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7 如果一个数的平方等于它的立方，那么这个数为 （
A.0,1
B.0,-1
C.±1
D.0,±1
A
）A.0,1
B.0,-1
C.±1
D.0,±1
答案
7.A
解析
【分析】
我们需要找到满足“平方等于立方”的数，有两种解题思路：第一种是代数法，设这个数为x，根据题意列等式后分x=0和x≠0两种情况讨论求解；第二种是代入验证法，将选项中出现的0、1、-1分别计算其平方和立方，判断是否相等后选出正确选项，注意要重点验证容易出错的特殊值-1，避免误选。
【解析】
方法一：设这个数为$ x $，根据题意可列等式：$ x^2 = x^3 $
当$ x=0 $时，左边$ 0^2=0 $，右边$ 0^3=0 $，等式成立；
当$ x≠0 $时，等式两边同时除以不为0的$ x^2 $，可得$ x=1 $。
方法二：逐一验证特殊值：
0的平方为$ 0^2=0 $，立方为$ 0^3=0 $，满足$ 0^2=0^3 $；
1的平方为$ 1^2=1 $，立方为$ 1^3=1 $，满足$ 1^2=1^3 $；
-1的平方为$ (-1)^2=1 $，立方为$ (-1)^3=-1 $，二者不相等，不满足条件。
综上，符合条件的数为0和1，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；特殊值验证法
【点评】
本题是乘方运算的基础题，解题时可灵活选择分情况解方程或代入特殊值验证的方法，注意对-1这类易混淆的特殊数要仔细计算，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.9
我们需要找到满足“平方等于立方”的数，有两种解题思路：第一种是代数法，设这个数为x，根据题意列等式后分x=0和x≠0两种情况讨论求解；第二种是代入验证法，将选项中出现的0、1、-1分别计算其平方和立方，判断是否相等后选出正确选项，注意要重点验证容易出错的特殊值-1，避免误选。
【解析】
方法一：设这个数为$ x $，根据题意可列等式：$ x^2 = x^3 $
当$ x=0 $时，左边$ 0^2=0 $，右边$ 0^3=0 $，等式成立；
当$ x≠0 $时，等式两边同时除以不为0的$ x^2 $，可得$ x=1 $。
方法二：逐一验证特殊值：
0的平方为$ 0^2=0 $，立方为$ 0^3=0 $，满足$ 0^2=0^3 $；
1的平方为$ 1^2=1 $，立方为$ 1^3=1 $，满足$ 1^2=1^3 $；
-1的平方为$ (-1)^2=1 $，立方为$ (-1)^3=-1 $，二者不相等，不满足条件。
综上，符合条件的数为0和1，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；特殊值验证法
【点评】
本题是乘方运算的基础题，解题时可灵活选择分情况解方程或代入特殊值验证的方法，注意对-1这类易混淆的特殊数要仔细计算，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.9
8 新情境 数学文化 数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题：七个老妇人同往罗马，每人有七匹骡子，每匹骡子驮七只口袋，每只口袋装有七个面包，每个面包附有七把餐刀，每把餐刀配有七只刀鞘，则刀鞘共有（
A.42 只
B.49 只
C.$7^{6}$ 只
D.$7^{7}$ 只
C
）A.42 只
B.49 只
C.$7^{6}$ 只
D.$7^{7}$ 只
答案
8.C
解析
【分析】
本题需要理清不同物品之间的数量倍数关系，从老妇人到刀鞘，每一级物品的数量都是上一级的7倍，我们只需要统计从老妇人到刀鞘一共需要乘几次7，再结合乘方的定义，就能得到刀鞘的总数量。解题时要注意数清层级，避免多算或者少算7的个数。
【解析】
我们逐层计算物品数量：
1. 老妇人数量为：$7 = 7^1$；
2. 每位老妇人有7匹骡子，骡子总数量：$7 × 7 = 7^2$；
3. 每匹骡子驮7只口袋，口袋总数量：$7^2 × 7 = 7^3$；
4. 每只口袋装7个面包，面包总数量：$7^3 × 7 = 7^4$；
5. 每个面包附7把餐刀，餐刀总数量：$7^4 × 7 = 7^5$；
6. 每把餐刀配7只刀鞘，刀鞘总数量：$7^5 × 7 = 7^6$。
因此刀鞘共有$7^6$只，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义、有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查乘方的实际应用，趣味性较强，解题核心是明确相邻两类物品的数量倍数关系，准确统计7的相乘次数，易错点是层级数错导致指数偏大或偏小。
【难度系数】
0.7
本题需要理清不同物品之间的数量倍数关系，从老妇人到刀鞘，每一级物品的数量都是上一级的7倍，我们只需要统计从老妇人到刀鞘一共需要乘几次7，再结合乘方的定义，就能得到刀鞘的总数量。解题时要注意数清层级，避免多算或者少算7的个数。
【解析】
我们逐层计算物品数量：
1. 老妇人数量为：$7 = 7^1$；
2. 每位老妇人有7匹骡子，骡子总数量：$7 × 7 = 7^2$；
3. 每匹骡子驮7只口袋，口袋总数量：$7^2 × 7 = 7^3$；
4. 每只口袋装7个面包，面包总数量：$7^3 × 7 = 7^4$；
5. 每个面包附7把餐刀，餐刀总数量：$7^4 × 7 = 7^5$；
6. 每把餐刀配7只刀鞘，刀鞘总数量：$7^5 × 7 = 7^6$。
因此刀鞘共有$7^6$只，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义、有理数乘法的实际应用
【点评】
本题结合经典数学文化问题考查乘方的实际应用，趣味性较强，解题核心是明确相邻两类物品的数量倍数关系，准确统计7的相乘次数，易错点是层级数错导致指数偏大或偏小。
【难度系数】
0.7
9（1）若一个数的平方是$\frac{1}{64}$，则这个数是________；若一个数的立方是$\frac{1}{64}$，则这个数是________。
（2）观察下列运算：$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,8^6=262\ 144,···$，则$8^{2023}$的个位上的数字是________。
（2）观察下列运算：$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,8^6=262\ 144,···$，则$8^{2023}$的个位上的数字是________。
答案
9.(1) $\pm\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{1}{4}$
(2) 4 【解析】因为$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,8^6=262\ 144,···$,所以个位上的数字以8,4,2,6四个为一组依次循环.因为$2\ 026÷4=506······2$,所以$8^{2\ 026}$的个位上的数字与$8^2$的个位上的数字相同,即$8^{2\ 026}$的个位上的数字是4.
(2) 4 【解析】因为$8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4\ 096,8^5=32\ 768,8^6=262\ 144,···$,所以个位上的数字以8,4,2,6四个为一组依次循环.因为$2\ 026÷4=506······2$,所以$8^{2\ 026}$的个位上的数字与$8^2$的个位上的数字相同,即$8^{2\ 026}$的个位上的数字是4.
解析
【分析】
（1）第一小问求平方为$\frac{1}{64}$的数，结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根；求立方为$\frac{1}{64}$的数，结合立方根的性质：正数的立方根唯一且为正数，分别计算即可。
（2）第二小问是乘方个位数字规律题，先观察给出的$8^n$的个位数字，找到循环周期，再用所求指数除以周期，根据余数对应周期内的数字即可得到结果。
【解析】
（1）① 因为$(\pm \frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}$，所以平方是$\frac{1}{64}$的数是$\pm \frac{1}{8}$；
② 因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，所以立方是$\frac{1}{64}$的数是$\frac{1}{4}$。
（2）观察已知运算：$8^1$个位是8，$8^2$个位是4，$8^3$个位是2，$8^4$个位是6，$8^5$个位回到8，可见个位数字按8、4、2、6的顺序每4个为一组循环。
计算得$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$8^{2026}$的个位数字和循环组第2个数字相同，即与$8^2$的个位数字一致，为4。
【答案】
(1) $\pm\dfrac{1}{8}$；$\dfrac{1}{4}$
(2) $4$
【知识点】
平方根与立方根；乘方规律探究；周期问题
【点评】
本题考查基础概念和规律探究能力，第一小问需注意区分平方根和立方根的性质，避免漏写平方根的负根；第二小问核心是找准循环周期，通过余数快速定位对应数字。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问求平方为$\frac{1}{64}$的数，结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根；求立方为$\frac{1}{64}$的数，结合立方根的性质：正数的立方根唯一且为正数，分别计算即可。
（2）第二小问是乘方个位数字规律题，先观察给出的$8^n$的个位数字，找到循环周期，再用所求指数除以周期，根据余数对应周期内的数字即可得到结果。
【解析】
（1）① 因为$(\pm \frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}$，所以平方是$\frac{1}{64}$的数是$\pm \frac{1}{8}$；
② 因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，所以立方是$\frac{1}{64}$的数是$\frac{1}{4}$。
（2）观察已知运算：$8^1$个位是8，$8^2$个位是4，$8^3$个位是2，$8^4$个位是6，$8^5$个位回到8，可见个位数字按8、4、2、6的顺序每4个为一组循环。
计算得$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$8^{2026}$的个位数字和循环组第2个数字相同，即与$8^2$的个位数字一致，为4。
【答案】
(1) $\pm\dfrac{1}{8}$；$\dfrac{1}{4}$
(2) $4$
【知识点】
平方根与立方根；乘方规律探究；周期问题
【点评】
本题考查基础概念和规律探究能力，第一小问需注意区分平方根和立方根的性质，避免漏写平方根的负根；第二小问核心是找准循环周期，通过余数快速定位对应数字。
【难度系数】
0.7
10（1）计算$(-1)^{8}+(-1^{8})$的结果为________；
（2）若$n$是正整数，则$(-1)^{2n}+(-1)^{2n+1}$的值为________。
（2）若$n$是正整数，则$(-1)^{2n}+(-1)^{2n+1}$的值为________。
答案
10.(1) 0 (2) 0
解析
【分析】
（1）解这一问首先要明确乘方的运算规则，区分有括号和无括号的负数乘方的底数差异：$(-1)^8$的底数是-1，8是偶数，负数的偶次幂为正；$-1^8$的底数是1，是1的8次幂的相反数，算出两个值后相加即可得到结果。
（2）解这一问要先判断指数的奇偶性：正整数n对应的2n是偶数，2n+1是奇数，再根据-1的偶次幂为1、奇次幂为-1的规律，代入计算即可。
【解析】
（1）分别计算两个乘方的值：
$(-1)^8$表示8个-1相乘，结果为1；
$-1^8$表示先计算$1^8=1$，再取相反数，结果为-1；
因此$(-1)^8 + (-1^8)=1 + (-1)=0$。
（2）$\because n$是正整数，
$\therefore 2n$是偶数，$(-1)^{2n}=1$；
$2n+1$是奇数，$(-1)^{2n+1}=-1$；
因此$(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}=1 + (-1)=0$。
【答案】
（1）0；（2）0
【知识点】
有理数乘方运算，-1的乘方规律，奇偶性判断
【点评】
本题是有理数乘方的基础题型，重点考查带括号与不带括号的负数乘方的运算区别，以及-1的奇偶次幂的运算性质，做题时需先明确底数再判断幂的符号，避免混淆运算顺序出错。
【难度系数】
0.8
（1）解这一问首先要明确乘方的运算规则，区分有括号和无括号的负数乘方的底数差异：$(-1)^8$的底数是-1，8是偶数，负数的偶次幂为正；$-1^8$的底数是1，是1的8次幂的相反数，算出两个值后相加即可得到结果。
（2）解这一问要先判断指数的奇偶性：正整数n对应的2n是偶数，2n+1是奇数，再根据-1的偶次幂为1、奇次幂为-1的规律，代入计算即可。
【解析】
（1）分别计算两个乘方的值：
$(-1)^8$表示8个-1相乘，结果为1；
$-1^8$表示先计算$1^8=1$，再取相反数，结果为-1；
因此$(-1)^8 + (-1^8)=1 + (-1)=0$。
（2）$\because n$是正整数，
$\therefore 2n$是偶数，$(-1)^{2n}=1$；
$2n+1$是奇数，$(-1)^{2n+1}=-1$；
因此$(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}=1 + (-1)=0$。
【答案】
（1）0；（2）0
【知识点】
有理数乘方运算，-1的乘方规律，奇偶性判断
【点评】
本题是有理数乘方的基础题型，重点考查带括号与不带括号的负数乘方的运算区别，以及-1的奇偶次幂的运算性质，做题时需先明确底数再判断幂的符号，避免混淆运算顺序出错。
【难度系数】
0.8
11 计算：
(1) $-1^2 + |-2026|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5 - 1^{10}$；
(3) $-\dfrac{1^4}{2} ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$；
(4) $2^3 × (-\dfrac{1}{2} + 1) ÷ (1 - 3)$。
(1) $-1^2 + |-2026|$；
(2) $(-\dfrac{1}{2})^5 - 1^{10}$；
(3) $-\dfrac{1^4}{2} ÷ (-\dfrac{3}{4})^3$；
(4) $2^3 × (-\dfrac{1}{2} + 1) ÷ (1 - 3)$。
答案
11.(1) 2 025 (2) $-1\dfrac{1}{32}$ (3) $\dfrac{32}{27}$ (4) $-2$
解析
【分析】
这是有理数混合运算的基础计算题，解题需严格遵循运算顺序：①先算乘方、绝对值运算；②再算乘除；③最后算加减；有括号的优先计算括号内的内容。计算时需重点注意乘方的符号判断：不带括号的负数乘方（如$-1^2$）仅对底数的绝对值做乘方运算，符号保留；带括号的负数乘方（如$(-\frac{1}{2})^5$）需对整个负数做乘方运算，奇次幂为负、偶次幂为正。
(1)先分别计算乘方和绝对值，再求和；(2)先计算两个乘方，再做减法；(3)先计算分子、除数的乘方，再将除法转化为乘法计算；(4)先计算乘方、两处括号内的运算，再按从左到右的顺序计算乘除。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：
$-1^2=-1$，$|-2026|=2026$
原式$=-1+2026=2025$
(2) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$，$1^{10}=1$
原式$=-\dfrac{1}{32}-1=-1\dfrac{1}{32}$
(3) 先计算乘方：
$1^4=1$，$(-\dfrac{3}{4})^3=-\dfrac{27}{64}$
原式$=-\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{27}{64})$
将除法转化为乘法计算：$=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{64}{27})=\dfrac{32}{27}$
(4) 先计算乘方和括号内的运算：
$2^3=8$，$-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$，$1-3=-2$
原式$=8×\dfrac{1}{2}÷(-2)$
按从左到右顺序计算：$=4÷(-2)=-2$
【答案】
(1) $2025$；(2) $-1\dfrac{1}{32}$；(3) $\dfrac{32}{27}$；(4) $-2$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和乘方的符号判断，解题时要特别注意区分带括号和不带括号的负数乘方的计算差异，熟练掌握运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
这是有理数混合运算的基础计算题，解题需严格遵循运算顺序：①先算乘方、绝对值运算；②再算乘除；③最后算加减；有括号的优先计算括号内的内容。计算时需重点注意乘方的符号判断：不带括号的负数乘方（如$-1^2$）仅对底数的绝对值做乘方运算，符号保留；带括号的负数乘方（如$(-\frac{1}{2})^5$）需对整个负数做乘方运算，奇次幂为负、偶次幂为正。
(1)先分别计算乘方和绝对值，再求和；(2)先计算两个乘方，再做减法；(3)先计算分子、除数的乘方，再将除法转化为乘法计算；(4)先计算乘方、两处括号内的运算，再按从左到右的顺序计算乘除。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：
$-1^2=-1$，$|-2026|=2026$
原式$=-1+2026=2025$
(2) 先计算乘方：
$(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$，$1^{10}=1$
原式$=-\dfrac{1}{32}-1=-1\dfrac{1}{32}$
(3) 先计算乘方：
$1^4=1$，$(-\dfrac{3}{4})^3=-\dfrac{27}{64}$
原式$=-\dfrac{1}{2}÷(-\dfrac{27}{64})$
将除法转化为乘法计算：$=-\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{64}{27})=\dfrac{32}{27}$
(4) 先计算乘方和括号内的运算：
$2^3=8$，$-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$，$1-3=-2$
原式$=8×\dfrac{1}{2}÷(-2)$
按从左到右顺序计算：$=4÷(-2)=-2$
【答案】
(1) $2025$；(2) $-1\dfrac{1}{32}$；(3) $\dfrac{32}{27}$；(4) $-2$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和乘方的符号判断，解题时要特别注意区分带括号和不带括号的负数乘方的计算差异，熟练掌握运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
12 新考向 探究题 观察下列各组算式，解答问题：
① $(1×2)^2$ 与 $1^2×2^2$；② $(2×3)^2$ 与 $2^2×3^2$；③ $[(-3)×(-4)]^2$ 与 $(-3)^2×(-4)^2$。
（1）试通过计算来说明每组两个算式的结果是否相等。
（2）猜想：$(a×b)^2 = \_\_\_\_\_\_$；$(a×b)^3 = \_\_\_\_\_\_$。
（3）用（2）中的结论计算：$(\dfrac{1}{5})^{2026}×(-5)^{2026}$。
① $(1×2)^2$ 与 $1^2×2^2$；② $(2×3)^2$ 与 $2^2×3^2$；③ $[(-3)×(-4)]^2$ 与 $(-3)^2×(-4)^2$。
（1）试通过计算来说明每组两个算式的结果是否相等。
（2）猜想：$(a×b)^2 = \_\_\_\_\_\_$；$(a×b)^3 = \_\_\_\_\_\_$。
（3）用（2）中的结论计算：$(\dfrac{1}{5})^{2026}×(-5)^{2026}$。
答案
12.(1) ① $(1×2)^2=2^2=4,1^2×2^2=1×4=4;$② $(2×3)^2=6^2=36,2^2×3^2=4×9=36;$③ $[(-3)×(-4)]^2=12^2=144,$$(-3)^2×(-4)^2=9×16=144,$所以每组两个算式的结果均相等
(2) $a^2 × b^2$ $a^3 × b^3$
(3) $(\dfrac{1}{5})^{2\ 026} × (-5)^{2\ 026} =(-5×\dfrac{1}{5})^{2\ 026}=(-1)^{2\ 026}=1$
(2) $a^2 × b^2$ $a^3 × b^3$
(3) $(\dfrac{1}{5})^{2\ 026} × (-5)^{2\ 026} =(-5×\dfrac{1}{5})^{2\ 026}=(-1)^{2\ 026}=1$
解析
【分析】
这是一道规律探究类题目，解题思路清晰明确：①解答第一问时，只需按照有理数的运算顺序，分别计算每组中两个算式的结果，再对比结果是否相等即可；②解答第二问时，结合第一问三组算式的共同规律，从特殊实例推广到一般情况，就能归纳出对应的式子；③解答第三问时，观察发现两个幂的指数相同，逆用第二问得到的规律，先将两个底数相乘再算乘方，就能避免计算高次幂，简便求出结果。
【解析】
（1）分别计算每组两个算式的结果：
① $(1× 2)^2=2^2=4$，$1^2× 2^2=1× 4=4$，二者结果相等；
② $(2× 3)^2=6^2=36$，$2^2× 3^2=4× 9=36$，二者结果相等；
③ $[(-3)× (-4)]^2=12^2=144$，$(-3)^2× (-4)^2=9× 16=144$，二者结果相等；
因此每组两个算式的结果均相等。
（2）根据（1）的运算规律可推得：$(a× b)^2=a^2× b^2$，$(a× b)^3=a^3× b^3$。
（3）逆用上述积的乘方规律计算：
$(\dfrac{1}{5})^{2026}× (-5)^{2026}=(-5× \dfrac{1}{5})^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
（1）每组两个算式的结果均相等；
（2）$a^2× b^2$；$a^3× b^3$；
（3）$1$
【知识点】
有理数乘方运算；积的乘方规律；幂的简便运算
【点评】
本题以探究形式呈现，从具体计算出发引导学生归纳乘方运算的规律，既考察了基础的有理数运算能力，又锻炼了从特殊到一般的归纳思维，规律的逆用还考察了知识的灵活运用能力，是乘方运算部分的典型基础探究题。
【难度系数】
0.8
这是一道规律探究类题目，解题思路清晰明确：①解答第一问时，只需按照有理数的运算顺序，分别计算每组中两个算式的结果，再对比结果是否相等即可；②解答第二问时，结合第一问三组算式的共同规律，从特殊实例推广到一般情况，就能归纳出对应的式子；③解答第三问时，观察发现两个幂的指数相同，逆用第二问得到的规律，先将两个底数相乘再算乘方，就能避免计算高次幂，简便求出结果。
【解析】
（1）分别计算每组两个算式的结果：
① $(1× 2)^2=2^2=4$，$1^2× 2^2=1× 4=4$，二者结果相等；
② $(2× 3)^2=6^2=36$，$2^2× 3^2=4× 9=36$，二者结果相等；
③ $[(-3)× (-4)]^2=12^2=144$，$(-3)^2× (-4)^2=9× 16=144$，二者结果相等；
因此每组两个算式的结果均相等。
（2）根据（1）的运算规律可推得：$(a× b)^2=a^2× b^2$，$(a× b)^3=a^3× b^3$。
（3）逆用上述积的乘方规律计算：
$(\dfrac{1}{5})^{2026}× (-5)^{2026}=(-5× \dfrac{1}{5})^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
（1）每组两个算式的结果均相等；
（2）$a^2× b^2$；$a^3× b^3$；
（3）$1$
【知识点】
有理数乘方运算；积的乘方规律；幂的简便运算
【点评】
本题以探究形式呈现，从具体计算出发引导学生归纳乘方运算的规律，既考察了基础的有理数运算能力，又锻炼了从特殊到一般的归纳思维，规律的逆用还考察了知识的灵活运用能力，是乘方运算部分的典型基础探究题。
【难度系数】
0.8
