况一知$AH=BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$，$CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{36 - 27}=3$
　∴$BC=BH - CH=3\sqrt{3}-3$。
　综上所述，BC的长为$3\sqrt{3}+3$或$3\sqrt{3}-3$。

7. (2023·徐州改编)如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ}$,$∠A= 30^{\circ}$,$BC= 2$,$D为AB$的中点. 若点$E在边AC$上,且$\frac{AD}{AB}= \frac{DE}{BC}$,求$AE$的长.

∵∠B = 90°，∠A = 30°，BC = 2，
　∴$AB=\sqrt{3}BC=2\sqrt{3}$，$AC=2BC=4$。
　∵点D为AB的中点，
　∴$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$。
　∵$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
　∴$DE=1$。
　①当点E为AC的中点时，如图①，∴$AE=\frac{1}{2}AC=2$。
　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　
　②当点E为AC的四等分点时，如图②，
　∴$AE=1$。
　综上所述，$AE=1$或$2$。

8. (2024·山东)某中学有一块四边形的空地$ABCD$,如图所示. 为了绿化环境,学校计划在空地上种植花草,经测量$∠A= 90^{\circ}$,$AB= 9m$,$DA= 12m$,$BC= 8m$,$CD= 17m$,求空地$ABCD$的面积.

如图，连接BD，∵∠A = 90°，∴在Rt△ABD中，
$BD^{2}=AB^{2}+DA^{2}=9^{2}+12^{2}=225=15^{2}$，∴$BD=15(m)$。
在△CBD中，$BC=8m$，$CD=17m$，$BD=15m$，$8^{2}+15^{2}=17^{2}$，
即$BC^{2}+BD^{2}=CD^{2}$，∴△CBD为直角三角形，∠CBD = 90°。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△CBD}=\frac{1}{2}AB\cdot DA+\frac{1}{2}BC\cdot BD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114(m^{2})$。
答：空地ABCD的面积为$114m^{2}$。