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1. 若$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，则$\frac{a+b}{a}=$（）
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{2}$
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{7}{5}$
D.$\frac{7}{2}$
答案
C
解析
由$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，设$a=5k$，$b=2k$（$k≠0$），将其代入$\frac{a+b}{a}$，可得$\frac{a+b}{a}=\frac{5k+2k}{5k}=\frac{7k}{5k}=\frac{7}{5}$。
2. 下列选项中的两个图形一定相似的是 （）
A.两个等腰三角形
B.两个矩形
C.两个菱形
D.两个正五边形
A.两个等腰三角形
B.两个矩形
C.两个菱形
D.两个正五边形
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确相似多边形的判定标准：必须同时满足对应角相等和对应边成比例两个条件，缺一不可。接下来我们逐个验证选项：
1. 分析等腰三角形：等腰三角形仅保证两底角相等，但顶角可以任意取值，不同顶角的等腰三角形对应角不相等，因此不一定相似；
2. 分析矩形：矩形四个角都是90°，满足对应角相等，但长和宽的比例不固定，不同长宽比的矩形对应边不成比例，因此不一定相似；
3. 分析菱形：菱形四条边都相等，满足对应边成比例，但内角可以任意调整，不同内角的菱形对应角不相等，因此不一定相似；
4. 分析正五边形：所有同边数的正多边形，内角大小固定、各边长度相等，天然满足对应角相等、对应边成比例的要求，因此一定相似。
【解析】
相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件：
A. 两个等腰三角形：顶角不一定相等，对应角无法保证相等，不一定相似，排除；
B. 两个矩形：四个角均为直角，对应角相等，但长宽比不一定相同，对应边无法保证成比例，不一定相似，排除；
C. 两个菱形：四条边相等，对应边成比例，但内角不一定对应相等，不一定相似，排除；
D. 两个正五边形：每个内角均为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，对应角相等；所有边长均相等，对应边成比例，一定相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的判定、正多边形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略相似的两个判定条件缺一不可，误只满足角相等的矩形或只满足边成比例的菱形，掌握同边数正多边形天然满足相似判定条件是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确相似多边形的判定标准：必须同时满足对应角相等和对应边成比例两个条件，缺一不可。接下来我们逐个验证选项：
1. 分析等腰三角形：等腰三角形仅保证两底角相等，但顶角可以任意取值，不同顶角的等腰三角形对应角不相等，因此不一定相似；
2. 分析矩形：矩形四个角都是90°，满足对应角相等，但长和宽的比例不固定，不同长宽比的矩形对应边不成比例，因此不一定相似；
3. 分析菱形：菱形四条边都相等，满足对应边成比例，但内角可以任意调整，不同内角的菱形对应角不相等，因此不一定相似；
4. 分析正五边形：所有同边数的正多边形，内角大小固定、各边长度相等，天然满足对应角相等、对应边成比例的要求，因此一定相似。
【解析】
相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件：
A. 两个等腰三角形：顶角不一定相等，对应角无法保证相等，不一定相似，排除；
B. 两个矩形：四个角均为直角，对应角相等，但长宽比不一定相同，对应边无法保证成比例，不一定相似，排除；
C. 两个菱形：四条边相等，对应边成比例，但内角不一定对应相等，不一定相似，排除；
D. 两个正五边形：每个内角均为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，对应角相等；所有边长均相等，对应边成比例，一定相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的判定、正多边形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略相似的两个判定条件缺一不可，误只满足角相等的矩形或只满足边成比例的菱形，掌握同边数正多边形天然满足相似判定条件是解题关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，则下列等式中不成立的是 （）
A.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$
B.$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DE}{BC}$
C.$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
第3小题图
第4小题图
第5小题图
第6小题图
A.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$
B.$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{DE}{BC}$
C.$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
第3小题图
第4小题图
第5小题图
第6小题图
答案
解析
【分析】
已知DE//BC，首先联想到两个核心结论：一是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例；二是平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（即“A型”相似）。解题时逐个验证四个选项是否符合上述两个结论，找出不成立的选项即可。
【解析】
∵ DE//BC
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，因此选项C、D成立；
又
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{AC}$，因此选项A成立；
对于选项B：$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}≠\dfrac{AD}{DB}$，因此B不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础题，重点考查平行线分线段成比例的基本结论和“A型”相似的对应边比例关系，解题时要注意区分相似比（对应边与三角形整体边长的比）和分线段的比例关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
已知DE//BC，首先联想到两个核心结论：一是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例；二是平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（即“A型”相似）。解题时逐个验证四个选项是否符合上述两个结论，找出不成立的选项即可。
【解析】
∵ DE//BC
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，因此选项C、D成立；
又
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{AC}$，因此选项A成立；
对于选项B：$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}≠\dfrac{AD}{DB}$，因此B不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础题，重点考查平行线分线段成比例的基本结论和“A型”相似的对应边比例关系，解题时要注意区分相似比（对应边与三角形整体边长的比）和分线段的比例关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$∠ 1=∠ 2$，如果增加一个条件就能使结论$AB· DE=AD· BC$成立，那么这个条件可以是（）
A.$∠ C=∠ D$
B.$∠ B=∠ AED$
C.$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$
A.$∠ C=∠ D$
B.$∠ B=∠ AED$
C.$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$
答案
D
解析
【分析】
首先，要证明等积式$AB· DE=AD· BC$，需先根据比例的基本性质将其转化为比例式$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，由此可知需要证明$△ ABC ∽ △ ADE$。其次，结合已知$∠ 1=∠ 2$，可推出$∠ BAC=∠ DAE$，已经得到一组对应相等的角，根据相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或者补充这组等角的夹边对应成比例，即可证明两个三角形相似，进而推导出目标等积式。
【解析】
要使$AB· DE=AD· BC$成立，即证$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，也就是要证明$△ ABC ∽ △ ADE$。
已知$∠ 1=∠ 2$，则$∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD$，即$∠ BAC=∠ DAE$，已有一组对应角相等。
对各选项逐一分析：
A. 若$∠ C=∠ D$，对应角不匹配，无法证明$△ ABC ∽ △ ADE$，不符合要求；
B. 若$∠ B=∠ AED$，对应角不匹配，无法证明$△ ABC ∽ △ ADE$，不符合要求；
C. 若$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$，不是$∠ BAC$和$∠ DAE$的夹边对应成比例，无法证明$△ ABC ∽ △ ADE$，不符合要求；
D. 若$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$，可变形为$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，结合$∠ BAC=∠ DAE$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证$△ ABC ∽ △ ADE$，进而得到$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，即$AB· DE=AD· BC$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题核心是利用相似三角形的判定与性质解决等积式成立的条件问题，解题的关键是先将等积式转化为比例式，明确需证明的相似三角形，再结合已知条件匹配对应的相似判定条件，是几何部分的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先，要证明等积式$AB· DE=AD· BC$，需先根据比例的基本性质将其转化为比例式$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，由此可知需要证明$△ ABC ∽ △ ADE$。其次，结合已知$∠ 1=∠ 2$，可推出$∠ BAC=∠ DAE$，已经得到一组对应相等的角，根据相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或者补充这组等角的夹边对应成比例，即可证明两个三角形相似，进而推导出目标等积式。
【解析】
要使$AB· DE=AD· BC$成立，即证$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，也就是要证明$△ ABC ∽ △ ADE$。
已知$∠ 1=∠ 2$，则$∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD$，即$∠ BAC=∠ DAE$，已有一组对应角相等。
对各选项逐一分析：
A. 若$∠ C=∠ D$，对应角不匹配，无法证明$△ ABC ∽ △ ADE$，不符合要求；
B. 若$∠ B=∠ AED$，对应角不匹配，无法证明$△ ABC ∽ △ ADE$，不符合要求；
C. 若$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$，不是$∠ BAC$和$∠ DAE$的夹边对应成比例，无法证明$△ ABC ∽ △ ADE$，不符合要求；
D. 若$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$，可变形为$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，结合$∠ BAC=∠ DAE$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证$△ ABC ∽ △ ADE$，进而得到$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，即$AB· DE=AD· BC$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题核心是利用相似三角形的判定与性质解决等积式成立的条件问题，解题的关键是先将等积式转化为比例式，明确需证明的相似三角形，再结合已知条件匹配对应的相似判定条件，是几何部分的典型题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,小芳在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度.当镜子与铁塔的距离 BE=20 米,镜子与小芳的距离 ED=2 米时,小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端 A.已知小芳的眼睛距地面的高度 CD=1.5 米,铁塔 AB 的高度为(根据光的反射原理,∠1=∠2) ()
A.18 m
B.15 m
C.20 m
D.16 m
A.18 m
B.15 m
C.20 m
D.16 m
答案
B
解析
由题意得AB⊥BD，CD⊥BD，因此∠B=∠D=90°，结合光的反射原理∠1=∠2，可判定△ABE∽△CDE。根据相似三角形对应边成比例的性质，有$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{ED}$，将CD=1.5米，BE=20米，ED=2米代入得$\frac{AB}{1.5}=\frac{20}{2}$，计算解得AB=15米。
6. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$边上，且$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，若$S_{四边形BCED}=kS_{△ ADE}$，则$k$的值为（）
A.3
B.6
C.8
D.9
A.3
B.6
C.8
D.9
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，△ADE与△ACB有公共角∠A，且夹公共角的两组边对应成比例，可先判定两个三角形相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，推导△ABC与△ADE的面积关系；最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到四边形BCED的面积，即可求出k的值。
【解析】
∵ ∠A是△ADE和△ACB的公共角，且$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$
∴ 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ACB$，相似比为$\frac{1}{3}$
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$S_{△ ABC}=9S_{△ ADE}$
∵ $S_{四边形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}$
∴ $S_{四边形BCED}=9S_{△ ADE}-S_{△ ADE}=8S_{△ ADE}$
∴ $k=8$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是先利用已知的边比例关系和公共角证明三角形相似，再结合相似三角形的面积比性质计算面积关系，易错点是容易误将相似三角形的面积比等同于相似比。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，△ADE与△ACB有公共角∠A，且夹公共角的两组边对应成比例，可先判定两个三角形相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，推导△ABC与△ADE的面积关系；最后用△ABC的面积减去△ADE的面积得到四边形BCED的面积，即可求出k的值。
【解析】
∵ ∠A是△ADE和△ACB的公共角，且$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$
∴ 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ACB$，相似比为$\frac{1}{3}$
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即$S_{△ ABC}=9S_{△ ADE}$
∵ $S_{四边形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}$
∴ $S_{四边形BCED}=9S_{△ ADE}-S_{△ ADE}=8S_{△ ADE}$
∴ $k=8$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的面积性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是先利用已知的边比例关系和公共角证明三角形相似，再结合相似三角形的面积比性质计算面积关系，易错点是容易误将相似三角形的面积比等同于相似比。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在平面直角坐标系中,点$E(-4,2),F(-1,-1)$,以原点$O$为位似中心,把$△ EFO$缩小为$△ E'F'O$,且$△ E'F'O$与$△ EFO$的相似比为$1:2$,则点$E$的对应点$E'$的坐标为 ()
A.$(2,-1)$
B.$(8,-4)$
C.$(2,-1)$或$(-2,1)$
D.$(8,-4)$或$(-8,4)$
A.$(2,-1)$
B.$(8,-4)$
C.$(2,-1)$或$(-2,1)$
D.$(8,-4)$或$(-8,4)$
答案
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似中心为原点，相似比为k，则原图形上点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，分别对应位似图形与原图形在位似中心的同侧和异侧两种情况。本题中已知相似比为1:2，即k=1/2，将点E的坐标分别按两种情况计算即可得到对应点E'的坐标。
【解析】
已知位似中心为原点O，△E'F'O与△EFO的相似比为1:2，即相似比$k=\frac{1}{2}$。
根据位似变换的坐标规律：原图形上点的坐标为$(x,y)$时，位似图形对应点的坐标为$(kx,ky)$或$(-kx,-ky)$。
点E的坐标为$(-4,2)$：
1. 当位似图形与原图形在原点同侧时，$E'$的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(-2,1)$；
2. 当位似图形与原图形在原点异侧时，$E'$的坐标为$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(2,-1)$。
因此点E的对应点$E'$的坐标为$(2,-1)$或$(-2,1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，坐标变换规律
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题时需注意位似图形存在与原图形在位似中心同侧、异侧两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似中心为原点，相似比为k，则原图形上点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，分别对应位似图形与原图形在位似中心的同侧和异侧两种情况。本题中已知相似比为1:2，即k=1/2，将点E的坐标分别按两种情况计算即可得到对应点E'的坐标。
【解析】
已知位似中心为原点O，△E'F'O与△EFO的相似比为1:2，即相似比$k=\frac{1}{2}$。
根据位似变换的坐标规律：原图形上点的坐标为$(x,y)$时，位似图形对应点的坐标为$(kx,ky)$或$(-kx,-ky)$。
点E的坐标为$(-4,2)$：
1. 当位似图形与原图形在原点同侧时，$E'$的坐标为$(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(-2,1)$；
2. 当位似图形与原图形在原点异侧时，$E'$的坐标为$(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(2,-1)$。
因此点E的对应点$E'$的坐标为$(2,-1)$或$(-2,1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，坐标变换规律
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题时需注意位似图形存在与原图形在位似中心同侧、异侧两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
