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4. （2025 镇江丹徒期末）已知整式$A = 2t + 3$，$B = 2t - 3$，$t$为任意有理数。
（1）$A·B + 13$的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算证明：当$t$是整数时，$A^2 - B^2$的值一定能被$24$整除。
（1）$A·B + 13$的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算证明：当$t$是整数时，$A^2 - B^2$的值一定能被$24$整除。
答案
(1) 解：$A· B+13$的值不可能为负数. 理由如下：根据题意，得$A· B+13=(2t+3)(2t-3)+13=4t^{2}-9+13=4t^{2}+4$. 因为$4t^{2}≥0$，所以$4t^{2}+4＞0$，所以$A· B+13$的值不可能为负数.
(2) 证明：根据题意，得$A^{2}-B^{2}=(2t+3)^{2}-(2t-3)^{2}=24t$. 因为$t$是整数，所以$24t$一定能被24整除，所以当$t$是整数时，$A^{2}-B^{2}$的值一定能被24整除.
(2) 证明：根据题意，得$A^{2}-B^{2}=(2t+3)^{2}-(2t-3)^{2}=24t$. 因为$t$是整数，所以$24t$一定能被24整除，所以当$t$是整数时，$A^{2}-B^{2}$的值一定能被24整除.
5. 【发现】任意三个连续偶数的平方和是$4$的倍数。
【验证】（1）$2^2 + 4^2 + 6^2$的结果是$4$的多少倍？
（2）设三个连续偶数的中间一个数为$2n$，写出它们的平方和，并说明是$4$的倍数；
【延伸】（3）设三个连续奇数的中间一个数为$2n + 1$，写出它们的平方和，它是$12$的倍数吗？若是，请说明理由；若不是，写出被$12$除的余数。
【验证】（1）$2^2 + 4^2 + 6^2$的结果是$4$的多少倍？
（2）设三个连续偶数的中间一个数为$2n$，写出它们的平方和，并说明是$4$的倍数；
【延伸】（3）设三个连续奇数的中间一个数为$2n + 1$，写出它们的平方和，它是$12$的倍数吗？若是，请说明理由；若不是，写出被$12$除的余数。
答案
解：(1) 因为$2^{2}+4^{2}+6^{2}=4+16+36=56=4×14$，所以$2^{2}+4^{2}+6^{2}$的结果是4的14倍.
(2) 根据题意，设三个连续的偶数分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$，其中$n$是整数，则$(2n-2)^{2}+(2n)^{2}+(2n+2)^{2}=4n^{2}-8n+4+4n^{2}+4n^{2}+8n+4=12n^{2}+8=4(3n^{2}+2)$，所以三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(3) 根据题意，设三个连续的奇数分别为$2n-1$，$2n+1$，$2n+3$，其中$n$是整数，则$(2n-1)^{2}+(2n+1)^{2}+(2n+3)^{2}=4n^{2}-4n+1+4n^{2}+4n+1+4n^{2}+12n+9=12n^{2}+12n+11=12(n^{2}+n)+11$，所以$(2n-1)^{2}+(2n+1)^{2}+(2n+3)^{2}$不是12的倍数，被12除的余数是11.
(2) 根据题意，设三个连续的偶数分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$，其中$n$是整数，则$(2n-2)^{2}+(2n)^{2}+(2n+2)^{2}=4n^{2}-8n+4+4n^{2}+4n^{2}+8n+4=12n^{2}+8=4(3n^{2}+2)$，所以三个连续偶数的平方和是4的倍数.
(3) 根据题意，设三个连续的奇数分别为$2n-1$，$2n+1$，$2n+3$，其中$n$是整数，则$(2n-1)^{2}+(2n+1)^{2}+(2n+3)^{2}=4n^{2}-4n+1+4n^{2}+4n+1+4n^{2}+12n+9=12n^{2}+12n+11=12(n^{2}+n)+11$，所以$(2n-1)^{2}+(2n+1)^{2}+(2n+3)^{2}$不是12的倍数，被12除的余数是11.
6. (2025 扬州期末)先阅读下面的例题，再按要求解答问题。
求代数式$x^2 + 6x + 10$的最小值。
解：根据题意，得$x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1$。
因为$(x + 3)^2 ≥ 0$，所以$(x + 3)^2 + 1 ≥ 1$，所以$x^2 + 6x + 10$的最小值是$1$。
请利用上述方法，解答下列问题。
(1)代数式$y^2 + 10y + 27$的最小值为
(2)若代数式$x^2 + 2kx + 7$的最小值是$6$，则$k =$
(3)判断代数式$8 - m^2 + 4m$有最大值还是最小值，并求出该最值；
(4)已知$a$，$b$为任意值，试比较$4a^2 + b^2 + 11$与$12a - 2b$的大小关系，并说明理由。
求代数式$x^2 + 6x + 10$的最小值。
解：根据题意，得$x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1$。
因为$(x + 3)^2 ≥ 0$，所以$(x + 3)^2 + 1 ≥ 1$，所以$x^2 + 6x + 10$的最小值是$1$。
请利用上述方法，解答下列问题。
(1)代数式$y^2 + 10y + 27$的最小值为
2
；(2)若代数式$x^2 + 2kx + 7$的最小值是$6$，则$k =$
$\pm1$
；(3)判断代数式$8 - m^2 + 4m$有最大值还是最小值，并求出该最值；
(4)已知$a$，$b$为任意值，试比较$4a^2 + b^2 + 11$与$12a - 2b$的大小关系，并说明理由。
答案
解：(1) 2 (2)$\pm1$
(3) 根据题意，得$8-m^{2}+4m=-(m^{2}-4m+4)+8+4=-(m-2)^{2}+12≤12$，所以$8-m^{2}+4m$有最大值12.
(4)$4a^{2}+b^{2}+11＞12a-2b$. 理由如下：因为$4a^{2}+b^{2}+11-(12a-2b)=4a^{2}-12a+b^{2}+2b+11=(2a-3)^{2}+(b+1)^{2}+1≥1$，所以$4a^{2}+b^{2}+11＞12a-2b$.
(3) 根据题意，得$8-m^{2}+4m=-(m^{2}-4m+4)+8+4=-(m-2)^{2}+12≤12$，所以$8-m^{2}+4m$有最大值12.
(4)$4a^{2}+b^{2}+11＞12a-2b$. 理由如下：因为$4a^{2}+b^{2}+11-(12a-2b)=4a^{2}-12a+b^{2}+2b+11=(2a-3)^{2}+(b+1)^{2}+1≥1$，所以$4a^{2}+b^{2}+11＞12a-2b$.
