6 如图,某农家乐老板计划在一块长 130 m、宽 60 m 的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为$5750\ \mathrm{m}^{2}$,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为（）

A.4.5 m
B.5 m
C.5.5 m
D.6 m

6. B

【分析】
首先设垂钓通道的宽度为$ x $米，观察图形可知：垂直方向（宽）需减去上下各1条通道，因此鱼塘的宽为$ (60 - 2x) $米；水平方向（长）需减去左右2条通道和中间1条通道，共3条通道，因此两块鱼塘的总长度对应$ (130 - 3x) $米。结合两块鱼塘面积之和为$ 5750\ \mathrm{m}^2 $的条件，列出一元二次方程，再根据实际意义筛选合理的解。
【解析】
设垂钓通道的宽度为$ x $米。
根据题意，两块鱼塘的面积之和可表示为：
$(130 - 3x)(60 - 2x) = 5750$
展开并整理方程：
$7800 - 260x - 180x + 6x^2 = 5750 \\6x^2 - 440x + 2050 = 0 \\3x^2 - 220x + 1025 = 0$
用一元二次方程求根公式$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $（其中$ a=3 $，$ b=-220 $，$ c=1025 $），计算判别式：
$\Delta = (-220)^2 - 4 × 3 × 1025 = 48400 - 12300 = 36100 = 190^2$
解得：
$x = \frac{220 \pm 190}{6}$
得到两个解：$ x_1 = \frac{410}{6} \approx 68.3 $（此时鱼塘宽度$ 60 - 2x ＜ 0 $，不符合实际，舍去），$ x_2 = \frac{30}{6} = 5 $。
因此，垂钓通道的宽度为5米。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，核心是根据图形正确表示鱼塘的长和宽，找到面积等量关系，需注意解的实际合理性，难度适中。
【难度系数】
0.5

7 在高度为 2.8 m 的一面墙上,准备开凿一个矩形窗户,现用 9.5 m 长的铝合金条制成如图所示的窗框. 当矩形窗户的宽 AB 为m 时,其透光面积为 $3\ \mathrm{m}^{2}$(铝合金条的宽度忽略不计).

7. 1.5

【分析】首先设矩形窗户的宽AB为$ b $米，窗户的水平长度为$ a $米。需先分析窗框的铝合金条总长度：水平方向有3条边，每条长度为$ a $；垂直方向有2条长为$ b $的边和1条长0.5m的中间竖边，结合铝合金总长度9.5m得到第一个方程；再根据透光面积为$ 3\ \mathrm{m}^2 $，利用矩形面积公式得到第二个方程，联立方程求解后，结合墙高2.8m舍去不符合实际的解，即可得到AB的长度。
【解析】设AB的长度为$ b $米，窗户的水平长度为$ a $米。
根据题意：
1. 铝合金条总长度：水平方向共3条边，总长度为$ 3a $；垂直方向共2条长为$ b $的边和1条长0.5m的中间竖边，总长度为$ 2b + 0.5 $，因此：
$ 3a + 2b + 0.5 = 9.5 $，化简得$ 3a + 2b = 9 $；
2. 透光面积：矩形面积为长×宽，即$ ab = 3 $。
联立方程组：
$\begin{cases}3a + 2b = 9 \\ ab = 3 \end{cases}$
由$ 3a + 2b =9 $得$ a=\frac{9-2b}{3} $，代入$ ab=3 $：
$ b·\frac{9-2b}{3}=3 $，两边乘3得$ 9b -2b^2=9 $，整理为$ 2b^2 -9b +9=0 $，
因式分解得$ (2b-3)(b-3)=0 $，解得$ b=1.5 $或$ b=3 $。
因墙高为2.8m，$ b=3＞2.8 $不符合实际，舍去，故$ b=1.5 $。
【答案】1.5
【知识点】一元二次方程应用、矩形面积、周长计算
【点评】本题结合实际窗框结构，考查一元二次方程的应用，关键是准确分析各边长度建立方程，需注意结合实际意义舍去不合理解，属于中等难度的实际应用题。
【难度系数】0.5

8 如图,在$△ ABC$中,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,$∠ ABC=90^{ \circ }$,点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动. 如果点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时出发,那么出发后$\mathrm{s}$时,线段$PQ$的长为$5\ \mathrm{cm}$.

8. 2

【分析】
设出发后$ t $秒时，线段$ PQ $的长为$ 5\ \mathrm{s} $。根据点$ P $、$ Q $的移动速度，分别表示出直角三角形$ △ PBQ $的两条直角边长度：点$ P $从$ A $向$ B $移动，速度为$ 1\ \mathrm{cm/s} $，故$ AP = t\ \mathrm{cm} $，则$ BP = AB - AP = (5 - t)\ \mathrm{cm} $；点$ Q $从$ B $向$ C $移动，速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，故$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $。由于$ ∠ ABC = 90° $，$ △ PBQ $是直角三角形，根据勾股定理可列出关于$ t $的方程，求解后结合实际意义舍去不合理的解即可。
【解析】
设出发后$ t $秒时，线段$ PQ $的长为$ 5\ \mathrm{cm} $。
由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 2t\ \mathrm{cm} $，
因为$ AB = 5\ \mathrm{cm} $，所以$ BP = AB - AP = (5 - t)\ \mathrm{cm} $。
又因为$ ∠ ABC = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ PBQ $中，根据勾股定理：
$ BP^2 + BQ^2 = PQ^2 $，
代入已知数值：$ (5 - t)^2 + (2t)^2 = 5^2 $，
展开并整理方程：
$ 25 - 10t + t^2 + 4t^2 = 25 $，
$ 5t^2 - 10t = 0 $，
$ 5t(t - 2) = 0 $，
解得$ t_1 = 0 $，$ t_2 = 2 $。
其中$ t = 0 $是出发初始时刻，不符合题意，舍去；当$ t = 2 $时，$ BP = 3\ \mathrm{cm} $，$ BQ = 4\ \mathrm{cm} $，$ PQ = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{cm} $，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理、动点问题
【点评】
本题是直角三角形背景下的动点问题，核心是利用勾股定理建立方程求解，需注意舍去不符合实际意义的解，考查学生对勾股定理的应用能力和动点问题的分析能力，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.3

9 某校准备在一块长为25 m、宽为20 m的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子(如图),在亭子四周修四条宽度相同,且与亭子各边垂直的小路,亭子的边长是小路宽度的5倍,花园内的空白地方铺草坪,设小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$.
(1) 花园内的小路面积为$\mathrm{m}^{2}$(用含$x$的代数式表示);
(2) 若草坪的面积为$440\ \mathrm{m}^{2}$,求此时小路的宽度.

9. (1) $(-10x^2+45x)$ 【解析】$\because$ 小路的宽度为 $x\ \mathrm{m}$,亭子的边长是小路宽度的 5 倍,$\therefore$ 亭子的边长是 $5x\ \mathrm{m}$. $\therefore$ 花园内的小路面积为$(25-5x)x+(20-5x)x=(-10x^2+45x)\ \mathrm{m}^2$.
(2) 依题意,得 $25×20-(-10x^2+45x)-(5x)^2=440$,整理,得 $x^2+3x-4=0$,解得 $x_1=1$,$x_2=-4$(不合题意,舍去). $\therefore$ 此时小路的宽度为 1 m

【分析】
首先明确小路宽度为$x\ \mathrm{m}$，亭子边长为$5x\ \mathrm{m}$。第(1)问求小路面积，需将十字形小路拆分为横向和纵向两部分，分别计算面积后求和；第(2)问利用“花园总面积 = 小路面积 + 亭子面积 + 草坪面积”的关系，列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
(1) 已知小路宽度为$x\ \mathrm{m}$，则亭子边长为$5x\ \mathrm{m}$。
十字形小路可分为横向和纵向两部分，横向小路的长度为$(25 - 5x)\ \mathrm{m}$，纵向小路的长度为$(20 - 5x)\ \mathrm{m}$，因此小路面积为：
$(25 - 5x)x + (20 - 5x)x = 25x - 5x^2 + 20x - 5x^2 = -10x^2 + 45x\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 花园总面积为$25×20 = 500\ (\mathrm{m}^2)$，亭子面积为$(5x)^2 = 25x^2\ (\mathrm{m}^2)$，草坪面积为$440\ \mathrm{m}^2$，根据面积关系列方程：
$500 - (-10x^2 + 45x) - 25x^2 = 440$
整理方程：
$500 + 10x^2 - 45x - 25x^2 = 440 \\-15x^2 - 45x + 60 = 0 \x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x + 4)(x - 1) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -4$。因为小路宽度不能为负数，舍去$x = -4$，故小路宽度为$1\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $-10x^2 + 45x$；(2) $1\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合矩形花园与十字形小路的实际场景，考查代数式的表示和一元二次方程的应用，关键是理清各部分面积的关系，求解时需检验解的实际意义，难度适中。
【难度系数】
0.6

10 [2025 启东模拟]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$AC=6\ {cm}$,$BC=8\ {cm}$,$P$是$AB$的中点.点$M$从点$A$出发以$2\ {cm/s}$的速度向点$C$运动,点$N$从点$C$出发以$2\ {cm/s}$的速度向点$B$运动,$Q$是$MN$的中点,连接$PQ$.点$M$,$N$同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当$PQ$的长是$2\sqrt{3}\ {cm}$时,求点$M$的运动时间.

10. 如图,以 $CB$ 为 $x$ 轴,$CA$ 为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,则点 $B$ 的坐标为$(8,0)$,点 $A$ 的坐标为$(0,6)$. $\because P$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore$ 易得点 $P$ 的坐标为$(4,3)$. 设点 $M$ 的运动时间为 $t\ (0≤ t≤3)\ \mathrm{s}$.
$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为$(2t,0)$,点 $M$ 的坐标为$(0,6-2t)$. $\because Q$ 是 $MN$ 的中点,$\therefore$ 易得点 $Q$ 的坐标为$(t,3-t)$. 根据题意,得 $PQ=\sqrt{(4-t)^2+[3-(3-t)]^2}=2\sqrt{3}$,整理,得 $t^2-4t+2=0$,解得 $t_1=2-\sqrt{2}$,$t_2=2+\sqrt{2}$(不合题意,舍去). $\therefore$ 点 $M$ 的运动时间为$(2-\sqrt{2})\ \mathrm{s}$

【分析】
本题是直角三角形背景下的动点问题，首先以直角顶点C为原点建立平面直角坐标系，将几何点坐标化；利用中点坐标公式求出AB中点P的坐标；设运动时间为t秒，根据M、N的运动速度和方向写出两点坐标，再由中点坐标公式得到Q点坐标；最后根据两点间距离公式，结合PQ的长度列出关于t的方程，解方程后根据时间取值范围舍去不符合的解，即可得到结果。
【解析】
解：以点C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴A(0,6)，B(8,0)。
∵P是AB中点，根据中点坐标公式，得P((0+8)/2, (6+0)/2)=(4,3)。
设点M的运动时间为t s，由题意，M的运动时间范围为0≤t≤3（M到达C点的时间为6÷2=3s，N到达B点的时间为8÷2=4s，取较小值），则：
点M坐标为(0, 6-2t)，点N坐标为(2t, 0)。
∵Q是MN中点，根据中点坐标公式，得Q((0+2t)/2, (6-2t+0)/2)=(t, 3-t)。
根据两点间距离公式，PQ的长度为：
PQ=√[(4-t)² + (3-(3-t))²] = √[(4-t)² + t²]
由PQ=2√3 cm，得：
√[(4-t)² + t²] = 2√3
两边平方，整理得：t² -4t +2=0
解得：t₁=2-√2，t₂=2+√2
∵0≤t≤3，t₂=2+√2≈3.414＞3，舍去，故t=2-√2。
【答案】
点M的运动时间为(2-√2)s
【知识点】
平面直角坐标系，两点间距离公式，一元二次方程
【点评】
本题通过建立平面直角坐标系将几何动点问题转化为代数计算，思路清晰，关键是准确表示各动点坐标并利用公式列方程，需注意解的实际意义，舍去超出时间范围的解，属于中等难度的动点问题。
【难度系数】
0.6