1. 下列关于抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$ 的说法，错误的是()

A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标是$(1,0)$
C.抛物线的对称轴是直线 $x=1$
D.当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大

D

【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题思路为：先明确抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，确定参数$a、h、k$的取值，再依次结合开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性的判断规则，逐一验证四个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$，属于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$，$k=0$：
1. 验证选项A：$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 验证选项B：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标为$(1,0)$，B说法正确，不符合题意；
3. 验证选项C：顶点式的对称轴为直线$x=h$，代入得对称轴为直线$x=1$，C说法正确，不符合题意；
4. 验证选项D：因为抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而减小，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟练记忆不同开口方向下二次函数的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.将抛物线 $y=4x^2$ 向右平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式是。

解：抛物线$y=4x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
将其向右平移3个单位长度后，新抛物线的顶点坐标为$(3,0)$，
平移过程中二次项系数不变，因此所得抛物线的函数表达式为$y=4(x-3)^2$。

【分析】
要解决抛物线平移求解析式的问题，首先明确二次函数平移的核心特点：平移过程中抛物线的形状、开口方向不变，即二次项系数不变，仅顶点位置发生变化。解题时可先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则算出平移后的顶点坐标，最后代入二次函数顶点式即可得到新的函数表达式，也可直接利用“左加右减（针对自变量x）”的平移规律直接改写表达式。
【解析】
抛物线$y=4x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，将其向右平移3个单位长度后，顶点也向右平移3个单位长度，横坐标增加3，纵坐标不变，因此新抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。平移过程中二次项系数不变，仍为4，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），可得所得抛物线的函数表达式为$y=4(x-3)^2$。
【答案】
$y=4(x-3)^2$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题核心是掌握二次函数平移的规律，既可通过顶点坐标的变化推导解析式，也可直接用“左加右减”的规则改写，注意“右减”是对自变量x本身进行操作，不要混淆平移规则。
【难度系数】
0.8

3.已知抛物线$y=-3(x+2)^2$的图象上有三点$A(-6,y_1),B(-1,y_2),C(1,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（用“＞”连接）

解：
抛物线$y=-3(x+2)^2$的对称轴为直线$x=-2$，二次项系数$-3＜0$，开口向下。
分别将三点的横坐标代入函数解析式：
$y_1=-3×(-6+2)^2=-3×16=-48$，
$y_2=-3×(-1+2)^2=-3×1=-3$，
$y_3=-3×(1+2)^2=-3×9=-27$。
因为$-3 ＞ -27 ＞ -48$，
所以$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$。

【分析】
遇到二次函数上多个点的函数值比较问题，有两种常用解题思路：①直接代入法：将各点横坐标分别代入函数解析式，求出对应的函数值后直接比较大小，这种方法准确率高，不易出错；②性质判断法：先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，开口向下时，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，反之越小。本题两种方法均适用，这里用直观的直接代入法求解。
【解析】
抛物线$y=-3(x+2)^2$的对称轴为直线$x=-2$，二次项系数$-3＜0$，因此抛物线开口向下。
分别将三点的横坐标代入函数解析式计算对应的函数值：
当$x=-6$时，$y_1=-3×(-6+2)^2=-3×16=-48$；
当$x=-1$时，$y_2=-3×(-1+2)^2=-3×1=-3$；
当$x=1$时，$y_3=-3×(1+2)^2=-3×9=-27$。
因为$-3 ＞ -27 ＞ -48$，所以$y_2 ＞ y_3 ＞ y_1$。
【答案】
$y_2＞y_3＞y_1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数性质、有理数大小比较
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数图象上点的坐标特征，代入求值的方法简单直接，也可利用开口方向和点到对称轴的距离快速判断，解题时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8

4.如图,已知二次函数$y=(x+2)^2$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B。
(1)写出点A,B的坐标。
(2)求$△ AOB$的面积。
(3)写出该函数图象的对称轴。
(4)在对称轴上是否存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

解：
(1) 令$y=0$，则$(x+2)^2=0$，解得$x=-2$，因此$A(-2,0)$。
令$x=0$，则$y=(0+2)^2=4$，因此$B(0,4)$。
(2) 由$A(-2,0)$，$B(0,4)$得$OA=2$，$OB=4$，且$∠ AOB=90°$，
因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 二次函数$y=(x+2)^2$图象的对称轴为直线$x=-2$。
(4) 存在。
已知点$P$在对称轴直线$x=-2$上，分两种情况：
① 当四边形$PAOB$为平行四边形时，$AP// OB$且$AP=OB=4$，
由$A(-2,0)$可得$P(-2,4)$；
② 当四边形$PABO$为平行四边形时，$AP// OB$且$AP=OB=4$，
由$A(-2,0)$可得$P(-2,-4)$。
综上，点$P$的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。

【分析】
解题思路如下：
1. 求二次函数与坐标轴交点：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式即可求得A、B坐标；
2. 求△AOB的面积：△AOB是直角三角形，直角边分别为OA、OB的长度，代入直角三角形面积公式计算即可；
3. 求二次函数对称轴：题中二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，对照解析式直接可得对称轴；
4. 平行四边形存在性判断：已知P在对称轴$x=-2$上，故PA为竖直线段，与y轴上的OB平行，根据平行四边形对边相等的性质，只需$PA=OB=4$，分P在A点上方、下方两种情况计算P的坐标即可。
【解析】
(1) 求点A、B坐标：
令$y=0$，代入$y=(x+2)^2$得$(x+2)^2=0$，解得$x=-2$，因此$A(-2,0)$；
令$x=0$，代入$y=(x+2)^2$得$y=(0+2)^2=4$，因此$B(0,4)$。
(2) 求△AOB的面积：
由$A(-2,0)$得$OA=2$，由$B(0,4)$得$OB=4$，又$∠AOB=90°$，
所以$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} · OA · OB=\frac{1}{2} × 2 × 4=4$。
(3) 求函数图象的对称轴：
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，对比$y=(x+2)^2$得$h=-2$，因此对称轴为直线$x=-2$。
(4) 判断是否存在点P并求坐标：
存在。
已知点P在对称轴直线$x=-2$上，因此点P横坐标为-2，分两种情况讨论：
① 当四边形$PAOB$为平行四边形时，需满足$AP// OB$且$AP=OB=4$，点A坐标为$(-2,0)$，P在A上方时，纵坐标为$0+4=4$，即$P(-2,4)$；
② 当四边形$PABO$为平行四边形时，需满足$AP// OB$且$AP=OB=4$，P在A下方时，纵坐标为$0-4=-4$，即$P(-2,-4)$。
综上，点P的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(2) $△ AOB$的面积为$4$；
(3) 函数图象的对称轴为直线$x=-2$；
(4) 存在，点P的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；平行四边形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，前三问考查二次函数的基础性质，难度较低；第四问考查平行四边形的存在性，解题时需注意分类讨论，避免漏解，熟练掌握坐标轴交点求法、二次函数顶点式的性质以及平行四边形对边平行且相等的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

5. 提升题 如图，A为抛物线$y=2(x-1)^2$的顶点，且抛物线与y轴交于点B。
(1)直接写出A，B两点的坐标。
(2)若C为点B关于该抛物线对称轴对称的点，P为抛物线上第一象限内的点，且$S_{△ PBC}=8$，求点P的坐标。

解：
(1) 抛物线$y=2(x-1)^2$的顶点A的坐标为$(1,0)$。
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=2×(0-1)^2=2$，因此点B的坐标为$(0,2)$。
(2) 抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
∵点C是点B关于对称轴$x=1$的对称点，$B(0,2)$
∴点C的坐标为$(2,2)$，$BC=2-0=2$。
设点P到直线BC的距离为$h$，由$S_{△ PBC}=8$得：
$\frac{1}{2} × BC × h = 8$
代入$BC=2$，得$\frac{1}{2} × 2 × h = 8$，解得$h=8$。
∵直线BC的解析式为$y=2$，P为第一象限内抛物线上的点，
∴点P的纵坐标为$2+8=10$。
将$y=10$代入$y=2(x-1)^2$，得：
$2(x-1)^2=10$
整理得$(x-1)^2=5$，解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
∵P在第一象限，$x_2=1-\sqrt{5}＜0$，不符合条件，舍去。
∴点P的坐标为$(1+\sqrt{5},10)$。

【分析】
(1) 求A、B两点坐标的思路：抛物线解析式是顶点式，可直接根据顶点式的结构特征得到顶点A的坐标；求y轴交点B的坐标，只需令x=0代入解析式计算对应的y值即可。
(2) 求点P坐标的思路：首先确定抛物线的对称轴，利用轴对称的性质求出点C的坐标，得到BC的长度，且BC是平行于x轴的直线，纵坐标恒为2；已知△PBC的面积，以BC为底，可计算出点P到直线BC的距离，结合P在第一象限抛物线上的位置特征，得到P点的纵坐标，再将纵坐标代入抛物线解析式求解x，舍去不符合第一象限要求的解，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 抛物线$y=2(x-1)^2$为顶点式，因此顶点A的坐标为$(1,0)$。
求y轴交点B：令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=2×(0-1)^2=2$，因此点B的坐标为$(0,2)$。
(2) 抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$。
∵点C是点B关于对称轴$x=1$的对称点，$B(0,2)$，
∴点C的横坐标为$2×1-0=2$，纵坐标与B相同，即$C(2,2)$，可得$BC=2-0=2$。
设点P到直线BC的距离为$h$，根据三角形面积公式，由$S_{△ PBC}=8$得：
$\frac{1}{2}× BC× h=8$，代入$BC=2$，得$\frac{1}{2}×2× h=8$，解得$h=8$。
∵直线BC的解析式为$y=2$，P为第一象限内抛物线上的点，纵坐标大于2，
∴点P的纵坐标为$2+8=10$。
将$y=10$代入$y=2(x-1)^2$，得：
$2(x-1)^2=10$，整理得$(x-1)^2=5$，解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
∵P在第一象限，$x_2=1-\sqrt{5}＜0$不符合条件，舍去。
∴点P的坐标为$(1+\sqrt{5},10)$。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(0,2)$；(2) $(1+\sqrt{5},10)$
【知识点】
二次函数顶点式性质，坐标轴对称变换，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题关键是利用抛物线的对称性确定BC的长度和位置特征，再结合面积公式求出点P的纵坐标，最后代入解析式求解，解题过程中需注意结合点的位置对解进行取舍，考察了基础运算能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.7