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1 下列关于 $96^{2}$ 的计算方法正确的是（
A.$96^{2}=(100-4)^{2}=100^{2}-4^{2}=9\ 984$
B.$96^{2}=(95+1)×(95-1)=95^{2}-1=9\ 024$
C.$96^{2}=(90+6)^{2}=90^{2}+6^{2}=8\ 136$
D.$96^{2}=(100-4)^{2}=100^{2}-2×4×100+4^{2}=9\ 216$
D
）A.$96^{2}=(100-4)^{2}=100^{2}-4^{2}=9\ 984$
B.$96^{2}=(95+1)×(95-1)=95^{2}-1=9\ 024$
C.$96^{2}=(90+6)^{2}=90^{2}+6^{2}=8\ 136$
D.$96^{2}=(100-4)^{2}=100^{2}-2×4×100+4^{2}=9\ 216$
答案
1. D
解析
【分析】要判断$96^2$的正确计算方法，需掌握完全平方公式和平方差公式的结构：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。需逐一分析每个选项的计算是否符合公式要求，找出正确选项。
【解析】
选项A：将$96$写成$100-4$，计算$(100-4)^2$时误用平方差公式，正确应为完全平方公式，展开后漏了中间项$-2×100×4$，结果应为$9216$而非$9984$，故A错误。
选项B：将$96$写成$95+1$，计算$96^2$时误用平方差公式，平方差公式适用于两数和与差的乘积，而非一个数的平方，正确展开应为$(95+1)^2=95^2+2×95×1+1^2$，结果应为$9409$而非$9024$，故B错误。
选项C：将$96$写成$90+6$，计算$(90+6)^2$时误用完全平方公式，漏了中间项$2×90×6$，正确展开应为$90^2+2×90×6+6^2$，结果应为$9216$而非$8136$，故C错误。
选项D：将$96$写成$100-4$，正确应用完全平方公式展开：$(100-4)^2=100^2-2×100×4+4^2=10000-800+16=9216$，计算正确，故D正确。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查完全平方公式和平方差公式的正确应用，核心是牢记两个公式的结构特征，避免混淆公式或漏项，是整式运算中的基础易错题型。
【难度系数】0.4
【解析】
选项A：将$96$写成$100-4$，计算$(100-4)^2$时误用平方差公式，正确应为完全平方公式，展开后漏了中间项$-2×100×4$，结果应为$9216$而非$9984$，故A错误。
选项B：将$96$写成$95+1$，计算$96^2$时误用平方差公式，平方差公式适用于两数和与差的乘积，而非一个数的平方，正确展开应为$(95+1)^2=95^2+2×95×1+1^2$，结果应为$9409$而非$9024$，故B错误。
选项C：将$96$写成$90+6$，计算$(90+6)^2$时误用完全平方公式，漏了中间项$2×90×6$，正确展开应为$90^2+2×90×6+6^2$，结果应为$9216$而非$8136$，故C错误。
选项D：将$96$写成$100-4$，正确应用完全平方公式展开：$(100-4)^2=100^2-2×100×4+4^2=10000-800+16=9216$，计算正确，故D正确。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查完全平方公式和平方差公式的正确应用，核心是牢记两个公式的结构特征，避免混淆公式或漏项，是整式运算中的基础易错题型。
【难度系数】0.4
2 计算：
(1) $105 × 95 - 203 × 197$；
(2) $\dfrac{312^{2}}{-1-313 × 311}.$
(1) $105 × 95 - 203 × 197$；
(2) $\dfrac{312^{2}}{-1-313 × 311}.$
答案
(1) 原式$=(100+5)×(100-5)-(200+3)×(200-3)=100^{2}-5^{2}-200^{2}+3^{2}=10\ 000-25-40\ 000+9=-30\ 016$
(2) 原式$=\dfrac{312^{2}}{-1-(312+1)×(312-1)}=\dfrac{312^{2}}{-1-312^{2}+1}=\dfrac{312^{2}}{-312^{2}}=-1$
(2) 原式$=\dfrac{312^{2}}{-1-(312+1)×(312-1)}=\dfrac{312^{2}}{-1-312^{2}+1}=\dfrac{312^{2}}{-312^{2}}=-1$
解析
【分析】
这两道计算题均可通过构造平方差公式简化运算，避免直接计算复杂乘法。第(1)题中，105=100+5、95=100-5，203=200+3、197=200-3，符合平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²的形式，展开后计算更简便；第(2)题分母里的313×311可变形为(312+1)(312-1)，同样用平方差公式展开，能快速简化分母，进而求出结果。
【解析】
(1) 原式=(100+5)×(100-5)-(200+3)×(200-3)
=100² -5² -(200² -3²)
=10000 -25 -40000 +9
=-30016
(2) 原式=312² / [-1 - (312+1)(312-1)]
=312² / [-1 - (312² -1²)]
=312² / (-1 -312² +1)
=312² / (-312²)
=-1
【答案】
(1) -30016；(2) -1
【知识点】
平方差公式，有理数的混合运算
【点评】
本题考查平方差公式在代数运算中的简便应用，通过拆分数字构造平方差形式，简化复杂计算，是初中代数常用的运算技巧，能提升计算效率与准确率。
【难度系数】
0.6
这两道计算题均可通过构造平方差公式简化运算，避免直接计算复杂乘法。第(1)题中，105=100+5、95=100-5，203=200+3、197=200-3，符合平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²的形式，展开后计算更简便；第(2)题分母里的313×311可变形为(312+1)(312-1)，同样用平方差公式展开，能快速简化分母，进而求出结果。
【解析】
(1) 原式=(100+5)×(100-5)-(200+3)×(200-3)
=100² -5² -(200² -3²)
=10000 -25 -40000 +9
=-30016
(2) 原式=312² / [-1 - (312+1)(312-1)]
=312² / [-1 - (312² -1²)]
=312² / (-1 -312² +1)
=312² / (-312²)
=-1
【答案】
(1) -30016；(2) -1
【知识点】
平方差公式，有理数的混合运算
【点评】
本题考查平方差公式在代数运算中的简便应用，通过拆分数字构造平方差形式，简化复杂计算，是初中代数常用的运算技巧，能提升计算效率与准确率。
【难度系数】
0.6
3 若 $s-t=7$,则 $s^{2}-t^{2}-14t$ 的值是（
A.42
B.50
C.56
D.49
D
）A.42
B.50
C.56
D.49
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现含平方差形式的项，可利用平方差公式分解因式；结合已知条件$s-t=7$，将分解后的式子代入，再通过合并同类项、提取公因式等步骤化简，最终转化为含$s-t$的形式，代入已知值计算即可。
【解析】
解：已知$ s - t = 7 $，对$ s^2 - t^2 - 14t $变形：
$\begin{aligned}s^2 - t^2 - 14t&=(s - t)(s + t) - 14t \quad \mathrm{（利用平方差公式分解）}\\&=7(s + t) - 14t \quad \mathrm{（代入$ s - t =7 $）}\\&=7s + 7t - 14t \quad \mathrm{（展开括号）}\\&=7s - 7t \quad \mathrm{（合并同类项）}\\&=7(s - t) \quad \mathrm{（提取公因式）}\\&=7 × 7 = 49 \quad \mathrm{（代入$ s - t =7 $计算）}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用及代数式的化简求值，解题核心是利用公式分解后结合已知条件简化计算，无需单独求解$s$、$t$的值，属于基础题型，需熟练掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现含平方差形式的项，可利用平方差公式分解因式；结合已知条件$s-t=7$，将分解后的式子代入，再通过合并同类项、提取公因式等步骤化简，最终转化为含$s-t$的形式，代入已知值计算即可。
【解析】
解：已知$ s - t = 7 $，对$ s^2 - t^2 - 14t $变形：
$\begin{aligned}s^2 - t^2 - 14t&=(s - t)(s + t) - 14t \quad \mathrm{（利用平方差公式分解）}\\&=7(s + t) - 14t \quad \mathrm{（代入$ s - t =7 $）}\\&=7s + 7t - 14t \quad \mathrm{（展开括号）}\\&=7s - 7t \quad \mathrm{（合并同类项）}\\&=7(s - t) \quad \mathrm{（提取公因式）}\\&=7 × 7 = 49 \quad \mathrm{（代入$ s - t =7 $计算）}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用及代数式的化简求值，解题核心是利用公式分解后结合已知条件简化计算，无需单独求解$s$、$t$的值，属于基础题型，需熟练掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
4 如果 $(x+1)^2=3,|y-1|=1$,那么 $x^2+2x+y^2-2y+5$ 的值是（
A.7
B.9
C.13
D.14
A
）A.7
B.9
C.13
D.14
答案
4. A
解析
【分析】
要计算代数式$x^2 + 2x + y^2 - 2y +5$的值，观察式子结构，可利用完全平方公式将其变形为含已知条件$(x+1)^2$和$(y-1)^2$的形式，再通过整体代入法求解，简化计算过程。
【解析】
解：对所求代数式变形：
$x^2 + 2x + y^2 - 2y +5$
$=(x^2 + 2x +1) -1 + (y^2 -2y +1) -1 +5$
$=(x+1)^2 -1 + (y-1)^2 -1 +5$
$=(x+1)^2 + (y-1)^2 +3$
已知$(x+1)^2=3$，$|y-1|=1$，则$(y-1)^2=|y-1|^2=1^2=1$，代入上式得：
原式$=3 +1 +3=7$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是利用完全平方公式对所求式子变形，结合整体代入法简化计算，避免求解x、y的具体值，是代数运算中常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要计算代数式$x^2 + 2x + y^2 - 2y +5$的值，观察式子结构，可利用完全平方公式将其变形为含已知条件$(x+1)^2$和$(y-1)^2$的形式，再通过整体代入法求解，简化计算过程。
【解析】
解：对所求代数式变形：
$x^2 + 2x + y^2 - 2y +5$
$=(x^2 + 2x +1) -1 + (y^2 -2y +1) -1 +5$
$=(x+1)^2 -1 + (y-1)^2 -1 +5$
$=(x+1)^2 + (y-1)^2 +3$
已知$(x+1)^2=3$，$|y-1|=1$，则$(y-1)^2=|y-1|^2=1^2=1$，代入上式得：
原式$=3 +1 +3=7$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是利用完全平方公式对所求式子变形，结合整体代入法简化计算，避免求解x、y的具体值，是代数运算中常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5 [2026 海安期中] 已知 $a＞0,b＞0$，$(5a+10b+7)(5a+10b-7)=176$，则 $a^{2}+2ab+6b$ 的值是
9
。答案
5. 9
解析
【分析】首先观察已知等式的结构，符合平方差公式的形式，利用平方差公式化简求出5a+10b的值，再变形得到a+2b=3；接着对所求代数式因式分解，将a+2b=3整体代入即可计算结果。
【解析】解：已知$(5a+10b+7)(5a+10b-7)=176$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，令$x=5a+10b$，$y=7$，则：
$(5a+10b)^2 - 7^2 =176$
计算得：$(5a+10b)^2 =176 +49=225$
因为$a＞0,b＞0$，所以$5a+10b＞0$，开方得：$5a+10b=15$
两边同时除以5，得：$a +2b=3$
对所求代数式$a^2 +2ab +6b$因式分解：
$a^2 +2ab +6b =a(a+2b)+6b$
将$a+2b=3$代入上式：
原式$=a×3 +6b=3a +6b=3(a+2b)$
再代入$a+2b=3$，得：$3×3=9$
【答案】9
【知识点】平方差公式、代数式求值、因式分解
【点评】本题考查平方差公式的应用与代数式的整体代入求值，关键是通过平方差公式求出a+2b的值，再对所求式子变形后整体代入简化计算，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：已知$(5a+10b+7)(5a+10b-7)=176$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，令$x=5a+10b$，$y=7$，则：
$(5a+10b)^2 - 7^2 =176$
计算得：$(5a+10b)^2 =176 +49=225$
因为$a＞0,b＞0$，所以$5a+10b＞0$，开方得：$5a+10b=15$
两边同时除以5，得：$a +2b=3$
对所求代数式$a^2 +2ab +6b$因式分解：
$a^2 +2ab +6b =a(a+2b)+6b$
将$a+2b=3$代入上式：
原式$=a×3 +6b=3a +6b=3(a+2b)$
再代入$a+2b=3$，得：$3×3=9$
【答案】9
【知识点】平方差公式、代数式求值、因式分解
【点评】本题考查平方差公式的应用与代数式的整体代入求值，关键是通过平方差公式求出a+2b的值，再对所求式子变形后整体代入简化计算，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5
6 若$(a+b)^{2}=7$，$(a-b)^{2}=3$，则$a^{2}+b^{2}-3ab$的值为
2
.答案
6. 2 【解析】$\because (a+b)^{2}=7,\therefore a^{2}+b^{2}+2ab=7$①.$\because (a-b)^{2}=3,\therefore a^{2}+b^{2}-2ab=3$②. 由①+②,得$a^{2}+b^{2}=5$;由①-②,得$ab=1. \therefore a^{2}+b^{2}-3ab=5-3=2.$
解析
【分析】
本题需利用完全平方公式对已知条件展开，通过两式相加、相减分别求出$a^2 + b^2$与$ab$的值，再将其整体代入所求代数式计算结果，核心是掌握完全平方公式的变形应用。
【解析】
1. 展开完全平方公式：
由$(a+b)^2 = 7$，得$a^2 + 2ab + b^2 = 7$ ①；
由$(a-b)^2 = 3$，得$a^2 - 2ab + b^2 = 3$ ②；
2. 求$a^2 + b^2$：
将①+②，得$2(a^2 + b^2) = 10$，解得$a^2 + b^2 = 5$；
3. 求$ab$：
将①-②，得$4ab = 4$，解得$ab = 1$；
4. 代入计算：
将$a^2 + b^2 =5$，$ab=1$代入$a^2 + b^2 -3ab$，得$5 - 3×1 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题运用整体代入思想，通过完全平方公式的加减变形求出所需的整体值，是整式运算中代数式求值的典型基础题型，需熟练掌握公式展开及运算。
【难度系数】
0.7
本题需利用完全平方公式对已知条件展开，通过两式相加、相减分别求出$a^2 + b^2$与$ab$的值，再将其整体代入所求代数式计算结果，核心是掌握完全平方公式的变形应用。
【解析】
1. 展开完全平方公式：
由$(a+b)^2 = 7$，得$a^2 + 2ab + b^2 = 7$ ①；
由$(a-b)^2 = 3$，得$a^2 - 2ab + b^2 = 3$ ②；
2. 求$a^2 + b^2$：
将①+②，得$2(a^2 + b^2) = 10$，解得$a^2 + b^2 = 5$；
3. 求$ab$：
将①-②，得$4ab = 4$，解得$ab = 1$；
4. 代入计算：
将$a^2 + b^2 =5$，$ab=1$代入$a^2 + b^2 -3ab$，得$5 - 3×1 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题运用整体代入思想，通过完全平方公式的加减变形求出所需的整体值，是整式运算中代数式求值的典型基础题型，需熟练掌握公式展开及运算。
【难度系数】
0.7
7 [2026 通州期中]一个正方形的边长增加 2 cm,它的面积就增加 $16\ \mathrm{cm}^{2}$,这个正方形原来的边长是
3 cm
.答案
7. 3 cm
解析
【分析】
要解决这个问题，首先设原来正方形的边长为未知数，利用正方形面积公式分别表示出原来和边长增加后的面积，再根据“面积增加16cm²”的等量关系列出方程，最后解方程求出原来的边长。
【解析】
设这个正方形原来的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据正方形面积公式，原来的面积为$ x^2 \, \mathrm{cm}^2 $；边长增加2cm后，新边长为$ (x+2) \, \mathrm{cm} $，新面积为$ (x+2)^2 \, \mathrm{cm}^2 $。
由面积增加16cm²，可列方程：
$ (x+2)^2 - x^2 = 16 $
展开并化简左边：
$ x^2 + 4x + 4 - x^2 = 4x + 4 $
方程变为：
$ 4x + 4 = 16 $
移项计算得：
$ 4x = 12 $
解得：$ x = 3 $
【答案】
3 cm
【知识点】
正方形面积公式、一元一次方程的应用
【点评】
本题是结合几何图形的基础方程应用题，核心是利用面积差建立等量关系，计算过程简单，侧重考查基础公式和方程的应用，适合期中阶段的基础巩固练习。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先设原来正方形的边长为未知数，利用正方形面积公式分别表示出原来和边长增加后的面积，再根据“面积增加16cm²”的等量关系列出方程，最后解方程求出原来的边长。
【解析】
设这个正方形原来的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据正方形面积公式，原来的面积为$ x^2 \, \mathrm{cm}^2 $；边长增加2cm后，新边长为$ (x+2) \, \mathrm{cm} $，新面积为$ (x+2)^2 \, \mathrm{cm}^2 $。
由面积增加16cm²，可列方程：
$ (x+2)^2 - x^2 = 16 $
展开并化简左边：
$ x^2 + 4x + 4 - x^2 = 4x + 4 $
方程变为：
$ 4x + 4 = 16 $
移项计算得：
$ 4x = 12 $
解得：$ x = 3 $
【答案】
3 cm
【知识点】
正方形面积公式、一元一次方程的应用
【点评】
本题是结合几何图形的基础方程应用题，核心是利用面积差建立等量关系，计算过程简单，侧重考查基础公式和方程的应用，适合期中阶段的基础巩固练习。
【难度系数】
0.7
8 数形结合思想 将边长为$a$的正方形$ABCD$和边长为$b(a＞b)$的正方形$CEFG$拼在一起，$B$，$C$，$E$三点在同一条直线上，设图中涂色部分的面积为$S$。
（1）如图①，$S$的值与$a$的大小有关吗？请说明理由。
（2）如图②，若$a+b=10$，$ab=21$，求$S$的值。
（3）如图③，若$a-b=2$，$a^2+b^2=7$，求$S^2$的值。
（1）如图①，$S$的值与$a$的大小有关吗？请说明理由。
（2）如图②，若$a+b=10$，$ab=21$，求$S$的值。
（3）如图③，若$a-b=2$，$a^2+b^2=7$，求$S^2$的值。
答案
(1) S的值与a的大小无关 理由:由题意,得$S=a^{2}+b^{2}-\dfrac{1}{2}(a+b)· a-\dfrac{1}{2}(a-b)· a-\dfrac{1}{2}b^{2}=\dfrac{1}{2}b^{2}$,$\therefore S$的值与$a$的大小无关.
(2) $\because a+b=10,ab=21,\therefore S=\dfrac{1}{2}a^{2}+b^{2}-\dfrac{1}{2}(a+b)· b=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}-\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}(a+b)^{2}-\dfrac{3}{2}ab=\dfrac{1}{2}×10^{2}-\dfrac{3}{2}×21=50-31.5=18.5$
(3) $\because S=\dfrac{1}{2}(a-b)· a+\dfrac{1}{2}(a-b)· b=\dfrac{1}{2}(a-b)(a+b),\therefore S^{2}=\dfrac{1}{4}(a-b)^{2}(a+b)^{2}.\because a-b=2,\therefore (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=4.\because a^{2}+b^{2}=7,\therefore 2ab=3.\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=10.\therefore S^{2}=\dfrac{1}{4}×4×10=10$
(2) $\because a+b=10,ab=21,\therefore S=\dfrac{1}{2}a^{2}+b^{2}-\dfrac{1}{2}(a+b)· b=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}-\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}(a+b)^{2}-\dfrac{3}{2}ab=\dfrac{1}{2}×10^{2}-\dfrac{3}{2}×21=50-31.5=18.5$
(3) $\because S=\dfrac{1}{2}(a-b)· a+\dfrac{1}{2}(a-b)· b=\dfrac{1}{2}(a-b)(a+b),\therefore S^{2}=\dfrac{1}{4}(a-b)^{2}(a+b)^{2}.\because a-b=2,\therefore (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=4.\because a^{2}+b^{2}=7,\therefore 2ab=3.\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=10.\therefore S^{2}=\dfrac{1}{4}×4×10=10$
解析
【分析】
本题利用数形结合思想，通过计算两个正方形拼接后阴影部分的面积，结合正方形、三角形的面积公式，以及整式运算、完全平方公式解决问题。对于每个小问，先确定对应图形的阴影面积表达式，再通过代数化简、代入已知条件计算结果，重点是面积的和差转化和代数变形。
【解析】
（1）图①中，阴影面积为两个正方形面积之和减去三个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}(a+b) · a - \frac{1}{2}(a-b) · a - \frac{1}{2}b^2\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
因此S的值与a的大小无关。
（2）图②中，阴影面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}(a+b) · b\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
已知$a+b=10$，$ab=21$，由完全平方公式得$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=10^2 - 2×21=58$，代入得：
$S=\frac{1}{2}(58 - 21)=\frac{1}{2}×37=18.5$
（3）图③中，阴影面积为两个三角形的面积之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}(a-b) · a + \frac{1}{2}(a-b) · b\\&=\frac{1}{2}(a-b)(a + b)\end{aligned}$
则$S^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2$。已知$a-b=2$，$a^2 + b^2=7$，先算$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2=4$，得$7 - 2ab=4$，即$2ab=3$；再算$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=7 + 3=10$，代入得：
$S^2=\frac{1}{4}×2^2×10=\frac{1}{4}×4×10=10$
【答案】
(1) S的值与a的大小无关；(2) 18.5；(3) 10
【知识点】
整式运算、完全平方公式、几何面积计算
【点评】
本题将几何面积问题转化为代数表达式，通过面积和差建立关系，结合整式变形和完全平方公式求值，考查数形结合思想的应用，要求学生具备代数运算与几何分析的综合能力。
【难度系数】
0.6
本题利用数形结合思想，通过计算两个正方形拼接后阴影部分的面积，结合正方形、三角形的面积公式，以及整式运算、完全平方公式解决问题。对于每个小问，先确定对应图形的阴影面积表达式，再通过代数化简、代入已知条件计算结果，重点是面积的和差转化和代数变形。
【解析】
（1）图①中，阴影面积为两个正方形面积之和减去三个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}(a+b) · a - \frac{1}{2}(a-b) · a - \frac{1}{2}b^2\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
因此S的值与a的大小无关。
（2）图②中，阴影面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}(a+b) · b\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
已知$a+b=10$，$ab=21$，由完全平方公式得$a^2 + b^2=(a+b)^2 - 2ab=10^2 - 2×21=58$，代入得：
$S=\frac{1}{2}(58 - 21)=\frac{1}{2}×37=18.5$
（3）图③中，阴影面积为两个三角形的面积之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}(a-b) · a + \frac{1}{2}(a-b) · b\\&=\frac{1}{2}(a-b)(a + b)\end{aligned}$
则$S^2=\frac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2$。已知$a-b=2$，$a^2 + b^2=7$，先算$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2=4$，得$7 - 2ab=4$，即$2ab=3$；再算$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=7 + 3=10$，代入得：
$S^2=\frac{1}{4}×2^2×10=\frac{1}{4}×4×10=10$
【答案】
(1) S的值与a的大小无关；(2) 18.5；(3) 10
【知识点】
整式运算、完全平方公式、几何面积计算
【点评】
本题将几何面积问题转化为代数表达式，通过面积和差建立关系，结合整式变形和完全平方公式求值，考查数形结合思想的应用，要求学生具备代数运算与几何分析的综合能力。
【难度系数】
0.6
