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21. (14分)图甲所示是某科技小组制作的液体密度计的工作原理图,其中ABO为始终处于水平位置平衡的轻质杠杆(O为支点),OA: OB=4:1;A处空桶重1 N,容积为100 mL,测量时需将桶内注满液体,电源电压恒为12 V,定值电阻$R_0$的阻值为10 Ω;电压表的量程为0~3 V,表盘改造后可直接显示所测液体的密度值;滑动变阻器$R_2$标有“25 Ω 0.5 A”的字样,$R_1$为力敏电阻,其阻值与所受压力F变化关系如表所示($R_1$承受的最大
(1)在桶内注满水,闭合S,电压表的示数为1.5 V,则:
①电路中的电流为
②该液体密度计的“0”刻线与电压表表盘的
(2)移动$R_2$滑片可以改变密度计的最大测量值(此时电压表指针满偏),请通过计算说明:该液体密度计能测量的最大密度为多少?
(3)为提高液体密度计的测量精度,小明利用图甲所示器材,对原电路进行改进,改进后密度计的最大测量值为$1\ \mathrm{g/cm}^3$.请在图乙的虚线框内将改进后的电路补充完整;此时滑动变阻器接入电路的阻值为
(1)在桶内注满水,闭合S,电压表的示数为1.5 V,则:
①电路中的电流为
0.15
A,滑动变阻器$R_2$接入电路的阻值为20
Ω;②该液体密度计的“0”刻线与电压表表盘的
1
V刻线处对应.(2)移动$R_2$滑片可以改变密度计的最大测量值(此时电压表指针满偏),请通过计算说明:该液体密度计能测量的最大密度为多少?
(3)为提高液体密度计的测量精度,小明利用图甲所示器材,对原电路进行改进,改进后密度计的最大测量值为$1\ \mathrm{g/cm}^3$.请在图乙的虚线框内将改进后的电路补充完整;此时滑动变阻器接入电路的阻值为
6.7
Ω.答案
21. (1)①0.15 20 ②1 (2)$2.125g/cm^{3}$ (3)如图所示 6.7
解析:(1)①装满水时,水的重力$G_{水}=mg=ρVg=1×$ $10^{3}kg/m^{3}×100×10^{-6}m^{3}×10N/kg=1N$,A处受到的压力$F_{A}=G_{水}+G_{桶}=1N+1N=2N$.由杠杆的平衡条件得到$F_{A}×$ $OA=F_{B}×OB,F_{B}=\frac {OA}{OB}F_{A}=\frac {4}{1}×2N=8N$.由表中数据可知,$R_{1}=50Ω$,电压表测量$R_{0}$两端的电压,电路中的电流为$I_{1}=\frac {U_{1}}{R_{0}}=\frac {1.5V}{10Ω}=0.15A$,电路的总电阻$R_{总}=\frac {U}{I_{1}}=\frac {12V}{0.15A}=$80 Ω,滑动变阻器$R_{2}$接入电路的阻值$R_{2}=R_{总}-R_{1}-R_{0}=$ $80Ω-50Ω-10Ω=20Ω.$
②当桶中没有液体时,A处受到压力$F_{A1}=1N$,由杠杆的平衡条件得到$F_{A1}×OA=F_{B1}×OB,F_{B1}=\frac {OA}{OB}F_{A1}=\frac {4}{1}×1N=$4 N.由表中数据可知,$R_{1}'=90Ω$,电路中的电流为$I_{1}'=$ $\frac {U}{R_{1}'+R_{0}+R_{2}}=\frac {12V}{90Ω+10Ω+20Ω}=0.1A$,电压表的示数$U_{1}'=$ $I_{1}'R_{0}=0.1A×10Ω=1V.$
(2)电压表的量程为0~3 V,电压表示数最大时,通过电路的电流$I=\frac {U_{0}}{R_{0}}=\frac {3V}{10Ω}=0.3A$,电路的总电阻$R_{总}=\frac {U}{I}=$ $\frac {12V}{0.3A}=40Ω,R_{1}$接入电路的电阻$R_{1}''=R_{总}-R_{0}-R_{2max}=$ $40Ω-10Ω-25Ω=5Ω$.根据图表可得:$R_{1}''=130Ω-F_{B}'×$ $10Ω/N,F_{B}'=\frac {130Ω-R_{1}''}{10Ω/N}=\frac {130Ω-5Ω}{10Ω/N}=12.5N$.此时桶和液体的总重力$G_{A}'=F_{A}'=\frac {F_{B}'×OB}{OA}=\frac {12.5N×1}{4}=3.125N$,液体的重力$G_{液}=G_{A}'-G_{桶}=3.125N-1N=2.125N$.液体的质量$m_{液}=\frac {G_{液}}{g}=\frac {2.125N}{10N/kg}=0.2125kg=212.5g$,液体的密度$ρ=\frac {m_{液}}{V}=\frac {212.5g}{100cm^{3}}=2.125g/cm^{3}.$
(3)为提高液体密度计的测量精度,电压表与$R_{0}$和$R_{2}$并联;密度计的最大测量值为$1g/cm^{3}$,液体的重力$G_{液}'=$ $m_{液}'g=ρVg=1×10^{3}kg/m^{3}×100×10^{-6}m^{3}×10N/kg=1N$,A处受到的压力$F_{A1}'=G_{液}'+G_{桶}=1N+1N=2N$.由杠杆的平衡条件得到$F_{A1}'×OA=F_{B1}'×OB,F_{B1}'=\frac {OA}{OB}F_{A1}'=\frac {4}{1}×2N=8N$.由表中数据可知,$R_{1}=50Ω$,电路中的电流为$I_{2}=\frac {U-U_{2}}{R_{1}}=$ $\frac {12V-3V}{50Ω}=0.18A,R_{0}$和滑动变阻器$R_{2}$的总电阻$R_{总2}=$ $\frac {U}{I_{2}}=\frac {3V}{0.18A}\approx 16.7Ω$,滑动变阻器$R_{2}$接入电路的阻值:$R_{2}'=R_{总2}-R_{0}=16.7Ω-10Ω=6.7Ω.$
解析
【分析】
这是一道力电综合的创新型密度计问题，解题思路可以分模块梳理：
1. 第(1)问①：首先计算注满水时水的重力，加上空桶重力得到A点的总压力，结合杠杆平衡条件算出B点对力敏电阻R₁的压力，查表得到对应R₁的阻值；已知电压表测R₀两端电压，直接用欧姆定律算出电路电流，再根据串联电路总电阻等于各电阻之和，算出滑动变阻器接入的阻值。
2. 第(1)问②：密度计的“0”刻线对应桶内没有液体的状态，此时A点压力仅为空桶重力，再次用杠杆平衡算出B点压力，查表得到此时R₁的阻值，结合之前已经算出的R₂阻值，算出串联电路的电流，最终得到R₀两端的电压，就是“0”刻线对应的电压值。
3. 第(2)问：电压表满偏为3V，此时电路电流达到允许的最大值，算出此时电路总电阻；将滑动变阻器调到最大阻值25Ω时，力敏电阻R₁的阻值最小，对应能承受的压力最大，反推得到B点的最大压力，再通过杠杆平衡算出A点的总重力，减去空桶重力得到液体的重力，进而算出液体质量，结合桶的容积得到最大测量密度。
4. 第(3)问：要让最大测量值变为1g/cm³，也就是注满水（密度1g/cm³）时电压表刚好满偏3V，原电路此时R₀两端电压仅1.5V，因此调整电压表的测量对象，让电压表并联在R₀和R₂两端，此时满偏3V对应1g/cm³，大幅缩小分度值提升精度，再结合欧姆定律算出此时滑动变阻器接入的阻值。
【解析】
(1) ① 桶内注满水时，水的重力：
$G_{水}=m_{水}g=\rho_{水}Vg=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×100×10^{-6}\mathrm{m^3}×10\mathrm{N/kg}=1\mathrm{N}$
A处总压力：$F_A=G_{桶}+G_{水}=1\mathrm{N}+1\mathrm{N}=2\mathrm{N}$
根据杠杆平衡条件$F_A× OA=F_B× OB$，代入OA:OB=4:1，得B点压力：
$F_B=\frac{OA}{OB}F_A=4×2\mathrm{N}=8\mathrm{N}$
查表得此时力敏电阻$R_1=50\Omega$，电压表测$R_0$两端电压，电路电流：
$I_1=\frac{U_{R0}}{R_0}=\frac{1.5\mathrm{V}}{10\Omega}=0.15\mathrm{A}$
电路总电阻：$R_{总}=\frac{U}{I_1}=\frac{12\mathrm{V}}{0.15\mathrm{A}}=80\Omega$
滑动变阻器接入阻值：$R_2=R_{总}-R_1-R_0=80\Omega-50\Omega-10\Omega=20\Omega$
② 桶内无液体时，A处压力$F_{A1}=G_{桶}=1\mathrm{N}$，由杠杆平衡条件得B点压力：
$F_{B1}=\frac{OA}{OB}F_{A1}=4×1\mathrm{N}=4\mathrm{N}$
查表得此时$R_1'=90\Omega$，电路电流：
$I_1'=\frac{U}{R_1'+R_0+R_2}=\frac{12\mathrm{V}}{90\Omega+10\Omega+20\Omega}=0.1\mathrm{A}$
电压表示数：$U_0'=I_1'R_0=0.1\mathrm{A}×10\Omega=1\mathrm{V}$，即“0”刻线对应电压表1V刻度。
(2) 电压表满偏为3V，此时电路最大电流：
$I_{max}=\frac{U_{0max}}{R_0}=\frac{3\mathrm{V}}{10\Omega}=0.3\mathrm{A}$
电路总电阻：$R_{总min}=\frac{U}{I_{max}}=\frac{12\mathrm{V}}{0.3\mathrm{A}}=40\Omega$
将滑动变阻器调到最大阻值$R_{2max}=25\Omega$，此时力敏电阻的最小阻值：
$R_1''=R_{总min}-R_0-R_{2max}=40\Omega-10\Omega-25\Omega=5\Omega$
由力敏电阻的变化规律$R_1=130\Omega - F_B×10\Omega/\mathrm{N}$，得此时B点最大压力：
$F_B'=\frac{130\Omega-R_1''}{10\Omega/\mathrm{N}}=\frac{130\Omega-5\Omega}{10\Omega/\mathrm{N}}=12.5\mathrm{N}$
由杠杆平衡条件得A点总重力：
$G_A'=F_A'=\frac{F_B'× OB}{OA}=\frac{12.5\mathrm{N}×1}{4}=3.125\mathrm{N}$
液体重力：$G_{液}=G_A'-G_{桶}=3.125\mathrm{N}-1\mathrm{N}=2.125\mathrm{N}$
液体质量：$m_{液}=\frac{G_{液}}{g}=\frac{2.125\mathrm{N}}{10\mathrm{N/kg}}=0.2125\mathrm{kg}=212.5\mathrm{g}$
液体最大密度：$\rho_{max}=\frac{m_{液}}{V}=\frac{212.5\mathrm{g}}{100\mathrm{cm^3}}=2.125\mathrm{g/cm^3}$
(3) 要让最大测量值为$1\mathrm{g/cm^3}$，即注满密度为$1\mathrm{g/cm^3}$的水时电压表满偏3V，因此将电压表并联在$R_0$和$R_2$两端，此时注满水时$F_B=8\mathrm{N}$，对应$R_1=50\Omega$，电路电流：
$I_2=\frac{U-U_V}{R_1}=\frac{12\mathrm{V}-3\mathrm{V}}{50\Omega}=0.18\mathrm{A}$
$R_0$和$R_2$的总电阻：$R_{0+2}=\frac{U_V}{I_2}=\frac{3\mathrm{V}}{0.18\mathrm{A}}\approx16.7\Omega$
滑动变阻器接入阻值：$R_2'=R_{0+2}-R_0=16.7\Omega-10\Omega=6.7\Omega$
【答案】
(1) ①0.15；20 ②1
(2) $2.125\mathrm{g/cm^3}$
(3)；6.7
【知识点】
杠杆平衡条件；欧姆定律应用；串联电路规律
【点评】
本题是力电综合的创新压轴题，融合了密度计算、杠杆受力分析、串联电路动态分析多个考点，要求学生能将力学杠杆的压力传递逻辑和电学的欧姆定律计算结合起来，还要理解密度计刻度的物理含义，最后电路改进的部分需要灵活调整电压表测量对象实现精度提升，对学生的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.25
这是一道力电综合的创新型密度计问题，解题思路可以分模块梳理：
1. 第(1)问①：首先计算注满水时水的重力，加上空桶重力得到A点的总压力，结合杠杆平衡条件算出B点对力敏电阻R₁的压力，查表得到对应R₁的阻值；已知电压表测R₀两端电压，直接用欧姆定律算出电路电流，再根据串联电路总电阻等于各电阻之和，算出滑动变阻器接入的阻值。
2. 第(1)问②：密度计的“0”刻线对应桶内没有液体的状态，此时A点压力仅为空桶重力，再次用杠杆平衡算出B点压力，查表得到此时R₁的阻值，结合之前已经算出的R₂阻值，算出串联电路的电流，最终得到R₀两端的电压，就是“0”刻线对应的电压值。
3. 第(2)问：电压表满偏为3V，此时电路电流达到允许的最大值，算出此时电路总电阻；将滑动变阻器调到最大阻值25Ω时，力敏电阻R₁的阻值最小，对应能承受的压力最大，反推得到B点的最大压力，再通过杠杆平衡算出A点的总重力，减去空桶重力得到液体的重力，进而算出液体质量，结合桶的容积得到最大测量密度。
4. 第(3)问：要让最大测量值变为1g/cm³，也就是注满水（密度1g/cm³）时电压表刚好满偏3V，原电路此时R₀两端电压仅1.5V，因此调整电压表的测量对象，让电压表并联在R₀和R₂两端，此时满偏3V对应1g/cm³，大幅缩小分度值提升精度，再结合欧姆定律算出此时滑动变阻器接入的阻值。
【解析】
(1) ① 桶内注满水时，水的重力：
$G_{水}=m_{水}g=\rho_{水}Vg=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×100×10^{-6}\mathrm{m^3}×10\mathrm{N/kg}=1\mathrm{N}$
A处总压力：$F_A=G_{桶}+G_{水}=1\mathrm{N}+1\mathrm{N}=2\mathrm{N}$
根据杠杆平衡条件$F_A× OA=F_B× OB$，代入OA:OB=4:1，得B点压力：
$F_B=\frac{OA}{OB}F_A=4×2\mathrm{N}=8\mathrm{N}$
查表得此时力敏电阻$R_1=50\Omega$，电压表测$R_0$两端电压，电路电流：
$I_1=\frac{U_{R0}}{R_0}=\frac{1.5\mathrm{V}}{10\Omega}=0.15\mathrm{A}$
电路总电阻：$R_{总}=\frac{U}{I_1}=\frac{12\mathrm{V}}{0.15\mathrm{A}}=80\Omega$
滑动变阻器接入阻值：$R_2=R_{总}-R_1-R_0=80\Omega-50\Omega-10\Omega=20\Omega$
② 桶内无液体时，A处压力$F_{A1}=G_{桶}=1\mathrm{N}$，由杠杆平衡条件得B点压力：
$F_{B1}=\frac{OA}{OB}F_{A1}=4×1\mathrm{N}=4\mathrm{N}$
查表得此时$R_1'=90\Omega$，电路电流：
$I_1'=\frac{U}{R_1'+R_0+R_2}=\frac{12\mathrm{V}}{90\Omega+10\Omega+20\Omega}=0.1\mathrm{A}$
电压表示数：$U_0'=I_1'R_0=0.1\mathrm{A}×10\Omega=1\mathrm{V}$，即“0”刻线对应电压表1V刻度。
(2) 电压表满偏为3V，此时电路最大电流：
$I_{max}=\frac{U_{0max}}{R_0}=\frac{3\mathrm{V}}{10\Omega}=0.3\mathrm{A}$
电路总电阻：$R_{总min}=\frac{U}{I_{max}}=\frac{12\mathrm{V}}{0.3\mathrm{A}}=40\Omega$
将滑动变阻器调到最大阻值$R_{2max}=25\Omega$，此时力敏电阻的最小阻值：
$R_1''=R_{总min}-R_0-R_{2max}=40\Omega-10\Omega-25\Omega=5\Omega$
由力敏电阻的变化规律$R_1=130\Omega - F_B×10\Omega/\mathrm{N}$，得此时B点最大压力：
$F_B'=\frac{130\Omega-R_1''}{10\Omega/\mathrm{N}}=\frac{130\Omega-5\Omega}{10\Omega/\mathrm{N}}=12.5\mathrm{N}$
由杠杆平衡条件得A点总重力：
$G_A'=F_A'=\frac{F_B'× OB}{OA}=\frac{12.5\mathrm{N}×1}{4}=3.125\mathrm{N}$
液体重力：$G_{液}=G_A'-G_{桶}=3.125\mathrm{N}-1\mathrm{N}=2.125\mathrm{N}$
液体质量：$m_{液}=\frac{G_{液}}{g}=\frac{2.125\mathrm{N}}{10\mathrm{N/kg}}=0.2125\mathrm{kg}=212.5\mathrm{g}$
液体最大密度：$\rho_{max}=\frac{m_{液}}{V}=\frac{212.5\mathrm{g}}{100\mathrm{cm^3}}=2.125\mathrm{g/cm^3}$
(3) 要让最大测量值为$1\mathrm{g/cm^3}$，即注满密度为$1\mathrm{g/cm^3}$的水时电压表满偏3V，因此将电压表并联在$R_0$和$R_2$两端，此时注满水时$F_B=8\mathrm{N}$，对应$R_1=50\Omega$，电路电流：
$I_2=\frac{U-U_V}{R_1}=\frac{12\mathrm{V}-3\mathrm{V}}{50\Omega}=0.18\mathrm{A}$
$R_0$和$R_2$的总电阻：$R_{0+2}=\frac{U_V}{I_2}=\frac{3\mathrm{V}}{0.18\mathrm{A}}\approx16.7\Omega$
滑动变阻器接入阻值：$R_2'=R_{0+2}-R_0=16.7\Omega-10\Omega=6.7\Omega$
【答案】
(1) ①0.15；20 ②1
(2) $2.125\mathrm{g/cm^3}$
(3)
；6.7【知识点】
杠杆平衡条件；欧姆定律应用；串联电路规律
【点评】
本题是力电综合的创新压轴题，融合了密度计算、杠杆受力分析、串联电路动态分析多个考点，要求学生能将力学杠杆的压力传递逻辑和电学的欧姆定律计算结合起来，还要理解密度计刻度的物理含义，最后电路改进的部分需要灵活调整电压表测量对象实现精度提升，对学生的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.25
