登录
8 [2026 海安模拟] 如图, 在扇形 $OAB$ 中, $∠ AOB=90°$,$OA=\sqrt{2}$, 过 $\overgroup{AB}$ 的中点 $C$ 作 $CD ⊥ OA$, $CE ⊥ OB$, 垂足分别为 $D,E$, 则图中涂色部分的面积为（
A.$π-1$
B.$\dfrac{π}{2}-1$
C.$π-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{π}{2}-\dfrac{1}{2}$
B
）A.$π-1$
B.$\dfrac{π}{2}-1$
C.$π-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{π}{2}-\dfrac{1}{2}$
答案
8. B
解析
【分析】首先，我们需要计算扇形OAB的面积，再求出中间空白部分（四边形ODCE）的面积，涂色部分面积等于扇形面积减去空白部分面积。先利用弧中点的性质和垂直条件判断四边形ODCE是正方形，再结合半径长度求出正方形的边长，进而计算其面积，最后代入计算涂色部分面积。
【解析】1. 计算扇形OAB的面积：已知∠AOB=90°，OA=√2，根据扇形面积公式 $ S_{扇} = \frac{nπ r^2}{360} $（n为圆心角度数，r为半径），代入得：$ S_{扇OAB} = \frac{90π × (\sqrt{2})^2}{360} = \frac{90π × 2}{360} = \frac{π}{2} $。2. 判断四边形ODCE的形状并求其面积：因为C是弧AB的中点，∠AOB=90°，所以∠AOC=∠BOC=45°。又CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，所以四边形ODCE是矩形；在△ODC中，∠DOC=45°，∠ODC=90°，故△ODC是等腰直角三角形，OD=CD，因此矩形ODCE是正方形。OC是扇形半径，OC=OA=√2，在Rt△ODC中，由勾股定理得 $ OD^2 + CD^2 = OC^2 $，因为OD=CD，所以 $ 2OD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 $，解得OD=1，所以正方形ODCE的面积 $ S_{正方形ODCE} = OD × CD = 1 × 1 = 1 $。3. 计算涂色部分面积：$ S_{涂色} = S_{扇OAB} - S_{正方形ODCE} = \frac{π}{2} - 1 $。
【答案】B
【知识点】扇形面积计算，正方形面积，等腰直角三角形性质
【点评】本题考查组合图形的面积计算，关键在于利用弧中点的性质和垂直关系判断中间空白部分为正方形，结合勾股定理求出正方形边长，进而通过“扇形面积减空白面积”得到涂色部分面积，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算扇形OAB的面积：已知∠AOB=90°，OA=√2，根据扇形面积公式 $ S_{扇} = \frac{nπ r^2}{360} $（n为圆心角度数，r为半径），代入得：$ S_{扇OAB} = \frac{90π × (\sqrt{2})^2}{360} = \frac{90π × 2}{360} = \frac{π}{2} $。2. 判断四边形ODCE的形状并求其面积：因为C是弧AB的中点，∠AOB=90°，所以∠AOC=∠BOC=45°。又CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，所以四边形ODCE是矩形；在△ODC中，∠DOC=45°，∠ODC=90°，故△ODC是等腰直角三角形，OD=CD，因此矩形ODCE是正方形。OC是扇形半径，OC=OA=√2，在Rt△ODC中，由勾股定理得 $ OD^2 + CD^2 = OC^2 $，因为OD=CD，所以 $ 2OD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 $，解得OD=1，所以正方形ODCE的面积 $ S_{正方形ODCE} = OD × CD = 1 × 1 = 1 $。3. 计算涂色部分面积：$ S_{涂色} = S_{扇OAB} - S_{正方形ODCE} = \frac{π}{2} - 1 $。
【答案】B
【知识点】扇形面积计算，正方形面积，等腰直角三角形性质
【点评】本题考查组合图形的面积计算，关键在于利用弧中点的性质和垂直关系判断中间空白部分为正方形，结合勾股定理求出正方形边长，进而通过“扇形面积减空白面积”得到涂色部分面积，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
9 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,O,A,B,C,D 是网格线的交点.若 CD与$\overset{\frown}{AB}$都在以点 O 为圆心的圆上,则$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{AB}$的长度之比为
$\sqrt{2}:1$
.答案
9. $\sqrt{2}:1$
解析
【分析】要计算$\overset{\frown}{CD}$与$\overset{\frown}{AB}$的长度之比，需利用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。首先通过网格确定各点坐标，计算两弧对应的半径，再判断两弧的圆心角，最后结合弧长公式推导比值。
【解析】设点$O$为坐标原点$(0,0)$，根据网格得各点坐标：$A(0,2)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(2,-2)$。
1. 计算半径：
$\overset{\frown}{AB}$的半径$r_1=OA=\sqrt{0^2+2^2}=2$；
$\overset{\frown}{CD}$的半径$r_2=OC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
2. 计算圆心角：
$∠ AOB$：$OA$沿$y$轴正方向，$OB$沿$x$轴正方向，故$∠ AOB=90°$；
$∠ COD$：向量$\overrightarrow{OC}=(2,2)$，$\overrightarrow{OD}=(2,-2)$，点积为$2×2 + 2×(-2)=0$，故$∠ COD=90°$，两弧圆心角均为$90°$。
3. 计算弧长之比：
由弧长公式，当圆心角$n$相同时，弧长之比等于半径之比，因此$\frac{l_{\overset{\frown}{CD}}}{l_{\overset{\frown}{AB}}}=\frac{r_2}{r_1}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，即长度之比为$\sqrt{2}:1$。
【答案】$\sqrt{2}:1$
【知识点】弧长公式，圆的半径，圆心角
【点评】本题结合网格考查弧长公式的应用，关键是确定弧对应的圆心角和半径，利用同圆心角的弧长与半径的关系简化计算，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设点$O$为坐标原点$(0,0)$，根据网格得各点坐标：$A(0,2)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(2,-2)$。
1. 计算半径：
$\overset{\frown}{AB}$的半径$r_1=OA=\sqrt{0^2+2^2}=2$；
$\overset{\frown}{CD}$的半径$r_2=OC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
2. 计算圆心角：
$∠ AOB$：$OA$沿$y$轴正方向，$OB$沿$x$轴正方向，故$∠ AOB=90°$；
$∠ COD$：向量$\overrightarrow{OC}=(2,2)$，$\overrightarrow{OD}=(2,-2)$，点积为$2×2 + 2×(-2)=0$，故$∠ COD=90°$，两弧圆心角均为$90°$。
3. 计算弧长之比：
由弧长公式，当圆心角$n$相同时，弧长之比等于半径之比，因此$\frac{l_{\overset{\frown}{CD}}}{l_{\overset{\frown}{AB}}}=\frac{r_2}{r_1}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，即长度之比为$\sqrt{2}:1$。
【答案】$\sqrt{2}:1$
【知识点】弧长公式，圆的半径，圆心角
【点评】本题结合网格考查弧长公式的应用，关键是确定弧对应的圆心角和半径，利用同圆心角的弧长与半径的关系简化计算，难度适中。
【难度系数】0.5
10 [2024 西宁]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,$BC=12$,$D$是$BC$的中点,分别以点$B$,$C$为圆心,$BD$长为半径作弧,交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,则图中阴影部分的面积是
11π
.答案
10. 11π
解析
【分析】首先根据D是BC中点及BC长度，得出两个扇形的半径；再利用三角形内角和求出两个扇形圆心角的和；最后将阴影部分转化为两个扇形面积之和，结合扇形面积公式计算结果。
【解析】解：
∵D是BC的中点，BC=12，
∴BD=DC=6，即两个扇形的半径均为6。
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，得∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° -70°=110°。
阴影部分是两个扇形，圆心分别为B、C，半径均为6，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，则：
$S_{阴影}=\frac{∠B·π·6^2}{360}+\frac{∠C·π·6^2}{360}=\frac{(∠B+∠C)·π·36}{360}=\frac{110×π×36}{360}=11π$。
【答案】11π
【知识点】扇形面积计算、三角形内角和
【点评】本题将不规则阴影面积转化为两个扇形面积之和，核心是利用三角形内角和求出圆心角的和，体现了转化思想，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解：
∵D是BC的中点，BC=12，
∴BD=DC=6，即两个扇形的半径均为6。
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，得∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° -70°=110°。
阴影部分是两个扇形，圆心分别为B、C，半径均为6，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，则：
$S_{阴影}=\frac{∠B·π·6^2}{360}+\frac{∠C·π·6^2}{360}=\frac{(∠B+∠C)·π·36}{360}=\frac{110×π×36}{360}=11π$。
【答案】11π
【知识点】扇形面积计算、三角形内角和
【点评】本题将不规则阴影面积转化为两个扇形面积之和，核心是利用三角形内角和求出圆心角的和，体现了转化思想，难度适中。
【难度系数】0.5
11 如图,点 D 在半圆O 的直径 AB 的延长线上,点 C 在半圆O 上,$AC=CD$,$∠ ACD=120°$. 半圆O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
答案
11. 连接 OC,BC. $\because ∠ACD=120°,AC=CD, \therefore ∠CAD=∠D=\dfrac{180°-120°}{2}=30°. \because AB$ 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB=90°$.
$\therefore ∠ABC=60°. \because OC=OB, \therefore △OBC$ 是等边三角形.
$\therefore ∠COB=60°. \therefore S_{扇形OCB}=\dfrac{60π× 2^2}{360}=\dfrac{2}{3}π. \because ∠D=30°,$
$\therefore ∠OCD=90°. \therefore OD=2OC=4. \therefore CD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}.$
$\therefore S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× 2× 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}. \therefore S_{阴影部分}=S_{△ OCD}-S_{扇形OCB}=2\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}π$
$\therefore ∠ABC=60°. \because OC=OB, \therefore △OBC$ 是等边三角形.
$\therefore ∠COB=60°. \therefore S_{扇形OCB}=\dfrac{60π× 2^2}{360}=\dfrac{2}{3}π. \because ∠D=30°,$
$\therefore ∠OCD=90°. \therefore OD=2OC=4. \therefore CD=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}.$
$\therefore S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× 2× 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}. \therefore S_{阴影部分}=S_{△ OCD}-S_{扇形OCB}=2\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}π$
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影部分面积等于△OCD的面积减去扇形OCB的面积。首先连接OC、BC，利用等腰三角形ACD的性质求出∠CAD和∠D的度数；再根据直径所对圆周角为直角，得到∠ACB=90°，进而推出△OBC是等边三角形，得到扇形OCB的圆心角；接着利用直角三角形的性质求出OD、CD的长度，计算△OCD和扇形OCB的面积，最后作差得到阴影部分面积。
【解析】
连接OC，BC。
1. 求等腰△ACD的底角：
∵ AC=CD，∠ACD=120°，
∴ ∠CAD=∠D=(180°−120°)/2=30°。
2. 利用直径的性质：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，∠CAD=30°，
∴ ∠ABC=90°−30°=60°。
3. 证明△OBC是等边三角形：
∵ OC=OB（⊙O的半径），∠ABC=60°，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠COB=60°，OC=OB=2（半圆半径为2）。
4. 计算△OCD的面积：
∵ ∠D=30°，∠COD=60°，
∴ ∠OCD=180°−60°−30°=90°，即△OCD是直角三角形。
在Rt△OCD中，OC=2，∠D=30°，
∴ OD=2OC=4，
由勾股定理得：CD=√(OD²−OC²)=√(4²−2²)=2√3，
∴ S△OCD=1/2×OC×CD=1/2×2×2√3=2√3。
5. 计算扇形OCB的面积：
S扇形OCB=(nπr²)/360=(60π×2²)/360=2π/3。
6. 求阴影部分面积：
S阴影=S△OCD−S扇形OCB=2√3−2π/3。
【答案】
2√3 − (2/3)π
【知识点】
圆的性质、扇形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题是圆的综合应用题，需结合等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质，通过面积转化（阴影面积=三角形面积−扇形面积）求解，关键在于找到各角的度数及线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影部分面积等于△OCD的面积减去扇形OCB的面积。首先连接OC、BC，利用等腰三角形ACD的性质求出∠CAD和∠D的度数；再根据直径所对圆周角为直角，得到∠ACB=90°，进而推出△OBC是等边三角形，得到扇形OCB的圆心角；接着利用直角三角形的性质求出OD、CD的长度，计算△OCD和扇形OCB的面积，最后作差得到阴影部分面积。
【解析】
连接OC，BC。
1. 求等腰△ACD的底角：
∵ AC=CD，∠ACD=120°，
∴ ∠CAD=∠D=(180°−120°)/2=30°。
2. 利用直径的性质：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，∠CAD=30°，
∴ ∠ABC=90°−30°=60°。
3. 证明△OBC是等边三角形：
∵ OC=OB（⊙O的半径），∠ABC=60°，
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠COB=60°，OC=OB=2（半圆半径为2）。
4. 计算△OCD的面积：
∵ ∠D=30°，∠COD=60°，
∴ ∠OCD=180°−60°−30°=90°，即△OCD是直角三角形。
在Rt△OCD中，OC=2，∠D=30°，
∴ OD=2OC=4，
由勾股定理得：CD=√(OD²−OC²)=√(4²−2²)=2√3，
∴ S△OCD=1/2×OC×CD=1/2×2×2√3=2√3。
5. 计算扇形OCB的面积：
S扇形OCB=(nπr²)/360=(60π×2²)/360=2π/3。
6. 求阴影部分面积：
S阴影=S△OCD−S扇形OCB=2√3−2π/3。
【答案】
2√3 − (2/3)π
【知识点】
圆的性质、扇形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题是圆的综合应用题，需结合等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质，通过面积转化（阴影面积=三角形面积−扇形面积）求解，关键在于找到各角的度数及线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.5
12 [2025 海安模拟]如图,AB 是$\odot O$的直径,CD 是$\odot O$的一条弦,且$CD ⊥ AB$于点E.
(1) 求证:$∠ BCO=∠ D$;
(2) 若$CD=4\sqrt{3},AE=2$,求涂色部分的面积.
(1) 求证:$∠ BCO=∠ D$;
(2) 若$CD=4\sqrt{3},AE=2$,求涂色部分的面积.
答案
12. （1）$\because OC=OB, \therefore ∠BCO=∠B. \because ∠B=∠D,$
$\therefore ∠BCO=∠D$ （2）$\because AB$ 是$\odot O$的直径,$CD⊥AB$ 于点E,
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}× 4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. 设$\odot O$的半径为$r$. 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,$OC^2=CE^2+OE^2, \therefore r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$,解得$r=4. \therefore OC=OA=4. \therefore OE=4-2=2$. 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,
$\because OC=4,OE=2, \therefore$ 易得$∠OCE=30°. \therefore ∠AOC=60°.$
$\therefore S_{涂色部分}=S_{扇形OAC}-S_{△ OE}=\dfrac{60π× 4^2}{360}-\dfrac{1}{2}× 2× 2\sqrt{3}=\dfrac{8}{3}π-2\sqrt{3}$
$\therefore ∠BCO=∠D$ （2）$\because AB$ 是$\odot O$的直径,$CD⊥AB$ 于点E,
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}× 4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. 设$\odot O$的半径为$r$. 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,$OC^2=CE^2+OE^2, \therefore r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$,解得$r=4. \therefore OC=OA=4. \therefore OE=4-2=2$. 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,
$\because OC=4,OE=2, \therefore$ 易得$∠OCE=30°. \therefore ∠AOC=60°.$
$\therefore S_{涂色部分}=S_{扇形OAC}-S_{△ OE}=\dfrac{60π× 4^2}{360}-\dfrac{1}{2}× 2× 2\sqrt{3}=\dfrac{8}{3}π-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
第(1)问：要证∠BCO=∠D，先由OC=OB得∠BCO=∠B，再利用同弧所对圆周角相等，弧AC对应的∠B和∠D相等，即可推导结论；第(2)问：求涂色部分面积，先通过垂径定理得CE长度，设圆半径为r，在Rt△OCE中用勾股定理求r，再求出圆心角∠AOC，最后用扇形OAC面积减去△OCE面积得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ OC、OB是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B（等腰三角形两底角相等）。
又
∵ ∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴ ∠BCO=∠D。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E，根据垂径定理，得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
设⊙O半径为r，则OC=OA=r，OE=r - AE=r - 2。
在Rt△OCE中，由勾股定理：$OC^2=CE^2+OE^2$，
即$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$，
展开得$r^2=12 + r^2 -4r +4$，化简得$4r=16$，解得$r=4$。
∴ OC=4，OE=4 -2=2。
在Rt△OCE中，OC=4，OE=2，故∠COE=60°，即∠AOC=60°。
∴ $S_{涂色部分}=S_{扇形OAC}-S_{△OCE}$
$=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×OE×CE$
$=\frac{8π}{3}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$
$=\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 涂色部分面积为$\dfrac{8}{3}π - 2\sqrt{3}$。
【知识点】
圆的性质、垂径定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的核心定理，第(1)问利用等腰三角形与圆周角定理推导角相等，第(2)问结合垂径定理、勾股定理求半径和圆心角，再计算组合图形面积，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证∠BCO=∠D，先由OC=OB得∠BCO=∠B，再利用同弧所对圆周角相等，弧AC对应的∠B和∠D相等，即可推导结论；第(2)问：求涂色部分面积，先通过垂径定理得CE长度，设圆半径为r，在Rt△OCE中用勾股定理求r，再求出圆心角∠AOC，最后用扇形OAC面积减去△OCE面积得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ OC、OB是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B（等腰三角形两底角相等）。
又
∵ ∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴ ∠BCO=∠D。
(2) 解：
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E，根据垂径定理，得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
设⊙O半径为r，则OC=OA=r，OE=r - AE=r - 2。
在Rt△OCE中，由勾股定理：$OC^2=CE^2+OE^2$，
即$r^2=(2\sqrt{3})^2+(r-2)^2$，
展开得$r^2=12 + r^2 -4r +4$，化简得$4r=16$，解得$r=4$。
∴ OC=4，OE=4 -2=2。
在Rt△OCE中，OC=4，OE=2，故∠COE=60°，即∠AOC=60°。
∴ $S_{涂色部分}=S_{扇形OAC}-S_{△OCE}$
$=\frac{60π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×OE×CE$
$=\frac{8π}{3}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$
$=\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 涂色部分面积为$\dfrac{8}{3}π - 2\sqrt{3}$。
【知识点】
圆的性质、垂径定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的核心定理，第(1)问利用等腰三角形与圆周角定理推导角相等，第(2)问结合垂径定理、勾股定理求半径和圆心角，再计算组合图形面积，需熟练掌握圆的相关性质。
【难度系数】
0.5
13 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=90°$,半径$OA=6$.将扇形$OAB$沿过点$B$的直线折叠,使点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$D$处,折痕交$OA$于点$C$,求整个阴影部分的周长和面积.
答案
13. 连接 OD. 根据折叠的性质,得 $S_{△ BDC}=S_{△ BOC},CD=OC$,
$BD=BO,∠DBC=∠OBC. \therefore OB=OD=BD. \therefore △ OBD$ 是等边三角形.
$\therefore ∠DBO=60°. \therefore ∠OBC=\dfrac{1}{2}∠DBO=30°.$
$\because ∠AOB=90°, \therefore BC=2OC$. 由勾股定理,得 $OC^2+OB^2=BC^2. \therefore OC^2+6^2=4OC^2$, 解得 $OC=2\sqrt{3}$(负值舍去).
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB · OC=\dfrac{1}{2}× 6× 2\sqrt{3}=6\sqrt{3},$
$S_{扇形OAB}=\dfrac{90π× 6^2}{360}=9π,l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{90π× 6}{180}=3π. \therefore$ 整个阴影部分的周长为 $AC+CD+BD+l_{\overset{\frown}{AB}}=AC+OC+BO+l_{\overset{\frown}{AB}}=OA+OB+l_{\overset{\frown}{AB}}=6+6+3π=12+3π$, 整个阴影部分的面积为 $S_{扇形OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$
$BD=BO,∠DBC=∠OBC. \therefore OB=OD=BD. \therefore △ OBD$ 是等边三角形.
$\therefore ∠DBO=60°. \therefore ∠OBC=\dfrac{1}{2}∠DBO=30°.$
$\because ∠AOB=90°, \therefore BC=2OC$. 由勾股定理,得 $OC^2+OB^2=BC^2. \therefore OC^2+6^2=4OC^2$, 解得 $OC=2\sqrt{3}$(负值舍去).
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB · OC=\dfrac{1}{2}× 6× 2\sqrt{3}=6\sqrt{3},$
$S_{扇形OAB}=\dfrac{90π× 6^2}{360}=9π,l_{\overset{\frown}{AB}}=\dfrac{90π× 6}{180}=3π. \therefore$ 整个阴影部分的周长为 $AC+CD+BD+l_{\overset{\frown}{AB}}=AC+OC+BO+l_{\overset{\frown}{AB}}=OA+OB+l_{\overset{\frown}{AB}}=6+6+3π=12+3π$, 整个阴影部分的面积为 $S_{扇形OAB}-S_{△ BDC}-S_{△ BOC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决阴影部分的周长和面积问题，首先连接OD，利用折叠的性质得到对应边相等，进而推出△OBD为等边三角形，求出相关角度；再结合直角三角形的性质和勾股定理求出OC的长度，计算三角形面积；最后将阴影部分的周长转化为OA+OB+弧AB的长度，面积转化为扇形OAB的面积减去两个全等三角形的面积，简化计算。
【解析】
连接OD。
根据折叠的性质，得：BD=BO，CD=OC，△BDC≌△BOC，
∴ OD=OB=BD，即△OBD是等边三角形，
∴ ∠DBO=60°，
∴ ∠OBC=½∠DBO=30°。
在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OBC=30°，故BC=2OC。
由勾股定理：OC² + OB² = BC²，代入OB=6，BC=2OC，得：
OC² + 6² = (2OC)²，
解得OC=2√3（负值舍去）。
计算各部分：
1. 三角形面积：S△BDC = S△BOC = ½×OB×OC = ½×6×2√3 = 6√3，
2. 弧AB的长度：l_AB = (90π×6)/180 = 3π，
3. 扇形OAB的面积：S扇形OAB = (90π×6²)/360 = 9π。
阴影部分周长：
阴影周长 = AC + CD + BD + l_AB = (OA - OC) + OC + OB + l_AB = OA + OB + l_AB = 6 + 6 + 3π = 12 + 3π。
阴影部分面积：
阴影面积 = S扇形OAB - S△BDC - S△BOC = 9π - 6√3 - 6√3 = 9π - 12√3。
【答案】
周长为12+3π，面积为9π-12√3
【知识点】
扇形弧长计算、扇形面积计算、折叠的性质
【点评】
本题综合考查折叠性质、等边三角形判定及扇形相关计算，关键是利用折叠的对应边相等找到等边三角形，将阴影部分的周长和面积转化为规则图形的和差，简化计算过程，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决阴影部分的周长和面积问题，首先连接OD，利用折叠的性质得到对应边相等，进而推出△OBD为等边三角形，求出相关角度；再结合直角三角形的性质和勾股定理求出OC的长度，计算三角形面积；最后将阴影部分的周长转化为OA+OB+弧AB的长度，面积转化为扇形OAB的面积减去两个全等三角形的面积，简化计算。
【解析】
连接OD。
根据折叠的性质，得：BD=BO，CD=OC，△BDC≌△BOC，
∴ OD=OB=BD，即△OBD是等边三角形，
∴ ∠DBO=60°，
∴ ∠OBC=½∠DBO=30°。
在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OBC=30°，故BC=2OC。
由勾股定理：OC² + OB² = BC²，代入OB=6，BC=2OC，得：
OC² + 6² = (2OC)²，
解得OC=2√3（负值舍去）。
计算各部分：
1. 三角形面积：S△BDC = S△BOC = ½×OB×OC = ½×6×2√3 = 6√3，
2. 弧AB的长度：l_AB = (90π×6)/180 = 3π，
3. 扇形OAB的面积：S扇形OAB = (90π×6²)/360 = 9π。
阴影部分周长：
阴影周长 = AC + CD + BD + l_AB = (OA - OC) + OC + OB + l_AB = OA + OB + l_AB = 6 + 6 + 3π = 12 + 3π。
阴影部分面积：
阴影面积 = S扇形OAB - S△BDC - S△BOC = 9π - 6√3 - 6√3 = 9π - 12√3。
【答案】
周长为12+3π，面积为9π-12√3
【知识点】
扇形弧长计算、扇形面积计算、折叠的性质
【点评】
本题综合考查折叠性质、等边三角形判定及扇形相关计算，关键是利用折叠的对应边相等找到等边三角形，将阴影部分的周长和面积转化为规则图形的和差，简化计算过程，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
