知识梳理
1. 等腰三角形的判定：
判定1:等腰三角形的定义.
判定2:有的三角形是等腰三角形.(简写为“”).
2. 等边三角形的判定:
判定1:等边三角形的定义.
判定2:都相等的三角形是等边三角形.
判定3:有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.

1. 等腰三角形判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写为“等角对等边”。
2. 等边三角形判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

例题 在等边三角形ABC中,E是AB上的动点,点E与点A、B不重合,点D在CB的延长线上,且EC=ED.
(1)如图1,若E是AB的中点,求证:BD=AE.
(2)如图2,若E不是AB的中点,(1)中的结论“BD=AE”能否成立?若不成立,请直接写出BD与AE的数量关系;若成立,请给予
证明.

答案:(1)∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=60°.
∵ E是AB的中点,
∴ CE平分∠ACB,AE=BE.
∴ ∠BCE=30°.
∵ ED=EC,
∴ ∠D=∠BCE=30°.
∵ ∠ABC=∠D+∠BED,
∴ ∠BED=30°.
∴ ∠D=∠BED.
∴ BD=BE.
∴ AE=DB.
(2)AE=DB.
理由:如图,过点E作EF//BC,交AC于点F.

∴ ∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∴ ∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴ △AEF是等边三角形.
∴ AE=EF.
∴ ∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵ DE=EC,
∴ ∠D=∠ECD.
∴ ∠BED=∠FCE.
在△DEB和△ECF中,
$\{\begin{array}{l}∠DEB=∠ECF,\\∠DBE=∠EFC,\\DE=EC,\end{array} $
∴ △DEB≌△ECF(AAS).
∴ DB=EF.
∴ AE=BD.
【解析】(1)先由等边三角形的性质得出AE=BE,∠BCE=30°,然后根据ED=EC,得出∠D=∠BCE=30°,进而得出∠D=∠DEB,DB=BE,从而证得AE=DB;(2)通过作辅助线得到等边三角形AEF,从而得到AE=EF,进而证明三角形全等,得到DB=EF,证得AE=DB.
方法点拨 本题第(2)问构造等边三角形是解题的关键,由AE=EF,得到△DEB≌△ECF,进而得到DB=EF,最后得到AE=BD.

证明：(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60°。
∵ E是AB的中点，
∴ CE平分∠ACB，AE=BE。
∴ ∠BCE=30°。
∵ ED=EC，
∴ ∠D=∠BCE=30°。
∵ ∠ABC=∠D+∠BED，
∴ ∠BED=60°-30°=30°。
∴ ∠D=∠BED。
∴ BD=BE。
∴ BD=AE。
(2) 解：(1)中的结论“BD=AE”成立，证明如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F。
∴ ∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC。
∴ ∠AEF=60°，∠AFE=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°。
∴ △AEF是等边三角形。
∴ AE=EF。
∵ ∠DBE=180°-∠ABC=120°，∠EFC=180°-∠AFE=120°，
∴ ∠DBE=∠EFC。
∵ ∠D+∠BED=∠ABC=60°，∠ECF+∠BCE=∠ACB=60°，
又∵ DE=EC，
∴ ∠D=∠BCE。
∴ ∠BED=∠FCE。
在△DEB和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DEB=∠ECF,\\∠DBE=∠EFC,\\DE=EC,\end{array} $
∴ △DEB≌△ECF(AAS)。
∴ DB=EF。
∴ AE=BD。