【典型例题4】【阅读理解】
如图①,小明把一副三角尺的直角顶点O重叠在一起.如图②,固定三角尺AOB,将三角尺COD绕点O按顺时针方向旋转,每秒转动$15°$,当OD边与OB边重合时停止转动.
【解决问题】
(1)在旋转过程中,$∠ AOC,∠ BOD$之间的数量关系为.
(2)当三角尺COD转动9 s时,图中有角平分线吗?如果有,请找出来,并说明理由.
(3)当三角尺COD转动$t$ s时,若$∠ AOC,∠ BOD$中的一个角是另一个角的两倍,则称射线OC是$∠ AOB$的“优线”,请直接写出所有满足条件的$t$值.

【解】(1)$∠ AOC+∠ BOD=180°$
①如图③,$∠ AOC+∠ BOD=180°$.
理由如下:$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOC+∠ BOC+∠ COD=∠ AOB+∠ COD=90°+90°=180°$.
②如图④,$∠ AOC+∠ BOD=180°$.

理由如下:$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+∠ BOC+∠ BOD=∠ AOB+∠ DOC=90°+90°=180°$.
(2)有,OD平分$∠ AOB$,OB平分$∠ COD$.
理由如下:当三角尺COD转动9 s时,$∠ AOC=15°×9=135°$,如图⑤.

所以$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=135°-90°=45°$.
因为$∠ COD=90°$,
所以$∠ BOD=∠ COD-∠ BOC=90°-45°=45°$.
所以$∠ BOC=∠ BOD=45°$.
所以OB平分$∠ COD$.
因为$∠ BOD=45°=\frac{1}{2}∠ AOB$,
所以OD平分$∠ AOB$.
(3)由题意,得$∠ AOC=(15t)°$.
当$∠ BOD=2∠ AOC$时,由(1)知,$∠ AOC+∠ BOD=180°$,
所以$∠ AOC=60°$.
所以$15t=60$,
解得$t=4$.
当$∠ AOC=2∠ BOD$时,由(1)知,$∠ AOC+∠ BOD=180°$,
所以$∠ AOC=120°$.
所以$15t=120$,解得$t=8$.
综上,$t=4$或$t=8$.

解：
(1) $\boldsymbol{∠ AOC + ∠ BOD = 180°}$
理由如下：
当OC、OD都在$∠ AOB$外部时，
$∠ AOC + ∠ BOD = ∠ AOC + ∠ BOC + ∠ COD = ∠ AOB + ∠ COD = 90° + 90° = 180°$；
当边部分重叠时，
$∠ AOC + ∠ BOD = ∠ AOB + ∠ BOC + ∠ BOD = ∠ AOB + ∠ DOC = 90° + 90° = 180°$，
因此旋转过程中$∠ AOC + ∠ BOD = 180°$恒成立。
(2) 有，OD平分$∠ AOB$，OB平分$∠ COD$。
理由：当三角尺COD转动9 s时，转过的角度为$15° × 9 = 135°$，即$∠ AOC = 135°$。
$\because ∠ AOB = 90°$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 135° - 90° = 45°$。
又$\because ∠ COD = 90°$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ COD - ∠ BOC = 90° - 45° = 45°$。
$\therefore ∠ BOC = ∠ BOD = 45°$，
$\therefore OB$平分$∠ COD$。
$\because ∠ BOD = 45° = \frac{1}{2}∠ AOB$，
$\therefore OD$平分$∠ AOB$。
(3) 满足条件的$t$值为$4$或$8$。