1. 不等式组$\begin{cases}2x+1＞x+2,\\x+3≥ 2x-1\end{cases}$的解集是（ ）

A.$x＞1$
B.$x≤ 4$
C.$x＞1$或$x≤ 4$
D.$1＜ x≤ 4$

D

解第一个不等式$2x+1＞x+2$，移项得$2x - x ＞ 2 - 1$，解得$x＞1$；
解第二个不等式$x+3≥ 2x-1$，移项得$x - 2x ≥ -1 - 3$，合并同类项得$-x≥-4$，系数化为1得$x≤4$；
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$1＜ x≤ 4$。

2.若定义一种运算：$a*b=\begin{cases}a(a≥ b), \\ b(a＜ b).\end{cases}$ 则不等式$2x*(x+3)＞1$的解集是（ ）

A.$x＞\dfrac{1}{2}$或$x＞2$
B.$x＞\dfrac{1}{2}$或$-2＜ x＜ 3$
C.$x≥ 3$或$-2＜ x＜ 3$
D.$x≥ 3$或$2＜ x＜ 3$

C

根据定义的运算规则，分两种情况讨论：
1. 当$2x ≥ x+3$，即$x≥3$时，$2x*(x+3)=2x$，原不等式化为$2x＞1$，解得$x＞\frac{1}{2}$，结合前提条件得解集为$x≥3$；
2. 当$2x ＜ x+3$，即$x＜3$时，$2x*(x+3)=x+3$，原不等式化为$x+3＞1$，解得$x＞-2$，结合前提条件得解集为$-2＜x＜3$；
合并两种情况的解集，得不等式的解集为$x≥ 3$或$-2＜ x＜ 3$。

3.已知方程组$\begin{cases}x+y=1-a, \\ x-y=3a+5\end{cases}$的解$x$为正数，$y$为非负数，给出下列结论：①$-3＜ a≤ -1$；②当$a=-\dfrac{5}{3}$时，$x=y$；③当$a=-2$时，方程组的解也是方程$x+y=5+a$的解.其中正确的是（ ）

A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③

C

先使用加减消元法解原方程组：
将两个方程相加：$2x=2a+6$，解得$x=a+3$
将两个方程相减：$2y=-4a-4$，解得$y=-2a-2$
1. 验证①：由x为正数得$a+3＞0$，即$a＞-3$；由y为非负数得$-2a-2≥0$，即$a≤-1$，因此$-3＜a≤-1$，①正确。
2. 验证②：当$a=-\dfrac{5}{3}$时，$x=-\dfrac{5}{3}+3=\dfrac{4}{3}$，$y=-2×(-\dfrac{5}{3})-2=\dfrac{4}{3}$，可得$x=y$，②正确。
3. 验证③：当$a=-2$时，方程组的解为$x=1$，$y=2$，代入$x+y=5+a$，左边$=1+2=3$，右边$=5+(-2)=3$，等式成立，因此该解也是方程$x+y=5+a$的解，③正确。
综上①②③均正确。

4.某班班委计划用500元到超市为本班同学购买笔记本.该超市推出优惠活动,每本笔记本原价10元,若一次购买不超过15本,则按原价付款;若一次性购买超过15本,则全部按原价八折优惠.问最多能购买多少本笔记本?设能购买 $ x $ 本笔记本,根据题意列不等式:.

$10×0.8x ≤ 500$

要购买最多数量的笔记本，购买的本数x必然超过15本，可享受全部笔记本按原价八折的优惠，此时每本笔记本的实际单价为10×0.8元，购买x本的总费用不能超过班委准备的500元，据此列出对应不等式。

5.若$x=4$是关于$x$的方程$kx+b=0(k≠0,b＞0)$的解,则关于$x$的不等式$k(x-3)+b＞0$的解集是________.

x＜7

1. 先将方程的解代入方程：把x=4代入kx+b=0（k≠0），可得4k + b = 0，变形得b = -4k。
2. 判断k的正负：已知b＞0，代入b=-4k得-4k＞0，由此推出k＜0。
3. 求解不等式：对k(x-3)+b＞0展开得kx - 3k + b ＞ 0，将b=-4k代入，整理得kx＞7k。
因为k＜0，不等式两边同时除以负数k时，不等号方向需要改变，最终得到x＜7。

6.若关于$x$的不等式组$\begin{cases} 4-x≥ 0, \\ x-a-2≥ 0 \end{cases}$恰有3个整数解，则$a$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.

$-1 ＜ a \le 0$

先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$4-x\ge0$，移项可得$x\le4$；
2. 解不等式$x-a-2\ge0$，移项可得$x\ge a+2$。
因此该不等式组的解集为$a+2\le x\le4$。
结合题意，不等式组恰有3个整数解，由$x\le4$可知这3个整数解为4、3、2，据此可列不等式：$1 ＜ a+2 \le 2$，对该不等式两边同时减2，解得$-1 ＜ a \le 0$。

7. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - y = 1 + 4a, \\ x + y = -7 - a, \end{cases} $ 其中 $ a $ 为任意有理数.
（1）证明：代数式 $ 2x + y $ 的值不会随着 $ a $ 的值的变化而变化；
（2）若 $ 3 ≤ 5x + y ≤ 6 $，求 $ x $ 的取值范围.

（1）证明成立，$2x+y$恒为定值-9；（2）$x$的取值范围是$\boldsymbol{4≤x≤5}$

（1）证明：对于方程组$\begin{cases} 2x - y = 1 + 4a \quad ①\\ x + y = -7 - a \quad ② \end{cases}$，将①+②得：
$3x = -6 + 3a$，化简可得$x = a - 2$。
把$x=a-2$代入②，得$a-2 + y = -7 -a$，解得$y = -2a -5$。
将$x=a-2$、$y=-2a-5$代入代数式$2x+y$：
$2x+y=2(a-2)+(-2a-5)=2a-4-2a-5=-9$，计算结果为定值-9，不含字母$a$，因此代数式$2x+y$的值不会随着$a$的值的变化而变化。
（2）把$x=a-2$、$y=-2a-5$代入$5x+y$，得：
$5x+y=5(a-2)+(-2a-5)=3a-15$
由条件$3 ≤ 5x + y ≤ 6$，可得不等式组：
$\begin{cases}3a-15 ≥3 \\ 3a-15 ≤6 \end{cases}$
解第一个不等式得$a≥6$，解第二个不等式得$a≤7$，即$6≤a≤7$。
又因为$x=a-2$，变形得$a=x+2$，代入$a$的取值范围得：
$6 ≤ x+2 ≤7$，三边同时减2，解得$4 ≤x ≤5$。