30. 如图所示，在$□ ABCD$中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H. 求证：四边形EGFH是平行四边形.

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AD，FC = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AE//FC，AE = FC，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AF//EC，即GF//EH。
同理可得：ED = $\frac{1}{2}$AD，BF = $\frac{1}{2}$BC，
∴ ED//BF，ED = BF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ BE//FD，即EG//FH。
∵ 在四边形EGFH中，GF//EH，EG//FH，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。

31. 如图所示,在$□ ABCD$中,E,F分别为AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于点M,N.求证:$BN = MN = DM$.

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD = BC$。
∵ E，F分别为AD，BC的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AD$，$FC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AE// FC$，$AE = FC$，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ $AF// CE$。
在$△ BCM$中，
∵ F是BC的中点，$FN// CM$，
∴ N是BM的中点，
∴ $BN = MN$。
在$△ DAN$中，
∵ E是AD的中点，$EM// AN$，
∴ M是DN的中点，
∴ $DM = MN$。
∴ $BN = MN = DM$。

32. 如图所示，E为$□ ABCD$中DC延长线上的一点，且$CE = DC$，连接AE分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：$AB = 2OF$.

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD，OA = OC，
即O为AC的中点。
又∵ CE = DC，
∴ AB = CE，且AB // CE，
∴ ∠ABF = ∠ECF，∠BAF = ∠CEF。
在△ABF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ECF \\AB = CE \\∠BAF = ∠CEF\end{array} $
∴ △ABF ≌ △ECF（ASA），
∴ BF = CF，即F为BC的中点。
又∵ O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，
∴ OF = $\frac{1}{2}$AB，
即AB = 2OF。