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1.(2024·淮安)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm,5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是( )
A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
B
解析
设这根小木棒的长度为$x\ cm$。
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得：$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
选项中只有$7\ cm$满足条件。
B
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得：$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
选项中只有$7\ cm$满足条件。
B
2.(分类讨论思想)长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有( )
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
C
解析
选其中三根组成三角形的选法有：
9,6,5：$5+6＞9$，$5+9＞6$，$6+9＞5$，能组成三角形；
9,6,4：$4+6=10＞9$，$4+9＞6$，$6+9＞4$，能组成三角形；
9,5,4：$4+5=9$，不能组成三角形；
6,5,4：$4+5＞6$，$4+6＞5$，$5+6＞4$，能组成三角形。
综上，能组成三角形的选法有3种。
C
9,6,5：$5+6＞9$，$5+9＞6$，$6+9＞5$，能组成三角形；
9,6,4：$4+6=10＞9$，$4+9＞6$，$6+9＞4$，能组成三角形；
9,5,4：$4+5=9$，不能组成三角形；
6,5,4：$4+5＞6$，$4+6＞5$，$5+6＞4$，能组成三角形。
综上，能组成三角形的选法有3种。
C
3. 如图,若$AC \perp BC$,则图中的钝角三角形是______.
答案
△BCD,△ACD
4.(2024·西宁)若长度分别为3,6,a的三条线段能组成一个三角形,则整数a的值可以是______(写出一个即可).
答案
4(答案不唯一)
5. 如图,四边形ABCD是任意四边形,AC与BD相交于点O. 求证：$AC + BD ＞ \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)$.
答案
∵在△AOB中,AO+BO＞AB;在△BOC中,CO+BO＞BC;在△COD中,CO+DO＞CD;在△AOD中,AO+DO＞DA.
∴2AO+2CO+2BO+2DO＞AB+BC+CD+DA,即2(AC+BD)＞AB+BC+CD+DA,
∴AC+BD＞$\frac{1}{2}$(AB+BC+CD+DA)
6. 在$\triangle ABC$中,已知$AB = 4\space cm$,$BC = 6\space cm$,则该三角形中最大的内角是( )
A.$\angle BAC$
B.$\angle ABC$
C.$\angle ACB$
D.无法确定
A.$\angle BAC$
B.$\angle ABC$
C.$\angle ACB$
D.无法确定
答案
D
解析
在$\triangle ABC$中，已知两边$AB = 4\space cm$，$BC = 6\space cm$，第三边$AC$的长度未知。根据三角形大边对大角的性质，最大内角所对的边为最大边。由于$AC$长度不确定，无法比较三边大小，所以最大内角无法确定。
D
D
7.(新考法·探究题)将长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),则围成的三角形的最长边的长为______.
答案
5 解析:①长度分别为5,3,4,能围成三角形,且最长边的长为5;②长度分别为2,6,4,不能围成三角形;③长度分别为2,7,3,不能围成三角形;④长度分别为6,3,3,不能围成三角形.
∴围成的三角形的最长边的长为5.
∴围成的三角形的最长边的长为5.
8.(2024·宿城期末)若a,b,c是三角形的三边长,则$|b - c - a| + |a - c + b|= $______.
答案
2a
解析
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以$b + c ＞ a$，即$b - c - a = b - (a + c) ＜ 0$；$a + b ＞ c$，即$a - c + b = (a + b) - c ＞ 0$。
则$|b - c - a| = -(b - c - a) = a + c - b$，$|a - c + b| = a - c + b$。
所以$|b - c - a| + |a - c + b| = (a + c - b) + (a - c + b) = 2a$。
2a
所以$b + c ＞ a$，即$b - c - a = b - (a + c) ＜ 0$；$a + b ＞ c$，即$a - c + b = (a + b) - c ＞ 0$。
则$|b - c - a| = -(b - c - a) = a + c - b$，$|a - c + b| = a - c + b$。
所以$|b - c - a| + |a - c + b| = (a + c - b) + (a - c + b) = 2a$。
2a
9. 已知一个三角形的两条边的长分别为5 cm和2 cm.
(1)若这个三角形的第三条边的长为偶数,求它的第三条边的长及周长；
(2)若这个三角形的周长为偶数,求它的第三条边的长及周长.
(1)若这个三角形的第三条边的长为偶数,求它的第三条边的长及周长；
(2)若这个三角形的周长为偶数,求它的第三条边的长及周长.
答案
设这个三角形的第三条边的长为x cm.由题意,得5-2＜x＜5+2,即3＜x＜7.
(1)由题意,得x为偶数.
∴x=4或6.当x=4时,三角形的周长为11 cm;当x=6时,三角形的周长为13 cm.
∴当这个三角形的第三条边的长为4 cm时,其周长为11 cm;当这个三角形的第三条边的长为6 cm时,其周长为13 cm
(2)
∵这个三角形的周长为偶数,
∴x=5.当x=5时,三角形的周长为12 cm.
∴这个三角形的第三条边的长为5 cm,周长为12 cm
(1)由题意,得x为偶数.
∴x=4或6.当x=4时,三角形的周长为11 cm;当x=6时,三角形的周长为13 cm.
∴当这个三角形的第三条边的长为4 cm时,其周长为11 cm;当这个三角形的第三条边的长为6 cm时,其周长为13 cm
(2)
∵这个三角形的周长为偶数,
∴x=5.当x=5时,三角形的周长为12 cm.
∴这个三角形的第三条边的长为5 cm,周长为12 cm
