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一、我会填。
1. 有5瓶维生素，其中一瓶少了4片。如果用天平称，每次称两瓶，至少需要称( )次一定能找到这瓶维生素。
1. 有5瓶维生素，其中一瓶少了4片。如果用天平称，每次称两瓶，至少需要称( )次一定能找到这瓶维生素。
答案
1. 两
解析
【分析】
要找到少4片的那瓶维生素（次品，重量更轻），需结合天平平衡原理，围绕“一定能找到”的要求，考虑最坏情况分析：先把5瓶分成2瓶、2瓶、1瓶三组。第一次称两组2瓶，若天平平衡，剩下的1瓶就是次品（仅需1次）；若不平衡，次品在较轻的2瓶中，此时需要第二次称这两瓶，较轻的即为次品。因为要保证一定找到，需按最坏情况计算，所以至少需要称2次。
【解析】
1. 分组：将5瓶维生素分成3组，分别为2瓶、2瓶、1瓶。
2. 第一次称量：把两组2瓶的分别放在天平两端。
若天平平衡，则剩下的1瓶就是少4片的那瓶，此时称量1次找到次品；
若天平不平衡，说明次品在较轻的那2瓶中。
3. 第二次称量：将较轻的那组2瓶分别放在天平两端，较轻的一瓶就是少4片的维生素。
由于题目要求“一定能找到”，需考虑最坏情况，因此至少需要称2次。
【答案】
两
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的逻辑推理，核心是理解“一定能找到”需考虑最坏情况，通过合理分组利用天平平衡特性定位次品，锻炼学生的逻辑分析与问题解决能力。
【难度系数】
0.6
要找到少4片的那瓶维生素（次品，重量更轻），需结合天平平衡原理，围绕“一定能找到”的要求，考虑最坏情况分析：先把5瓶分成2瓶、2瓶、1瓶三组。第一次称两组2瓶，若天平平衡，剩下的1瓶就是次品（仅需1次）；若不平衡，次品在较轻的2瓶中，此时需要第二次称这两瓶，较轻的即为次品。因为要保证一定找到，需按最坏情况计算，所以至少需要称2次。
【解析】
1. 分组：将5瓶维生素分成3组，分别为2瓶、2瓶、1瓶。
2. 第一次称量：把两组2瓶的分别放在天平两端。
若天平平衡，则剩下的1瓶就是少4片的那瓶，此时称量1次找到次品；
若天平不平衡，说明次品在较轻的那2瓶中。
3. 第二次称量：将较轻的那组2瓶分别放在天平两端，较轻的一瓶就是少4片的维生素。
由于题目要求“一定能找到”，需考虑最坏情况，因此至少需要称2次。
【答案】
两
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的逻辑推理，核心是理解“一定能找到”需考虑最坏情况，通过合理分组利用天平平衡特性定位次品，锻炼学生的逻辑分析与问题解决能力。
【难度系数】
0.6
2. 有26个零件，其中有一个零件是次品(次品轻一些)。用天平称，至少称( )次能保证找出次品零件。
答案
2. 3
解析
【分析】
要找出较轻的次品，需利用天平“平衡则次品在未称组，不平衡则次品在轻的一组”的原理，每次尽量将零件平均分成三组，这样能最快缩小次品所在范围。具体思考步骤：首先把26个零件分成9、9、8三组，通过第一次称量确定次品所在的组；再针对该组继续分组称量，逐步缩小范围，最终经过3次称量就能保证找到次品。
【解析】
步骤1：将26个零件分成3组，分别为9个、9个、8个。把两个9个的组放在天平两端称量：
若天平平衡，次品在剩余的8个零件中；
若天平不平衡，次品在较轻的那9个零件中。
步骤2：根据第一次称量结果，对含次品的组进行二次分组称量：
情况一：次品在8个中，将8个分成3个、3个、2个，把两个3个的组放在天平两端称量：
若平衡，次品在剩下的2个中，第三次称量这2个，轻的即为次品；
若不平衡，次品在较轻的3个中，第三次将这3个分成1个、1个、1个，称量其中两个，平衡则剩余的是次品，不平衡则轻的是次品。
情况二：次品在9个中，将9个平均分成3个、3个、3个，把其中两个3个的组放在天平两端称量：
若平衡，次品在剩下的3个中；若不平衡，次品在较轻的3个中。第三次将这3个分成1个、1个、1个，称量其中两个即可找出次品。
综上，至少称3次能保证找出次品零件。
【答案】
3
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是每次尽量将物品平均分成三组，借助天平平衡特性快速缩小次品范围，能有效锻炼逻辑推理与统筹规划能力。
【难度系数】
0.4
要找出较轻的次品，需利用天平“平衡则次品在未称组，不平衡则次品在轻的一组”的原理，每次尽量将零件平均分成三组，这样能最快缩小次品所在范围。具体思考步骤：首先把26个零件分成9、9、8三组，通过第一次称量确定次品所在的组；再针对该组继续分组称量，逐步缩小范围，最终经过3次称量就能保证找到次品。
【解析】
步骤1：将26个零件分成3组，分别为9个、9个、8个。把两个9个的组放在天平两端称量：
若天平平衡，次品在剩余的8个零件中；
若天平不平衡，次品在较轻的那9个零件中。
步骤2：根据第一次称量结果，对含次品的组进行二次分组称量：
情况一：次品在8个中，将8个分成3个、3个、2个，把两个3个的组放在天平两端称量：
若平衡，次品在剩下的2个中，第三次称量这2个，轻的即为次品；
若不平衡，次品在较轻的3个中，第三次将这3个分成1个、1个、1个，称量其中两个，平衡则剩余的是次品，不平衡则轻的是次品。
情况二：次品在9个中，将9个平均分成3个、3个、3个，把其中两个3个的组放在天平两端称量：
若平衡，次品在剩下的3个中；若不平衡，次品在较轻的3个中。第三次将这3个分成1个、1个、1个，称量其中两个即可找出次品。
综上，至少称3次能保证找出次品零件。
【答案】
3
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是每次尽量将物品平均分成三组，借助天平平衡特性快速缩小次品范围，能有效锻炼逻辑推理与统筹规划能力。
【难度系数】
0.4
3. 有7瓶水，其中6瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其他水略重一些，至少称( )次能保证找出这瓶糖水。
答案
3. 两
解析
【分析】
要保证找出略重的糖水，需利用天平平衡原理，通过合理分组逐步缩小范围。首先考虑将7瓶水分成数量尽量平均的三组（3瓶、3瓶、1瓶），这样能最快锁定糖水所在的组：第一次称两组3瓶，若平衡则剩下的1瓶是糖水；若不平衡，糖水在较重的3瓶中。接着对较重的3瓶再分组称重，即可确定糖水，以此分析最少称重次数。
【解析】
步骤1：把7瓶水分成3瓶、3瓶、1瓶三组，将两组3瓶的分别放在天平两端。
若天平平衡：剩下的1瓶就是糖水，此时仅需1次，但题目要求“保证找出”，需考虑最坏情况，即天平不平衡的情况。
若天平不平衡：糖水在较重的那3瓶中。
步骤2：把较重的3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶三组，取其中两瓶放在天平两端。
若天平平衡：剩下的1瓶是糖水；
若天平不平衡：较重的那瓶是糖水。
综上，无论哪种情况，至少称2次能保证找出这瓶糖水。
【答案】
两
【知识点】
找次品问题、天平称重原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是通过平均分组缩小排查范围，需结合“保证找出”的要求考虑最坏情况，锻炼逻辑推理与优化思维能力。
【难度系数】
0.6
要保证找出略重的糖水，需利用天平平衡原理，通过合理分组逐步缩小范围。首先考虑将7瓶水分成数量尽量平均的三组（3瓶、3瓶、1瓶），这样能最快锁定糖水所在的组：第一次称两组3瓶，若平衡则剩下的1瓶是糖水；若不平衡，糖水在较重的3瓶中。接着对较重的3瓶再分组称重，即可确定糖水，以此分析最少称重次数。
【解析】
步骤1：把7瓶水分成3瓶、3瓶、1瓶三组，将两组3瓶的分别放在天平两端。
若天平平衡：剩下的1瓶就是糖水，此时仅需1次，但题目要求“保证找出”，需考虑最坏情况，即天平不平衡的情况。
若天平不平衡：糖水在较重的那3瓶中。
步骤2：把较重的3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶三组，取其中两瓶放在天平两端。
若天平平衡：剩下的1瓶是糖水；
若天平不平衡：较重的那瓶是糖水。
综上，无论哪种情况，至少称2次能保证找出这瓶糖水。
【答案】
两
【知识点】
找次品问题、天平称重原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是通过平均分组缩小排查范围，需结合“保证找出”的要求考虑最坏情况，锻炼逻辑推理与优化思维能力。
【难度系数】
0.6
4. 汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外一袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋薯片？把下表补充完整。
我发现：用天平找次品，如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成( )份，能平均分的要( )，不能平均分的，让每组数量尽可能接近，且3份中有两份的数量相等，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
我发现：用天平找次品，如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成( )份，能平均分的要( )，不能平均分的，让每组数量尽可能接近，且3份中有两份的数量相等，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
答案
4. 3 3 3 2 3 平均分
解析
【分析】
要找出质量不足的次品，我们利用天平“平衡则两边物品质量相同，不平衡则轻的一侧有次品”的原理，通过合理分组称重，逐步缩小次品范围。分析每种分组的最坏情况（保证能找到次品的最少次数）：
1. 分组$(2,2,2,2,1)$：最坏情况是前两次称的两组2袋都平衡，第三次称剩余的两组2袋时不平衡，再称1次找到次品，共3次。
2. 分组$(2,2,2,3)$：最坏情况是前两次称的2袋组都平衡，剩余3袋需再称1次找到次品，共3次。
3. 分组$(4,4,1)$：最坏情况是第一次称4袋组不平衡，需将轻的4袋再分2组称重，第三次才能找到次品，共3次。
4. 分组$(3,3,3)$：第一次称3袋组，若不平衡，第二次从轻的3袋中称1和1即可找到次品，共2次；若平衡，剩余3袋同理，所以最坏情况是2次。
最后总结规律：找次品时，待测物品3个及以上，要先分成3份，能平均分的平均分，不能平均分的让各组数量尽可能接近，且有两份数量相等，这样能保证次数最少。
【解析】
1. 对于分组$(2,2,2,2,1)$：
第1次：称其中两组2袋，若平衡，次品在剩余5袋中；若不平衡，次品在轻的2袋中，再称1次可找到（共2次）。
最坏情况：前两次称的2袋组都平衡，第三次称剩余的2袋组不平衡，再称1次找到次品，所以至少称3次。
2. 对于分组$(2,2,2,3)$：
第1次：称两组2袋，若平衡，次品在剩余5袋中；若不平衡，次品在轻的2袋中，再称1次可找到（共2次）。
最坏情况：前两次称的2袋组都平衡，剩余3袋需再称1次（称1和1，平衡则剩余1袋是次品，不平衡则轻的是），所以至少称3次。
3. 对于分组$(4,4,1)$：
第1次：称两组4袋，若平衡，剩余1袋是次品（共1次）；若不平衡，次品在轻的4袋中。
第2次：将轻的4袋分成2和2，称出轻的2袋。
第3次：称轻的2袋，找到次品，所以最坏情况至少称3次。
4. 对于分组$(3,3,3)$：
第1次：称两组3袋，若平衡，次品在剩余3袋中；若不平衡，次品在轻的3袋中。
第2次：从有次品的3袋中称1和1，平衡则剩余1袋是次品，不平衡则轻的是次品，所以至少称2次。
5. 总结规律：用天平找次品，待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的，让每组数量尽可能接近，且3份中有两份的数量相等，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【答案】
3 3 3 2 3 平均分
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，关键是理解分组的核心原则：分成3份，尽可能平均分，这样能每次排除最多的正品，减少称重次数。通过不同分组的对比，能更清晰地理解最优策略的优势，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要找出质量不足的次品，我们利用天平“平衡则两边物品质量相同，不平衡则轻的一侧有次品”的原理，通过合理分组称重，逐步缩小次品范围。分析每种分组的最坏情况（保证能找到次品的最少次数）：
1. 分组$(2,2,2,2,1)$：最坏情况是前两次称的两组2袋都平衡，第三次称剩余的两组2袋时不平衡，再称1次找到次品，共3次。
2. 分组$(2,2,2,3)$：最坏情况是前两次称的2袋组都平衡，剩余3袋需再称1次找到次品，共3次。
3. 分组$(4,4,1)$：最坏情况是第一次称4袋组不平衡，需将轻的4袋再分2组称重，第三次才能找到次品，共3次。
4. 分组$(3,3,3)$：第一次称3袋组，若不平衡，第二次从轻的3袋中称1和1即可找到次品，共2次；若平衡，剩余3袋同理，所以最坏情况是2次。
最后总结规律：找次品时，待测物品3个及以上，要先分成3份，能平均分的平均分，不能平均分的让各组数量尽可能接近，且有两份数量相等，这样能保证次数最少。
【解析】
1. 对于分组$(2,2,2,2,1)$：
第1次：称其中两组2袋，若平衡，次品在剩余5袋中；若不平衡，次品在轻的2袋中，再称1次可找到（共2次）。
最坏情况：前两次称的2袋组都平衡，第三次称剩余的2袋组不平衡，再称1次找到次品，所以至少称3次。
2. 对于分组$(2,2,2,3)$：
第1次：称两组2袋，若平衡，次品在剩余5袋中；若不平衡，次品在轻的2袋中，再称1次可找到（共2次）。
最坏情况：前两次称的2袋组都平衡，剩余3袋需再称1次（称1和1，平衡则剩余1袋是次品，不平衡则轻的是），所以至少称3次。
3. 对于分组$(4,4,1)$：
第1次：称两组4袋，若平衡，剩余1袋是次品（共1次）；若不平衡，次品在轻的4袋中。
第2次：将轻的4袋分成2和2，称出轻的2袋。
第3次：称轻的2袋，找到次品，所以最坏情况至少称3次。
4. 对于分组$(3,3,3)$：
第1次：称两组3袋，若平衡，次品在剩余3袋中；若不平衡，次品在轻的3袋中。
第2次：从有次品的3袋中称1和1，平衡则剩余1袋是次品，不平衡则轻的是次品，所以至少称2次。
5. 总结规律：用天平找次品，待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的，让每组数量尽可能接近，且3份中有两份的数量相等，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【答案】
3 3 3 2 3 平均分
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品的最优策略，关键是理解分组的核心原则：分成3份，尽可能平均分，这样能每次排除最多的正品，减少称重次数。通过不同分组的对比，能更清晰地理解最优策略的优势，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
二、我会选。
1. 有5颗同样大小的珍珠，其中有一颗是次品，次品略重一些，根据图示可以推断出次品一定在( )中。
A.$ \textcircled{1} \textcircled{2} $
B.$ \textcircled{3} \textcircled{4} $
C.$ \textcircled{5} $
D.$ \textcircled{1} \textcircled{3} $
1. 有5颗同样大小的珍珠，其中有一颗是次品，次品略重一些，根据图示可以推断出次品一定在( )中。
A.$ \textcircled{1} \textcircled{2} $
B.$ \textcircled{3} \textcircled{4} $
C.$ \textcircled{5} $
D.$ \textcircled{1} \textcircled{3} $
答案
1. A
解析
【分析】
首先观察天平的状态，天平左边放置①②两颗珍珠，右边放置③④两颗珍珠，天平左低右高，说明左边的总重量比右边重。已知次品略重一些，所以次品一定在重量更大的那一组里，也就是左边的①②中。
【解析】
观察图示可知，天平左边托盘的①②珍珠比右边托盘的③④珍珠重，因为次品略重，所以次品必然在重量更大的①②中。
【答案】
A
【知识点】
天平找次品
【点评】
本题考查利用天平平衡原理寻找次品的能力，解题关键是理解天平倾斜方向与物体重量的关系，通过比较两组珍珠的重量判断次品所在组。
【难度系数】
0.8
首先观察天平的状态，天平左边放置①②两颗珍珠，右边放置③④两颗珍珠，天平左低右高，说明左边的总重量比右边重。已知次品略重一些，所以次品一定在重量更大的那一组里，也就是左边的①②中。
【解析】
观察图示可知，天平左边托盘的①②珍珠比右边托盘的③④珍珠重，因为次品略重，所以次品必然在重量更大的①②中。
【答案】
A
【知识点】
天平找次品
【点评】
本题考查利用天平平衡原理寻找次品的能力，解题关键是理解天平倾斜方向与物体重量的关系，通过比较两组珍珠的重量判断次品所在组。
【难度系数】
0.8
2. 有三袋白糖，其中两袋质量都是 500 g，另一袋不是 500 g，但不知道是比 500 g重还是比 500 g轻。用天平至少称( )次能保证称出这袋白糖比 500 g重还是比 500 g轻。
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，需考虑所有可能的情况，确保能确定次品白糖与500g的轻重关系，不能仅依赖偶然的平衡情况。首先选取两袋白糖放在天平两端，分两种情况讨论：
1. 若天平平衡：说明这两袋都是500g，剩下的一袋是次品，此时需再称一次，将次品与任意一袋500g白糖对比，即可判断次品的轻重。
2. 若天平不平衡：说明这两袋中有一袋是次品，剩下的一袋是500g，此时需再称一次，将其中一袋与剩下的500g白糖对比，结合第一次天平的倾斜方向，就能确定次品的轻重。
综上，无论哪种情况，都至少需要称2次才能保证判断出次品的轻重。
【解析】
步骤1：将三袋白糖标记为A、B、C，先把A和B放在天平两端。
情况一：天平平衡
→ A、B都是500g，C是次品。
步骤2：把C和A放在天平两端，若C端下沉，则C比500g重；若C端上升，则C比500g轻。
情况二：天平不平衡（假设A端下沉，B端上升）
→ A、B中有一袋是次品，C是500g。
步骤2：把A和C放在天平两端：
若天平平衡，说明B是次品，结合第一次B端上升，可知B比500g轻；
若天平不平衡，A端下沉，说明A是次品，比500g重。
通过以上步骤，无论哪种情况，只需2次就能保证判断出次品白糖与500g的轻重关系。
【答案】
B
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品问题的逻辑推理，解题关键是要覆盖所有可能的情况，不能仅考虑偶然的最优情况，需保证在最坏情况下也能得出结论，培养严谨的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需考虑所有可能的情况，确保能确定次品白糖与500g的轻重关系，不能仅依赖偶然的平衡情况。首先选取两袋白糖放在天平两端，分两种情况讨论：
1. 若天平平衡：说明这两袋都是500g，剩下的一袋是次品，此时需再称一次，将次品与任意一袋500g白糖对比，即可判断次品的轻重。
2. 若天平不平衡：说明这两袋中有一袋是次品，剩下的一袋是500g，此时需再称一次，将其中一袋与剩下的500g白糖对比，结合第一次天平的倾斜方向，就能确定次品的轻重。
综上，无论哪种情况，都至少需要称2次才能保证判断出次品的轻重。
【解析】
步骤1：将三袋白糖标记为A、B、C，先把A和B放在天平两端。
情况一：天平平衡
→ A、B都是500g，C是次品。
步骤2：把C和A放在天平两端，若C端下沉，则C比500g重；若C端上升，则C比500g轻。
情况二：天平不平衡（假设A端下沉，B端上升）
→ A、B中有一袋是次品，C是500g。
步骤2：把A和C放在天平两端：
若天平平衡，说明B是次品，结合第一次B端上升，可知B比500g轻；
若天平不平衡，A端下沉，说明A是次品，比500g重。
通过以上步骤，无论哪种情况，只需2次就能保证判断出次品白糖与500g的轻重关系。
【答案】
B
【知识点】
找次品问题、天平平衡原理
【点评】
本题考查找次品问题的逻辑推理，解题关键是要覆盖所有可能的情况，不能仅考虑偶然的最优情况，需保证在最坏情况下也能得出结论，培养严谨的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
