登录
9. 给出下列说法:① $-6$ 是 $36$ 的一个平方根;② $\sqrt[3]{-2^3}=-2$;③ $\sqrt{0.4}=0.2$;④负数没有立方根.其中,正确的有().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
逐个判断各说法：
1. 由$(\pm6)^2=36$，可知36的平方根是$\pm6$，因此$-6$是36的一个平方根，①正确；
2. 计算得$-2^3=-8$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，因此$\sqrt[3]{-2^3}=-2$，②正确；
3. 计算得$0.2^2=0.04\ne0.4$，因此$\sqrt{0.4}\ne0.2$，③错误；
4. 负数有立方根，例如$\sqrt[3]{-8}=-2$，④错误。
综上正确的说法共2个。
1. 由$(\pm6)^2=36$，可知36的平方根是$\pm6$，因此$-6$是36的一个平方根，①正确；
2. 计算得$-2^3=-8$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，因此$\sqrt[3]{-2^3}=-2$，②正确；
3. 计算得$0.2^2=0.04\ne0.4$，因此$\sqrt{0.4}\ne0.2$，③错误；
4. 负数有立方根，例如$\sqrt[3]{-8}=-2$，④错误。
综上正确的说法共2个。
10. 若$a$为实数,则下列式子中一定是负数的是().
A.$-a^2$
B.$-(a+1)^2$
C.$-\sqrt{a^2}$
D.$-(|a|+1)$
A.$-a^2$
B.$-(a+1)^2$
C.$-\sqrt{a^2}$
D.$-(|a|+1)$
答案
D
解析
根据平方、算术平方根、绝对值的非负性逐一分析选项：
1. 选项A：$a^2\ge0$，因此$-a^2\le0$，当$a=0$时，$-a^2=0$，不一定是负数；
2. 选项B：$(a+1)^2\ge0$，因此$-(a+1)^2\le0$，当$a=-1$时，$-(a+1)^2=0$，不一定是负数；
3. 选项C：$\sqrt{a^2}=|a|\ge0$，因此$-\sqrt{a^2}\le0$，当$a=0$时，$-\sqrt{a^2}=0$，不一定是负数；
4. 选项D：$|a|\ge0$，因此$|a|+1\ge1$，可得$-(|a|+1)\le-1＜0$，一定是负数。
1. 选项A：$a^2\ge0$，因此$-a^2\le0$，当$a=0$时，$-a^2=0$，不一定是负数；
2. 选项B：$(a+1)^2\ge0$，因此$-(a+1)^2\le0$，当$a=-1$时，$-(a+1)^2=0$，不一定是负数；
3. 选项C：$\sqrt{a^2}=|a|\ge0$，因此$-\sqrt{a^2}\le0$，当$a=0$时，$-\sqrt{a^2}=0$，不一定是负数；
4. 选项D：$|a|\ge0$，因此$|a|+1\ge1$，可得$-(|a|+1)\le-1＜0$，一定是负数。
11. 观察思考下列计算过程:因为$11^2 = 121$,所以$\sqrt{121} = 11$;因为$111^2 = 12\ 321$,所以$\sqrt{12\ 321} = 111$;……,由此猜想$\sqrt{12\ 345\ 678\ 987\ 654\ 321} = (\quad)$.
A.$111\ 111$
B.$1\ 111\ 111$
C.$11\ 111\ 111$
D.$111\ 111\ 111$
A.$111\ 111$
B.$1\ 111\ 111$
C.$11\ 111\ 111$
D.$111\ 111\ 111$
答案
D
解析
观察已知算式可得规律：被开方数是从1顺次递增写到n，再顺次递减写回1的对称数时，它的算术平方根是由n个1组成的数。
已知$\sqrt{121}=11$，被开方数最大数字为2，结果是2个1；$\sqrt{12321}=111$，被开方数最大数字为3，结果是3个1。
题目中被开方数$12\ 345\ 678\ 987\ 654\ 321$的最大数字是9，因此它的算术平方根是由9个1组成的数，即$111\ 111\ 111$。
已知$\sqrt{121}=11$，被开方数最大数字为2，结果是2个1；$\sqrt{12321}=111$，被开方数最大数字为3，结果是3个1。
题目中被开方数$12\ 345\ 678\ 987\ 654\ 321$的最大数字是9，因此它的算术平方根是由9个1组成的数，即$111\ 111\ 111$。
12. 观察下列各式：①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，……，根据以上规律，写出第10个等式：。
答案
解：
观察各式规律：
第$n$个等式中，根号内的整数为$n+1$，分数的分子为$n+1$，分母为$(n+1)^2-1$，等式形式为：
$\sqrt{(n+1)+\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}=(n+1)\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$
当$n=10$时，$n+1=11$，分母为$11^2-1=120$，
因此第10个等式为：$\sqrt{11+\frac{11}{120}}=11\sqrt{\frac{11}{120}}$
观察各式规律：
第$n$个等式中，根号内的整数为$n+1$，分数的分子为$n+1$，分母为$(n+1)^2-1$，等式形式为：
$\sqrt{(n+1)+\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}=(n+1)\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$
当$n=10$时，$n+1=11$，分母为$11^2-1=120$，
因此第10个等式为：$\sqrt{11+\frac{11}{120}}=11\sqrt{\frac{11}{120}}$
13. 对于如下运算程序：
(1)若$m=8$,则$n=$.
(2)若输入$m$的值后,无法得到$n$的值,则输入$m$的值是.
(1)若$m=8$,则$n=$.
(2)若输入$m$的值后,无法得到$n$的值,则输入$m$的值是.
答案
(1) $\boldsymbol{\sqrt[3]{2}}$；(2) $\boldsymbol{0、1、-1}$
解析
解：
(1) 当$m=8$时，先求8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，返回将2作为新输入，计算2的立方根得$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{2}$是无理数，因此$n=\sqrt[3]{2}$。
(2) 若输入$m$后无法得到$n$，说明对$m$反复取立方根的结果始终为有理数，会无限循环运算。满足该条件的数是0、1、-1，因为$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，三者均为有理数，永远无法得到无理数，因此输入$m$的值是0、1、-1。
(1) 当$m=8$时，先求8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，返回将2作为新输入，计算2的立方根得$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{2}$是无理数，因此$n=\sqrt[3]{2}$。
(2) 若输入$m$后无法得到$n$，说明对$m$反复取立方根的结果始终为有理数，会无限循环运算。满足该条件的数是0、1、-1，因为$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，三者均为有理数，永远无法得到无理数，因此输入$m$的值是0、1、-1。
14. 当$x ≤ 0$时，化简$|1 - x| - \sqrt{x^2}$的结果是.
答案
解：
∵ x ≤ 0，
∴ 1 - x ＞ 0，
∴ |1 - x| = 1 - x，
由二次根式性质可知$\sqrt{x^2}=|x|$，
又∵ x ≤ 0，
∴ $\sqrt{x^2} = -x$，
∴ 原式$=(1 - x) - (-x)$
$=1 - x + x$
$=1$
最终结果为$\boldsymbol{1}$。
∵ x ≤ 0，
∴ 1 - x ＞ 0，
∴ |1 - x| = 1 - x，
由二次根式性质可知$\sqrt{x^2}=|x|$，
又∵ x ≤ 0，
∴ $\sqrt{x^2} = -x$，
∴ 原式$=(1 - x) - (-x)$
$=1 - x + x$
$=1$
最终结果为$\boldsymbol{1}$。
15. 计算:
(1)$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} -5\sqrt{2}$；
(2)$|\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{(-2)^2}$；
(3)$\sqrt{36} + \sqrt[3]{-8} + |\sqrt{3} - 2| - \sqrt{(-2)^2}$；
(4)$-1^{2024} + \sqrt{9} + (-6) ÷ \sqrt[3]{-27}$；
(1)$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} -5\sqrt{2}$；
(2)$|\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{(-2)^2}$；
(3)$\sqrt{36} + \sqrt[3]{-8} + |\sqrt{3} - 2| - \sqrt{(-2)^2}$；
(4)$-1^{2024} + \sqrt{9} + (-6) ÷ \sqrt[3]{-27}$；
答案
解：
(1) 原式 = (1 + 3 - 5)√2
= -√2
(2) 原式 = (√3 - √2) + (2 - √3) + 2
= √3 - √2 + 2 - √3 + 2
= 4 - √2
(3) 原式 = 6 + (-2) + (2 - √3) - 2
= 6 - 2 + 2 - √3 - 2
= 4 - √3
(4) 原式 = -1 + 3 + (-6) ÷ (-3)
= -1 + 3 + 2
= 4
(1) 原式 = (1 + 3 - 5)√2
= -√2
(2) 原式 = (√3 - √2) + (2 - √3) + 2
= √3 - √2 + 2 - √3 + 2
= 4 - √2
(3) 原式 = 6 + (-2) + (2 - √3) - 2
= 6 - 2 + 2 - √3 - 2
= 4 - √3
(4) 原式 = -1 + 3 + (-6) ÷ (-3)
= -1 + 3 + 2
= 4
