1 下列方程是关于$x$的分式方程的为（）

A.$\dfrac{x-1}{5}+\dfrac{3}{4}=1$
B.$\dfrac{3}{π}+2x=3$
C.$\dfrac{1}{x-1}=2$
D.$\dfrac{x+2}{a}=\dfrac{x+3}{3}$

1. C

【分析】要判断一个方程是否为分式方程，核心依据是：方程的分母中是否含有未知数$x$，据此逐一分析各选项即可得出结果。
【解析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
选项A：方程$\dfrac{x-1}{5}+\dfrac{3}{4}=1$的分母为5和4，均是常数，不含未知数$x$，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$\dfrac{3}{π}+2x=3$的分母为$π$，$π$是常数，不含未知数$x$，属于整式方程，不是分式方程；
选项C：方程$\dfrac{1}{x-1}=2$的分母为$x-1$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，是分式方程；
选项D：方程$\dfrac{x+2}{a}=\dfrac{x+3}{3}$的分母为$a$和3，$a$为常数（题目中未将$a$视为未知数），不含未知数$x$，属于整式方程，不是分式方程。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【点评】本题考查分式方程的基本概念，属于基础题，准确掌握分式方程的判断标准即可轻松解题。
【难度系数】0.8

2 分式方程$\dfrac{2x-5}{x-2}=\dfrac{3}{2-x}$的解是（）

A.$x=-2$
B.$x=2$
C.$x=1$
D.$x=1$或$x=2$

2. C

【分析】
解分式方程需先转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母为0（排除增根）。本题中右边分式的分母与左边分母互为相反数，先变形为同分母形式，再去分母转化为整式方程，求解后检验即可。
【解析】
解：原方程为$\dfrac{2x-5}{x-2}=\dfrac{3}{2-x}$，
将右边分式变形：$\dfrac{3}{2-x}=-\dfrac{3}{x-2}$，
原方程化为：$\dfrac{2x-5}{x-2}=-\dfrac{3}{x-2}$，
因分式分母不为0，故$x≠2$，
方程两边同乘$(x-2)$得：$2x -5 = -3$，
解得：$2x=2$，即$x=1$，
检验：把$x=1$代入原方程分母$x-2=-1≠0$，
所以$x=1$是原方程的解，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的解法，需注意去分母时的符号处理，且必须检验解是否为增根，避免误选增根选项。
【难度系数】
0.7

3 当$x=$时，分式$\dfrac{1+x}{5+x}$的值等于$\dfrac{1}{4}$.

3. $\dfrac{1}{3}$

【分析】首先根据题意，分式的值为$\dfrac{1}{4}$，据此列出分式方程；解分式方程时，先去分母转化为整式方程，求解后需检验分母是否为0，确保解的有效性，即可得到x的值。
【解析】根据题意可列方程：$\dfrac{1+x}{5+x}=\dfrac{1}{4}$
去分母（两边同乘$4(5+x)$，需满足$5+x≠0$，即$x≠-5$）得：
$4(1+x)=5+x$
展开括号：$4 + 4x = 5 + x$
移项合并同类项：$4x - x = 5 - 4$，即$3x=1$
解得：$x=\dfrac{1}{3}$
检验：当$x=\dfrac{1}{3}$时，分母$5+x=5+\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}≠0$，故$x=\dfrac{1}{3}$是原方程的解。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】分式方程的解法
【点评】本题为基础的分式方程求解问题，核心是掌握分式方程的解法及验根步骤，难度较低，适合巩固分式方程的基础应用。
【难度系数】0.8

4 若方程$\dfrac{4}{2x-1}=\dfrac{a}{x}$的解是$x=1$,则$a=$.

4. 4

【分析】根据方程解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知该方程的解为$x=1$，只需将$x=1$代入原方程，即可得到关于$a$的方程，进而求解$a$的值。
【解析】把$x=1$代入方程$\dfrac{4}{2x-1}=\dfrac{a}{x}$，
左边计算：$\dfrac{4}{2×1 -1}=\dfrac{4}{1}=4$，
右边计算：$\dfrac{a}{1}=a$，
因为方程左右两边相等，所以$a=4$。
【答案】4
【知识点】方程的解，分式方程
【点评】本题考查方程解的基本概念，属于基础题型，直接代入求解即可，侧重对基础知识的巩固。
【难度系数】0.9

5 教材P166例2变式 解方程：
(1) $\dfrac{6}{2x-3}=\dfrac{-3}{2x}$；
(2) $\dfrac{x}{x+1}-1=\dfrac{-2}{(x+1)(x+3)}.$

5. (1) $x=\dfrac{1}{2}$ (2) 无解

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否为增根（即使分母为0的根）。对于第(1)题，先确定两个分式的最简公分母为$2x(2x-3)$，两边同乘公分母去分母转化为整式方程，求解后代入原分母检验；对于第(2)题，最简公分母为$(x+1)(x+3)$，去分母后解整式方程，再检验根是否使分母为0，判断是否为增根。
【解析】
(1) 解方程 $\dfrac{6}{2x-3}=\dfrac{-3}{2x}$
解：两边同乘最简公分母 $2x(2x-3)$，得：
$6 × 2x = -3(2x - 3)$
展开计算：$12x = -6x + 9$
移项合并：$18x = 9$
解得：$x=\dfrac{1}{2}$
检验：当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时，$2x-3=-2≠0$，$2x=1≠0$，分母均不为0，故$x=\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
(2) 解方程 $\dfrac{x}{x+1}-1=\dfrac{-2}{(x+1)(x+3)}$
解：两边同乘最简公分母 $(x+1)(x+3)$，得：
$x(x+3) - (x+1)(x+3) = -2$
展开左边：$x^2 +3x -x^2 -4x -3 = -2$
合并同类项：$-x -3 = -2$
移项得：$-x=1$，解得$x=-1$
检验：当 $x=-1$ 时，$(x+1)(x+3)=0$，分母为0，故$x=-1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $x=\dfrac{1}{2}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法、增根的检验
【点评】
本题为分式方程的基础变式题，重点考查分式方程的标准求解步骤，需注意去分母时的符号处理，以及解分式方程必须检验根是否为增根，避免出错。
【难度系数】
0.3

6 (易错题) 小明解分式方程 $1-\dfrac{x-3}{2x+2}=\dfrac{3x}{x+1}$ 时,出现了错误,他的解答过程如下:
解: 去分母,得 $2x+2-(x-3)=3x$. ……第一步
解得 $x=-\dfrac{1}{2}$. ……第二步
$\therefore$ 原分式方程的解为 $x=-\dfrac{1}{2}$. ……第三步
(1) 小明的解答过程是从第步开始出错的,这一步正确的解答结果为,依据是.
(2) 小明的解答过程缺少什么必要步骤?
(3) 请写出此题正确的解答过程.

6. (1) 一 $2x+2-(x-3)=6x$ 等式的性质2 (2) 小明的解答过程缺少检验 (3) 去分母,得 $2x+2-(x-3)=6x$,解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$2x+2≠0$,$\therefore x=1$为原分式方程的解

【分析】
要解决本题，需掌握分式方程的解法步骤：①去分母（需给方程所有项乘最简公分母，依据等式性质2）；②解整式方程；③检验（分式方程必须检验，避免增根）。首先确定原方程的最简公分母，再对比小明的步骤找出错误点，最后按要求解答问题。
【解析】
(1) 原分式方程的分母为$2x+2=2(x+1)$和$x+1$，最简公分母是$2(x+1)$。去分母时，方程两边每一项都要乘最简公分母，小明的第一步中，常数项1未乘$2(x+1)$，仅右边的$3x$乘了$2(x+1)$，因此小明从第一步开始出错；正确的去分母结果为$2x+2-(x-3)=6x$，依据是等式的性质2。
(2) 分式方程的解必须检验，小明的解答过程缺少检验步骤。
(3) 正确解答过程：去分母得$2x+2-(x-3)=6x$，去括号得$2x+2-x+3=6x$，合并同类项得$x+5=6x$，移项得$5x=5$，解得$x=1$；检验：当$x=1$时，$2x+2=4≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 一；$2x+2-(x-3)=6x$；等式的性质2
(2) 检验
(3) 去分母，得$2x+2-(x-3)=6x$，解得$x=1$。检验：当$x=1$时，$2x+2≠0$，$\therefore x=1$为原分式方程的解
【知识点】
分式方程的解法，等式的性质
【点评】
本题是分式方程的易错题，考查分式方程去分母的注意事项（需给所有项乘最简公分母）及分式方程必须检验的要求，学生易忽略常数项漏乘、忘记检验这两个易错点。
【难度系数】
0.5