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14. 阅读下列材料，然后解答问题.
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{1×(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}-2$.
以上这种化简的方法叫做分母有理化.
(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=$
(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（$n$为正整数）=
(3) 化简：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=$
(4) 化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{1×(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}-2$.
以上这种化简的方法叫做分母有理化.
(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=$
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
.(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$（$n$为正整数）=
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
.(3) 化简：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=$
9
.(4) 化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{97}}$.
答案
14. (1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ (3) 9 (4) 原式$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+\frac{1}{2}(\sqrt{99}-\sqrt{97})=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{99}-\sqrt{97})=\frac{1}{2}(\sqrt{99}-1)=\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
解析
【分析】
本题围绕二次根式的分母有理化展开考查，解题思路如下：1. 首先明确分母有理化的核心方法是利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的有理化因式（形如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的有理化因式为$\sqrt{a}-\sqrt{b}$），消去分母中的根号；2. 第(1)(2)问可直接套用题目给出的分母有理化示例推导结果；3. 第(3)(4)问属于裂项求和类问题，先将每一项分母有理化拆分，再观察发现中间项可相互抵消，仅保留首尾项计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{6}$：
$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1×(\sqrt{7}-\sqrt{6})}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2) 对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(3) 利用(2)的规律拆分每一项，再抵消中间项：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})$
$=-1+\sqrt{100}=-1+10=9$
(4) 先对每一项分母有理化，再提取公因式抵消中间项：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，同理每一项拆分后均含$\frac{1}{2}$的公因式，因此：
原式$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+\frac{1}{2}(\sqrt{99}-\sqrt{97})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{99}-\sqrt{97})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{99}-1)=\frac{1}{2}(3\sqrt{11}-1)=\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；(3) $9$；(4) $\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化；二次根式混合运算；裂项相消求和
【点评】
本题是二次根式运算的经典题型，既考查了分母有理化的基础操作，又融合了裂项相消的简便运算思想，熟练掌握该类题型可以有效提升二次根式混合运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次根式的分母有理化展开考查，解题思路如下：1. 首先明确分母有理化的核心方法是利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的有理化因式（形如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的有理化因式为$\sqrt{a}-\sqrt{b}$），消去分母中的根号；2. 第(1)(2)问可直接套用题目给出的分母有理化示例推导结果；3. 第(3)(4)问属于裂项求和类问题，先将每一项分母有理化拆分，再观察发现中间项可相互抵消，仅保留首尾项计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}-\sqrt{6}$：
$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{1×(\sqrt{7}-\sqrt{6})}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2) 对$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(3) 利用(2)的规律拆分每一项，再抵消中间项：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})$
$=-1+\sqrt{100}=-1+10=9$
(4) 先对每一项分母有理化，再提取公因式抵消中间项：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，同理每一项拆分后均含$\frac{1}{2}$的公因式，因此：
原式$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+\frac{1}{2}(\sqrt{99}-\sqrt{97})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+\sqrt{99}-\sqrt{97})$
$=\frac{1}{2}(\sqrt{99}-1)=\frac{1}{2}(3\sqrt{11}-1)=\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；(3) $9$；(4) $\frac{3\sqrt{11}-1}{2}$
【知识点】
分母有理化；二次根式混合运算；裂项相消求和
【点评】
本题是二次根式运算的经典题型，既考查了分母有理化的基础操作，又融合了裂项相消的简便运算思想，熟练掌握该类题型可以有效提升二次根式混合运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.7
