1.如图30－1－21所示，$\odot O$的半径为2，直线$PA$，$PB$为$\odot O$的切线，$A$，$B$为切点，若$PA⊥ PB$，则$OP$的长为（）

A.$4\sqrt{2}$
B.$4$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2$

1.C 点拨:连接 OA,OB,可得四边形 OB-PA 是正方形,所以OA=PA=2.由勾股定理可知 OP 的长为 $2\sqrt{2}$.

【分析】
遇到圆的切线问题，首先联想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此优先连接OA、OB构造直角；再结合切线长定理可得PA=PB，结合已知PA⊥PB，可判断四边形OAPB为正方形，最后利用勾股定理即可求出OP的长度。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且PA=PB（切线长定理），
又
∵PA⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=∠APB=90°，
∴四边形OAPB是矩形，
又
∵OA=OB=2（⊙O的半径为2），
∴矩形OAPB是正方形，
∴PA=OA=2，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，解题的关键是掌握切线性质，通过连接圆心和切点构造辅助线，结合特殊四边形的判定或直角三角形的性质求解。
【难度系数】
0.7

2. 如图30－1－22，PA，PB为$\odot O$的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交$\odot O$于点D，则下列结论不一定成立的是()




A.$PA=PB$
B.$∠ BPD=∠ APD$
C.$AB⊥ PD$
D.$PC=CD$

2.D

【分析】
本题考查切线长定理及等腰三角形性质的应用，解题时可先回忆切线长定理的内容，逐一分析各选项：首先根据切线长定理直接判断A、B选项；再结合等腰三角形三线合一的性质判断C选项；最后分析D选项，PC与CD的长度关系没有必然定理支撑，仅在特殊条件下成立，即可得出答案。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴由切线长定理可得：PA=PB，PO平分∠APB，即∠BPD=∠APD，故A、B选项结论成立，不符合题意；
∵PA=PB，PD平分∠APB，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得PD⊥AB，即AB⊥PD，故C选项结论成立，不符合题意；
对于D选项：PC是点P到AB的线段长，CD是线段PD上C到D的线段长，题干未给出特殊角度或线段相等的相关条件，无法证明PC=CD，该结论仅在特殊情况下成立，不一定普遍成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题型，核心考查切线长定理的应用，解题时需注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题疏漏误选成立的选项。
【难度系数】
0.8

3.如图30−1−23，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D。若AB=5，AC=4，则BD的长为（）

A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

3.A

【分析】
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：1. 首先观察到AC和AP是从点A引出的⊙O的两条切线，根据切线长定理可得二者长度相等，先求出AP的长度；2. 用AB的长度减去AP的长度得到PB的长度；3. 再观察PB和BD是从点B引出的⊙O的两条切线，再次应用切线长定理即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴AC=AP=4，
又
∵AB=5，
∴PB=AB-AP=5-4=1，
∵BP、BD都是⊙O的切线，切点分别为P、D，
同理根据切线长定理可得BD=PB=1。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握切线长定理，找准同一点引出的两条切线，两次应用定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8

4.一根钢管放在V形架内，如图30-1-24是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm，∠MPN=60°，则OP=.

4. 50 cm 点拨:连接 ON,则 $ON⊥ PN$.利用切线长定理,得出 $∠ OPN=30°$.再利用直角三角形中 $30°$ 角所对的直角边与斜边的关系得出 OP 的长.

【分析】
解题时先结合题意明确PM、PN都是⊙O的切线，要建立已知半径、角度与所求线段OP的联系，需先作辅助线连接圆心O与切点N，利用切线性质得到直角三角形；再根据切线长定理得出OP平分∠MPN，求出直角三角形中锐角的度数；最后利用含30°角的直角三角形的性质计算OP的长度即可。
【解析】
解：连接ON，
∵PN是⊙O的切线，N为切点，
∴ON⊥PN，即∠ONP=90°，
∵PM、PN都是⊙O的切线，P为圆外一点，
∴根据切线长定理，OP平分∠MPN，
∴$∠ OPN=\frac{1}{2}∠ MPN=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在Rt△ONP中，∠ONP=90°，∠OPN=30°，ON=25 cm，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$ON=\frac{1}{2}OP$，
∴$OP=2ON=2×25=50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
50 cm
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题关键是正确连接圆心与切点构造直角三角形，结合切线长定理转化角度条件，再利用特殊直角三角形的边角关系求解，是切线相关知识点的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

5. 如图30-1-25，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，$∠ OAB=38°$，则$∠ P=$°。

5. 76 点拨:$\because PA,PB$ 是$\odot O$的切线,$\therefore PA=PB,PA⊥ OA. \therefore ∠ PAB=∠ PBA,∠ OAP=90°. \therefore ∠ PBA=∠ PAB=90°-∠ OAB=90°-38°=52°,\therefore ∠ P=180°-52°-52°=76°.$

【分析】
解题时先根据题目给出的PA、PB是圆的切线的条件，优先联想到切线的性质（切线垂直于过切点的半径）和切线长定理，得到∠OAP为直角、PA=PB的结论；再结合已知的∠OAB的度数，先求出等腰△PAB的底角∠PAB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
∵PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点
∴根据切线的性质得$PA⊥OA$，根据切线长定理得$PA=PB$
∴$∠ OAP=90°$，$∠ PAB=∠ PBA$
∴$∠ PAB=∠ OAP-∠ OAB=90°-38°=52°$，即$∠ PBA=52°$
在$△ PAB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ P=180°-∠ PAB-∠ PBA=180°-52°-52°=76°$
【答案】
76
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是切线相关性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，快速梳理角之间的数量关系，这类题是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8

1. 如图30－1－26，EA，ED是$\odot O$的切线，切点分别为A，D，点B，C在$\odot O$上.若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E = (\quad)$

A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$

1.C

【分析】
要求∠E的度数，可先结合已知条件推导与∠E相关的角度：首先利用弦切角定理将∠BAE转化为对应弧的表达式，再结合圆周角定理将∠BCD也转化为对应弧的表达式，代入已知的角度和条件化简可得到劣弧AD一半的度数，即弦切角∠EAD的度数；最后根据切线长定理得出△EAD为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠E的度数。
【解析】
1. 根据弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧度数的一半，切线EA与弦AB的夹角∠BAE所夹弧为优弧AB，因此：
$∠ BAE = \frac{1}{2}×(360° - 劣弧AB的度数) = 180° - \frac{1}{2}劣弧AB的度数$
2. ∠BCD是圆上的圆周角，所对弧为弧BAD（劣弧AB+劣弧AD），根据圆周角定理：
$∠ BCD = \frac{1}{2}×弧BAD的度数 = \frac{1}{2}(劣弧AB的度数 + 劣弧AD的度数)$
3. 将上述两式代入已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$：
$180° - \frac{1}{2}劣弧AB + \frac{1}{2}(劣弧AB + 劣弧AD) = 236°$
化简消去$\frac{1}{2}劣弧AB$后得：
$180° + \frac{1}{2}劣弧AD = 236°$
解得$\frac{1}{2}劣弧AD = 56°$
4. 切线EA与弦AD的夹角∠EAD是弦切角，所夹弧为劣弧AD，因此$∠ EAD = \frac{1}{2}劣弧AD = 56°$
5. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此EA=ED，△EAD为等腰三角形，$∠ EAD = ∠ EDA = 56°$
6. 由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ E = 180° - 56° - 56° = 68°$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，弦切角定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，解题核心是将已知的圆周角、弦切角转化为对应弧的表达式，通过化简建立已知条件和所求角的关联，熟练掌握圆的各类基本定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.65

2.如图30－1－27，AB为$\odot O$的直径，PB，PC分别与$\odot O$相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交$\odot O$于点D.若$CD=PB=2\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径长为()

A.1
B.2
C.3
D.4

2.B

【分析】
解题思路如下：
① 看到切线，先利用切线性质得PB=PC、PB⊥AB；看到直径垂直弦，用垂径定理得CE=1/2 CD、弧BC=弧BD，同时可得PB//CD；
② 由PB平行且等于CD，证四边形PBCD是平行四边形，得BD=PC；
③ 由等弧对等弦得BC=BD，在Rt△BCE中求∠CBE的度数；
④ 利用同弧所对圆心角是圆周角两倍，得∠COE的度数，最后在Rt△COE中求半径OC即可。
【解析】
解：连接OC、BC、BD。
1.
∵PB、PC分别切⊙O于B、C，
∴PB=PC=2√3，PB⊥AB（切线垂直于过切点的半径）。
2.
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴CE=ED=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，弧BC=弧BD（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧），
且PB//CD（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
3. 又
∵PB=CD=2√3，
∴四边形PBCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BD=PC=2√3。
4.
∵弧BC=弧BD，
∴BC=BD=2√3（等弧对等弦）。
5. 在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{3}$，BC=2√3，
∴sin∠CBE = $\frac{CE}{BC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=30°。
6.
∵∠COE是弧BC所对的圆心角，∠CBE是弧BC所对的圆周角，
∴∠COE=2∠CBE=60°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
7. 在Rt△COE中，CE=$\sqrt{3}$，∠COE=60°，
∴sin∠COE = $\frac{CE}{OC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{OC}$，
解得OC=2，即⊙O的半径为2。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质与平行四边形的判定，解题的关键是熟练运用切线性质、垂径定理和圆周角定理建立边角关系，需要学生具备一定的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6