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1. 解分式方程$\frac{1}{x} - \frac{1 - x}{3x} = 1$，去分母后的结果正确的是 （）
A.$3 - 1 - x = 1$
B.$3 - 1 + x = 1$
C.$3 - 1 + x = 3x$
D.$3 - 1 - x$
A.$3 - 1 - x = 1$
B.$3 - 1 + x = 1$
C.$3 - 1 + x = 3x$
D.$3 - 1 - x$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握分式方程去分母的核心规则：先确定最简公分母，再将方程两边每一项都乘以最简公分母，注意分子为多项式时要加括号避免符号错误，且常数项不能漏乘。本题中分式的分母是x和3x，最简公分母为3x，据此对原方程两边同乘3x，即可得到去分母后的式子，再对比选项选出正确答案。
【解析】
解：原分式方程为$\frac{1}{x} - \frac{1 - x}{3x} = 1$，
1. 确定最简公分母：分母分别为x和3x，最简公分母是$3x$；
2. 方程两边同时乘以最简公分母$3x$，每一项都要乘（含右边常数项1），分子为多项式的项需加括号：
左边第一项：$\frac{1}{x} × 3x = 3$；
左边第二项：$-\frac{1 - x}{3x} × 3x = -(1 - x) = -1 + x$；
右边：$1 × 3x = 3x$；
因此去分母后的结果为$3 - 1 + x = 3x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；去括号法则
【点评】
本题考查分式方程去分母的基础操作，易错点为常数项漏乘最简公分母、分子为多项式时去括号的符号处理，属于分式方程的基础题型，只要牢记去分母规则即可正确解答。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需掌握分式方程去分母的核心规则：先确定最简公分母，再将方程两边每一项都乘以最简公分母，注意分子为多项式时要加括号避免符号错误，且常数项不能漏乘。本题中分式的分母是x和3x，最简公分母为3x，据此对原方程两边同乘3x，即可得到去分母后的式子，再对比选项选出正确答案。
【解析】
解：原分式方程为$\frac{1}{x} - \frac{1 - x}{3x} = 1$，
1. 确定最简公分母：分母分别为x和3x，最简公分母是$3x$；
2. 方程两边同时乘以最简公分母$3x$，每一项都要乘（含右边常数项1），分子为多项式的项需加括号：
左边第一项：$\frac{1}{x} × 3x = 3$；
左边第二项：$-\frac{1 - x}{3x} × 3x = -(1 - x) = -1 + x$；
右边：$1 × 3x = 3x$；
因此去分母后的结果为$3 - 1 + x = 3x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法；去括号法则
【点评】
本题考查分式方程去分母的基础操作，易错点为常数项漏乘最简公分母、分子为多项式时去括号的符号处理，属于分式方程的基础题型，只要牢记去分母规则即可正确解答。
【难度系数】
0.6
2. 已知甲车行驶 30 km 与乙车行驶 40 km所用的时间相同,且乙车每小时比甲车多行驶 12 km. 若设甲车的速度为x km/h,依题意列方程正确的是（）
A.$\frac{30}{x}=\frac{40}{x+12}$
B.$\frac{30}{x+12}=\frac{40}{x}$
C.$\frac{30}{x-12}=\frac{40}{x}$
D.$\frac{30}{x}=\frac{40}{x-12}$
A.$\frac{30}{x}=\frac{40}{x+12}$
B.$\frac{30}{x+12}=\frac{40}{x}$
C.$\frac{30}{x-12}=\frac{40}{x}$
D.$\frac{30}{x}=\frac{40}{x-12}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，结合题目给出的速度差和时间相等的条件列方程。步骤如下：1. 根据甲车速度设出乙车速度；2. 分别计算两车行驶对应路程的时间；3. 依据“两车行驶时间相同”的等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：设甲车的速度为$x$ km/h，因为乙车每小时比甲车多行驶12 km，所以乙车速度为$(x+12)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，甲车行驶30 km的时间为$\frac{30}{x}$小时，乙车行驶40 km的时间为$\frac{40}{x+12}$小时。
由题意知，两车行驶时间相同，因此可列方程：$\frac{30}{x}=\frac{40}{x+12}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的基础应用，核心是抓住“时间相等”的等量关系，熟练运用路程、速度、时间的关系即可快速解题，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，结合题目给出的速度差和时间相等的条件列方程。步骤如下：1. 根据甲车速度设出乙车速度；2. 分别计算两车行驶对应路程的时间；3. 依据“两车行驶时间相同”的等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：设甲车的速度为$x$ km/h，因为乙车每小时比甲车多行驶12 km，所以乙车速度为$(x+12)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，甲车行驶30 km的时间为$\frac{30}{x}$小时，乙车行驶40 km的时间为$\frac{40}{x+12}$小时。
由题意知，两车行驶时间相同，因此可列方程：$\frac{30}{x}=\frac{40}{x+12}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的基础应用，核心是抓住“时间相等”的等量关系，熟练运用路程、速度、时间的关系即可快速解题，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}x + 5 ≤ 1 - x, \\2x - a ＜ 3x\end{cases}$无解，且关于 $ y $ 的分式方程$\frac{a}{y - 3} + \frac{y - 4}{3 - y} = 2$的解为正整数，则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和是（ ）
A.$-12$
B.$-11$
C.$-10$
D.$-9$
A.$-12$
B.$-11$
C.$-10$
D.$-9$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，需分两步推导：先根据不等式组“无解”的条件确定整数a的范围，再解分式方程，结合“解为正整数”和分式方程增根的要求筛选符合条件的a，最后计算所有符合条件的整数a之和。具体思路：1. 解两个不等式，依据“不等式组无解即解集无交集”的规则得到a的初步范围；2. 解分式方程时，先统一分母，去分母后得到整式方程，注意排除增根（分母为0的情况），再根据“解为正整数”确定a的可能值；3. 结合不等式组的a范围和增根条件，筛选出所有符合的整数a，求和后匹配选项。
【解析】
1. 解不等式组：
解第一个不等式 $x + 5 ≤ 1 - x$，移项合并得 $2x ≤ -4$，解得 $x ≤ -2$；
解第二个不等式 $2x - a ＜ 3x$，移项得 $-x ＜ a$，即 $x ＞ -a$；
因为不等式组无解，两个解集需无交集，故满足 $-a ≥ -2$，即 $a ≤ 2$。
2. 解分式方程：
原方程 $\frac{a}{y - 3} + \frac{y - 4}{3 - y} = 2$，将分母统一为 $y - 3$，得 $\frac{a}{y - 3} - \frac{y - 4}{y - 3} = 2$；
两边同乘 $y - 3$（需满足 $y ≠ 3$，避免增根），得 $a - (y - 4) = 2(y - 3)$；
展开整理：$a - y + 4 = 2y - 6$，移项合并得 $3y = a + 10$，即 $y = \frac{a + 10}{3}$；
因分式方程的解为正整数，需满足：
① $y = \frac{a + 10}{3}$ 是正整数，故 $a + 10$ 是3的正整数倍，即 $a = 3k - 10$（k为正整数）；
② $y ≠ 3$，即 $\frac{a + 10}{3} ≠ 3$，解得 $a ≠ -1$；
结合不等式组的 $a ≤ 2$，且 $y$ 为正整数，得 $y ≥ 1$，即 $\frac{a + 10}{3} ≥1$，解得 $a ≥ -7$；
综上，整数a需满足：$-7 ≤ a ≤ 2$，且 $a ≠ -1$，$a +10$是3的倍数；
筛选得符合条件的a为：$-7$（对应y=1）、$-4$（对应y=2）、$2$（对应y=4）；
所有满足条件的整数a之和为：$-7 + (-4) + 2 = -9$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组无解条件、分式方程的解、整数解
【点评】
本题综合考查不等式组与分式方程的核心知识点，需注意分式方程解的隐含条件（分母不为0，避免增根），以及不等式组无解的判断规则，筛选整数a时需全面考虑范围限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分两步推导：先根据不等式组“无解”的条件确定整数a的范围，再解分式方程，结合“解为正整数”和分式方程增根的要求筛选符合条件的a，最后计算所有符合条件的整数a之和。具体思路：1. 解两个不等式，依据“不等式组无解即解集无交集”的规则得到a的初步范围；2. 解分式方程时，先统一分母，去分母后得到整式方程，注意排除增根（分母为0的情况），再根据“解为正整数”确定a的可能值；3. 结合不等式组的a范围和增根条件，筛选出所有符合的整数a，求和后匹配选项。
【解析】
1. 解不等式组：
解第一个不等式 $x + 5 ≤ 1 - x$，移项合并得 $2x ≤ -4$，解得 $x ≤ -2$；
解第二个不等式 $2x - a ＜ 3x$，移项得 $-x ＜ a$，即 $x ＞ -a$；
因为不等式组无解，两个解集需无交集，故满足 $-a ≥ -2$，即 $a ≤ 2$。
2. 解分式方程：
原方程 $\frac{a}{y - 3} + \frac{y - 4}{3 - y} = 2$，将分母统一为 $y - 3$，得 $\frac{a}{y - 3} - \frac{y - 4}{y - 3} = 2$；
两边同乘 $y - 3$（需满足 $y ≠ 3$，避免增根），得 $a - (y - 4) = 2(y - 3)$；
展开整理：$a - y + 4 = 2y - 6$，移项合并得 $3y = a + 10$，即 $y = \frac{a + 10}{3}$；
因分式方程的解为正整数，需满足：
① $y = \frac{a + 10}{3}$ 是正整数，故 $a + 10$ 是3的正整数倍，即 $a = 3k - 10$（k为正整数）；
② $y ≠ 3$，即 $\frac{a + 10}{3} ≠ 3$，解得 $a ≠ -1$；
结合不等式组的 $a ≤ 2$，且 $y$ 为正整数，得 $y ≥ 1$，即 $\frac{a + 10}{3} ≥1$，解得 $a ≥ -7$；
综上，整数a需满足：$-7 ≤ a ≤ 2$，且 $a ≠ -1$，$a +10$是3的倍数；
筛选得符合条件的a为：$-7$（对应y=1）、$-4$（对应y=2）、$2$（对应y=4）；
所有满足条件的整数a之和为：$-7 + (-4) + 2 = -9$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组无解条件、分式方程的解、整数解
【点评】
本题综合考查不等式组与分式方程的核心知识点，需注意分式方程解的隐含条件（分母不为0，避免增根），以及不等式组无解的判断规则，筛选整数a时需全面考虑范围限制，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5
4. 若分式$\frac{2}{x}$与$\frac{4}{3+x}$的值互为相反数，则$x$的值为________.
答案
-1
解析
【分析】
首先根据“互为相反数的两个数和为0”的性质，列出关于x的分式方程；再将分式方程转化为整式方程求解；最后必须检验所得解是否使原分式分母不为0，排除增根，得到正确的x值。
【解析】
解：因为分式$\frac{2}{x}$与$\frac{4}{3+x}$的值互为相反数，所以它们的和为0，据此列方程：
$\frac{2}{x} + \frac{4}{3+x} = 0$
移项得：$\frac{2}{x} = -\frac{4}{3+x}$
由分式分母不为0，得$x≠0$且$3+x≠0$（即$x≠-3$），两边同乘最简公分母$x(3+x)$去分母：
$2(3+x) = -4x$
展开括号：$6 + 2x = -4x$
移项合并同类项：$6x = -6$
解得：$x = -1$
检验：当$x=-1$时，原分式分母$x=-1≠0$，$3+x=2≠0$，故$x=-1$是原方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质，分式方程的解法
【点评】
本题结合相反数的性质考查分式方程的解法，关键是正确列方程和解方程，需注意分式方程必须验根，属于初中代数基础题型。
【难度系数】
0.6
首先根据“互为相反数的两个数和为0”的性质，列出关于x的分式方程；再将分式方程转化为整式方程求解；最后必须检验所得解是否使原分式分母不为0，排除增根，得到正确的x值。
【解析】
解：因为分式$\frac{2}{x}$与$\frac{4}{3+x}$的值互为相反数，所以它们的和为0，据此列方程：
$\frac{2}{x} + \frac{4}{3+x} = 0$
移项得：$\frac{2}{x} = -\frac{4}{3+x}$
由分式分母不为0，得$x≠0$且$3+x≠0$（即$x≠-3$），两边同乘最简公分母$x(3+x)$去分母：
$2(3+x) = -4x$
展开括号：$6 + 2x = -4x$
移项合并同类项：$6x = -6$
解得：$x = -1$
检验：当$x=-1$时，原分式分母$x=-1≠0$，$3+x=2≠0$，故$x=-1$是原方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质，分式方程的解法
【点评】
本题结合相反数的性质考查分式方程的解法，关键是正确列方程和解方程，需注意分式方程必须验根，属于初中代数基础题型。
【难度系数】
0.6
5. 若关于 y 的不等式组$\begin{cases} \dfrac{3y+a}{2} ＞ a, \\ 10 - y ≥ y \end{cases}$有且只有两个偶数解，且关于 y 的分式方程$\dfrac{ay}{y-2} = 1 - \dfrac{8}{2-y}$有正数解，则符合条件的所有整数 a 的积是___________。
答案
30
解析
【分析】
先分别求解不等式组和分式方程，根据不等式组“有且只有两个偶数解”确定a的初步范围，再根据分式方程“有正数解且分母不为0”进一步缩小a的范围，找出符合条件的整数a，最后计算它们的乘积。
【解析】
1. 解不等式组：
解$\frac{3y+a}{2} ＞ a$，两边同乘2得$3y+a＞2a$，移项得$y＞\frac{a}{3}$；
解$10-y≥y$，移项得$2y≤10$，即$y≤5$；
因此不等式组的解集为$\frac{a}{3}＜y≤5$。
y≤5的偶数解为0、2、4，要满足“有且只有两个偶数解”，需排除1个偶数解，故$\frac{a}{3}$的范围是$0≤\frac{a}{3}＜2$，即$0≤a＜6$。
2. 解分式方程：
原方程$\frac{ay}{y-2}=1-\frac{8}{2-y}$，右边变形为$1+\frac{8}{y-2}$，两边同乘$y-2$（$y≠2$）得：
$ay=y-2+8$，整理得$y(a-1)=6$，解得$y=\frac{6}{a-1}$；
分式方程有正数解，需满足：
① $y＞0$，即$\frac{6}{a-1}＞0$，得$a＞1$；
② $y≠2$（分母不为0），即$\frac{6}{a-1}≠2$，得$a≠4$；
结合得$a＞1$且$a≠4$。
3. 确定符合条件的整数a：
结合$0≤a＜6$和$a＞1且a≠4$，整数a为2、3、5，它们的积为$2×3×5=30$。
【答案】
30
【知识点】
一元一次不等式组、分式方程的解、整数解问题
【点评】
本题综合考查不等式组整数解和分式方程的解，需注意分式方程分母不能为0，不等式组整数解的判定易出错，是典型的代数综合题。
【难度系数】
0.4
先分别求解不等式组和分式方程，根据不等式组“有且只有两个偶数解”确定a的初步范围，再根据分式方程“有正数解且分母不为0”进一步缩小a的范围，找出符合条件的整数a，最后计算它们的乘积。
【解析】
1. 解不等式组：
解$\frac{3y+a}{2} ＞ a$，两边同乘2得$3y+a＞2a$，移项得$y＞\frac{a}{3}$；
解$10-y≥y$，移项得$2y≤10$，即$y≤5$；
因此不等式组的解集为$\frac{a}{3}＜y≤5$。
y≤5的偶数解为0、2、4，要满足“有且只有两个偶数解”，需排除1个偶数解，故$\frac{a}{3}$的范围是$0≤\frac{a}{3}＜2$，即$0≤a＜6$。
2. 解分式方程：
原方程$\frac{ay}{y-2}=1-\frac{8}{2-y}$，右边变形为$1+\frac{8}{y-2}$，两边同乘$y-2$（$y≠2$）得：
$ay=y-2+8$，整理得$y(a-1)=6$，解得$y=\frac{6}{a-1}$；
分式方程有正数解，需满足：
① $y＞0$，即$\frac{6}{a-1}＞0$，得$a＞1$；
② $y≠2$（分母不为0），即$\frac{6}{a-1}≠2$，得$a≠4$；
结合得$a＞1$且$a≠4$。
3. 确定符合条件的整数a：
结合$0≤a＜6$和$a＞1且a≠4$，整数a为2、3、5，它们的积为$2×3×5=30$。
【答案】
30
【知识点】
一元一次不等式组、分式方程的解、整数解问题
【点评】
本题综合考查不等式组整数解和分式方程的解，需注意分式方程分母不能为0，不等式组整数解的判定易出错，是典型的代数综合题。
【难度系数】
0.4
6. 若分式方程$\frac{2x}{x-1} - 2 = \frac{m}{(x-1)(x+2)}$有增根，则$m$的值是________.
答案
6
解析
【分析】要解决分式方程有增根求参数的问题，需先明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母（最简公分母）为0，不是原分式方程的根。解题步骤为：①确定原方程可能的增根（令最简公分母为0求解）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，结合题意确定参数值。
【解析】
1. 确定增根的可能值：原分式方程的最简公分母为$(x-1)(x+2)$，令其等于0，即$(x-1)(x+2)=0$，解得$x=1$或$x=-2$，这两个值是可能的增根。
2. 去分母转化为整式方程：给原方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x+2)$，得：
$2x(x+2) - 2(x-1)(x+2) = m$
3. 化简整式方程：
展开左边：$2x^2 + 4x - 2(x^2 + x - 2) = 2x^2 +4x -2x^2 -2x +4 = 2x +4$，因此整式方程为$2x +4 = m$。
4. 代入增根求$m$：
当$x=1$时，代入整式方程得$m=2×1 +4=6$；
当$x=-2$时，代入整式方程得$m=2×(-2)+4=0$，此时验证原方程，左边为$\frac{2×(-2)}{-2-1} -2 = -\frac{2}{3}≠0$，说明$x=-2$不是原方程的根，不符合题意。
因此，符合题意的$m$值为6。
【答案】6
【知识点】分式方程的增根、解分式方程
【点评】本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，解题时需先确定可能的增根，再代入整式方程求解，注意验证结果是否满足原方程的条件，避免出错。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 确定增根的可能值：原分式方程的最简公分母为$(x-1)(x+2)$，令其等于0，即$(x-1)(x+2)=0$，解得$x=1$或$x=-2$，这两个值是可能的增根。
2. 去分母转化为整式方程：给原方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x+2)$，得：
$2x(x+2) - 2(x-1)(x+2) = m$
3. 化简整式方程：
展开左边：$2x^2 + 4x - 2(x^2 + x - 2) = 2x^2 +4x -2x^2 -2x +4 = 2x +4$，因此整式方程为$2x +4 = m$。
4. 代入增根求$m$：
当$x=1$时，代入整式方程得$m=2×1 +4=6$；
当$x=-2$时，代入整式方程得$m=2×(-2)+4=0$，此时验证原方程，左边为$\frac{2×(-2)}{-2-1} -2 = -\frac{2}{3}≠0$，说明$x=-2$不是原方程的根，不符合题意。
因此，符合题意的$m$值为6。
【答案】6
【知识点】分式方程的增根、解分式方程
【点评】本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，解题时需先确定可能的增根，再代入整式方程求解，注意验证结果是否满足原方程的条件，避免出错。
【难度系数】0.5
7. 为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A，B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元.
（1）社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A，B两种型号健身器材每台的售价各是多少元.
（2）商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元. 社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台. 若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出$\frac{1}{2}m$台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值.
（1）社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A，B两种型号健身器材每台的售价各是多少元.
（2）商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元. 社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台. 若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出$\frac{1}{2}m$台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值.
答案
（1）A型健身器材每台售价6000元，B型健身器材每台售价5000元；（2）m的最小值为9。
解析
【分析】
（1）要解决第一问，需利用A型与B型健身器材的单价差设未知数，根据“用18000元购买A型的数量=用15000元购买B型的数量”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性；（2）解决第二问时，先根据“购买的B型数量是旧B型数量的2倍，旧B型与计划购买的B型总数为120台”求出原有旧B型和计划购买的B型数量，再结合“实际总费用不少于420000元”的条件，分析多买m台后购买数量、抵值旧B型数量的关系，列出一元一次不等式，求解时注意m为正整数，取最小整数解。
【解析】
（1）设B型健身器材每台售价为x元，则A型健身器材每台售价为$(x+1000)$元。
根据购买数量相等的关系，列方程：$\frac{18000}{x+1000} = \frac{15000}{x}$
交叉相乘化简：$18000x = 15000(x+1000)$
$18000x = 15000x + 15000000$
$3000x = 15000000$
解得：$x=5000$
检验：当$x=5000$时，$x(x+1000)=5000×6000≠0$，故$x=5000$是原方程的解，符合题意。
则A型售价为：$5000+1000=6000$（元）。
（2）设原有B型旧健身器材y台，则计划购买的B型健身器材为$2y$台。
根据“旧B型+计划购买B型=120台”，列方程：$y+2y=120$，解得$y=40$，即原有旧B型40台，计划购买B型80台。
多买m台后，购买的B型数量为$(80+m)$台，需拿出的旧B型总数为$(40+\frac{1}{2}m)$台。
根据实际总费用不少于420000元，列不等式：
$5000(80+m) - 500(40+\frac{1}{2}m) ≥420000$
化简左边：$400000 +5000m -20000 -250m = 380000 +4750m$
则$380000 +4750m ≥420000$
$4750m ≥40000$
解得：$m≥\frac{160}{19}≈8.42$
因为m为正整数，所以m的最小值为9。
【答案】
（1）A型健身器材每台售价6000元，B型健身器材每台售价5000元；（2）m的最小值为9。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题为实际应用类问题，第一问需注意分式方程解的检验，第二问关键是理清各数量间的关系，尤其是抵值旧器材数量与购买数量的关联，整体难度适中，考查学生的应用分析能力。
【难度系数】
0.5
（1）要解决第一问，需利用A型与B型健身器材的单价差设未知数，根据“用18000元购买A型的数量=用15000元购买B型的数量”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性；（2）解决第二问时，先根据“购买的B型数量是旧B型数量的2倍，旧B型与计划购买的B型总数为120台”求出原有旧B型和计划购买的B型数量，再结合“实际总费用不少于420000元”的条件，分析多买m台后购买数量、抵值旧B型数量的关系，列出一元一次不等式，求解时注意m为正整数，取最小整数解。
【解析】
（1）设B型健身器材每台售价为x元，则A型健身器材每台售价为$(x+1000)$元。
根据购买数量相等的关系，列方程：$\frac{18000}{x+1000} = \frac{15000}{x}$
交叉相乘化简：$18000x = 15000(x+1000)$
$18000x = 15000x + 15000000$
$3000x = 15000000$
解得：$x=5000$
检验：当$x=5000$时，$x(x+1000)=5000×6000≠0$，故$x=5000$是原方程的解，符合题意。
则A型售价为：$5000+1000=6000$（元）。
（2）设原有B型旧健身器材y台，则计划购买的B型健身器材为$2y$台。
根据“旧B型+计划购买B型=120台”，列方程：$y+2y=120$，解得$y=40$，即原有旧B型40台，计划购买B型80台。
多买m台后，购买的B型数量为$(80+m)$台，需拿出的旧B型总数为$(40+\frac{1}{2}m)$台。
根据实际总费用不少于420000元，列不等式：
$5000(80+m) - 500(40+\frac{1}{2}m) ≥420000$
化简左边：$400000 +5000m -20000 -250m = 380000 +4750m$
则$380000 +4750m ≥420000$
$4750m ≥40000$
解得：$m≥\frac{160}{19}≈8.42$
因为m为正整数，所以m的最小值为9。
【答案】
（1）A型健身器材每台售价6000元，B型健身器材每台售价5000元；（2）m的最小值为9。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题为实际应用类问题，第一问需注意分式方程解的检验，第二问关键是理清各数量间的关系，尤其是抵值旧器材数量与购买数量的关联，整体难度适中，考查学生的应用分析能力。
【难度系数】
0.5
