登录
6.如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,F是边AB上一点,连接DF.若BE=AF,则∠CDF的度数为 （）
A.$45°$
B.$60°$
C.$67.5°$
D.$77.5°$
A.$45°$
B.$60°$
C.$67.5°$
D.$77.5°$
答案
C
解析
1. 在正方形ABCD中，∠BAC=45°，∠DAF=∠ABE=90°，AD=AB，∠ADC=90°；
2. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=½∠BAC=22.5°；
3. 由BE=AF，AD=AB，∠DAF=∠ABE，可证△DAF≌△ABE（SAS），得∠ADF=∠BAE=22.5°；
4. 因此∠CDF=∠ADC - ∠ADF=90°-22.5°=67.5°。
2. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=½∠BAC=22.5°；
3. 由BE=AF，AD=AB，∠DAF=∠ABE，可证△DAF≌△ABE（SAS），得∠ADF=∠BAE=22.5°；
4. 因此∠CDF=∠ADC - ∠ADF=90°-22.5°=67.5°。
7.在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD$.下列条件中能使四边形$ABCD$为矩形的是（）
A.$AB// CD$
B.$AD=BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ D$
A.$AB// CD$
B.$AD=BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ D$
答案
C
解析
已知$AD// BC$，$AB=CD$的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，逐个分析选项：
1. 选项A：$AB// CD$结合$AD// BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，无法推出存在直角，不一定是矩形，错误。
2. 选项B：$AD=BC$结合$AD// BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，无法推出存在直角，不一定是矩形，错误。
3. 选项C：由$AD// BC$得$∠ A+∠ B=180°$，又$∠ A=∠ B$，因此$∠ A=∠ B=90°$，即$AB⊥ AD$，$AB⊥ BC$。过$D$作$DE⊥ BC$于$E$，可得$AB=DE$，结合$AB=CD$得$DE=CD$，在$Rt△ DEC$中斜边等于直角边，说明$E$与$C$重合，即$CD⊥ BC$，可得$∠ C=∠ D=90°$，四个内角均为直角，四边形$ABCD$是矩形，正确。
4. 选项D：等腰梯形满足$AD// BC$，$AB=CD$，且同一底上的底角$∠ A=∠ D$，此时四边形不是矩形，错误。
1. 选项A：$AB// CD$结合$AD// BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，无法推出存在直角，不一定是矩形，错误。
2. 选项B：$AD=BC$结合$AD// BC$，可判定四边形$ABCD$是平行四边形，无法推出存在直角，不一定是矩形，错误。
3. 选项C：由$AD// BC$得$∠ A+∠ B=180°$，又$∠ A=∠ B$，因此$∠ A=∠ B=90°$，即$AB⊥ AD$，$AB⊥ BC$。过$D$作$DE⊥ BC$于$E$，可得$AB=DE$，结合$AB=CD$得$DE=CD$，在$Rt△ DEC$中斜边等于直角边，说明$E$与$C$重合，即$CD⊥ BC$，可得$∠ C=∠ D=90°$，四个内角均为直角，四边形$ABCD$是矩形，正确。
4. 选项D：等腰梯形满足$AD// BC$，$AB=CD$，且同一底上的底角$∠ A=∠ D$，此时四边形不是矩形，错误。
8. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AD在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(0,2),则顶点C的坐标为 ()
A.(2,2)
B.$(\sqrt{5},2)$
C.$(2,\sqrt{5})$
D.$(\sqrt{3},2)$
(第8题图)
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)
A.(2,2)
B.$(\sqrt{5},2)$
C.$(2,\sqrt{5})$
D.$(\sqrt{3},2)$
(第8题图)
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)
答案
B
解析
在Rt△AOB中，由A(-1,0)、B(0,2)可得OA=1，OB=2，根据勾股定理计算得AB=√(OA²+OB²)=√(1²+2²)=√5。由菱形的性质可知，BC//AD，且BC=AB=√5，因为AD在x轴上，所以BC是水平线段，点B的纵坐标为2，因此点C的纵坐标也为2，点C的横坐标为0+√5=√5，即顶点C的坐标为(√5,2)。
9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD的延长线上一点，连接AE，AF.AM平分∠EAF，交CD于点M.若BE=DF=1，则DM的长为（）
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
D
解析
1. 证明△ABE≌△ADF：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADF=90°，又BE=DF=1，由SAS得△ABE≌△ADF，因此AE=AF。
2. 证明△AEM≌△AFM：AM平分∠EAF，故∠EAM=∠FAM，又AM为公共边，AE=AF，由SAS得△AEM≌△AFM，因此EM=FM。
3. 设DM=x：FM=DF+DM=1+x，EC=BC-BE=4-1=3，MC=CD-DM=4-x。
4. 在Rt△ECM中，由勾股定理得：EM²=EC²+MC²，代入EM=FM得：
$(1+x)^2=3^2+(4-x)^2$
展开化简得：$1+2x=25-8x$，解得$x=\frac{12}{5}$，即DM=$\frac{12}{5}$。
2. 证明△AEM≌△AFM：AM平分∠EAF，故∠EAM=∠FAM，又AM为公共边，AE=AF，由SAS得△AEM≌△AFM，因此EM=FM。
3. 设DM=x：FM=DF+DM=1+x，EC=BC-BE=4-1=3，MC=CD-DM=4-x。
4. 在Rt△ECM中，由勾股定理得：EM²=EC²+MC²，代入EM=FM得：
$(1+x)^2=3^2+(4-x)^2$
展开化简得：$1+2x=25-8x$，解得$x=\frac{12}{5}$，即DM=$\frac{12}{5}$。
10.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则$OM+\frac{1}{2}FG$的最小值是（）
A.4
B.5
C.8
D.10
A.4
B.5
C.8
D.10
答案
B
解析
1. 证明全等与直角：在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，结合AE=BF，可得△ADE≌△BAF，因此∠ADE=∠BAF。由∠ADE+∠AED=90°，推得∠BAF+∠AED=90°，即∠AOE=90°，故∠DOF=90°。
2. 利用直角三角形斜边中线性质：M是Rt△DOF斜边DF的中点，因此OM=1/2 DF。
3. 转化所求式子：$OM+\frac{1}{2}FG=\frac{1}{2}DF+\frac{1}{2}FG=\frac{1}{2}(DF+FG)$。
4. 计算最小值：由AG=2GB，AB=6得GB=2，设BF=f，代入距离公式求最值，可得DF+FG的最小值为10，因此$\frac{1}{2}(DF+FG)$的最小值为5。
2. 利用直角三角形斜边中线性质：M是Rt△DOF斜边DF的中点，因此OM=1/2 DF。
3. 转化所求式子：$OM+\frac{1}{2}FG=\frac{1}{2}DF+\frac{1}{2}FG=\frac{1}{2}(DF+FG)$。
4. 计算最小值：由AG=2GB，AB=6得GB=2，设BF=f，代入距离公式求最值，可得DF+FG的最小值为10，因此$\frac{1}{2}(DF+FG)$的最小值为5。
11.如图,点A,B,C在同一条线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线AC同侧,AB＜BC,∠A=∠C=90°,△EAB≌△BCD,连接DE,设AB=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论:①$a+b＜c$;②$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$;③$\sqrt{2}(a+b)＞c$.
上述结论中所有正确结论的序号是 ()
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
上述结论中所有正确结论的序号是 ()
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
D
解析
由$△ EAB ≌ △ BCD$，得$EA=BC=b$，$AB=CD=a$，$∠ ABE=∠ BDC$。
因为$∠ C=90°$，所以$∠ BDC+∠ DBC=90°$，进而$∠ ABE+∠ DBC=90°$，即$∠ EBD=90°$。
由勾股定理得$BE=BD=\sqrt{a^2+b^2}$，因此$DE^2=BE^2+BD^2=2(a^2+b^2)$，即$c=\sqrt{2(a^2+b^2)}$。
1. 验证结论①：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$c^2=2a^2+2b^2$，$c^2-(a+b)^2=(a-b)^2$，由$AB＜BC$得$a≠ b$，故$(a-b)^2＞0$，即$(a+b)^2＜c^2$，$a+b＜c$，①正确。
2. 验证结论②：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(\sqrt{a^2+b^2})^2=a^2+b^2$，$(a+b)^2 - (\sqrt{a^2+b^2})^2=2ab＞0$，故$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，②正确。
3. 验证结论③：
要证$\sqrt{2}(a+b)＞c$，代入$c=\sqrt{2(a^2+b^2)}$，两边同除以$\sqrt{2}$得$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，由结论②知该式成立，故③正确。
因此①②③均正确。
因为$∠ C=90°$，所以$∠ BDC+∠ DBC=90°$，进而$∠ ABE+∠ DBC=90°$，即$∠ EBD=90°$。
由勾股定理得$BE=BD=\sqrt{a^2+b^2}$，因此$DE^2=BE^2+BD^2=2(a^2+b^2)$，即$c=\sqrt{2(a^2+b^2)}$。
1. 验证结论①：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$c^2=2a^2+2b^2$，$c^2-(a+b)^2=(a-b)^2$，由$AB＜BC$得$a≠ b$，故$(a-b)^2＞0$，即$(a+b)^2＜c^2$，$a+b＜c$，①正确。
2. 验证结论②：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(\sqrt{a^2+b^2})^2=a^2+b^2$，$(a+b)^2 - (\sqrt{a^2+b^2})^2=2ab＞0$，故$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，②正确。
3. 验证结论③：
要证$\sqrt{2}(a+b)＞c$，代入$c=\sqrt{2(a^2+b^2)}$，两边同除以$\sqrt{2}$得$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，由结论②知该式成立，故③正确。
因此①②③均正确。
