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【例 1】
根据不等式的性质，把下列不等式化为 $x ＞ a$ 或 $x ＜ a$ 的形式：
(1) $2x - 15 ＜ 5$；
(2) $3x + 1 ＜ 5x - 2$。
思路分析：根据题中要求，只需利用不等式的基本性质，把所给的不等式一步一步化成所需要的形式。
解：(1) 由不等式的基本性质 1，两边都加 15，得
$2x ＜ 5 + 15$，即 $2x ＜ 20$。
再由不等式的基本性质 2，两边都乘 $\frac{1}{2}$，得 $x ＜ 10$。
(2) 由不等式的基本性质 1，两边都加上 $-5x - 1$，得 $3x - 5x ＜ -2 - 1$，即 $-2x ＜ -3$。
再由不等式的基本性质 3，两边都除以 $-2$，得 $x ＞ \frac{3}{2}$。
根据不等式的性质，把下列不等式化为 $x ＞ a$ 或 $x ＜ a$ 的形式：
(1) $2x - 15 ＜ 5$；
(2) $3x + 1 ＜ 5x - 2$。
思路分析：根据题中要求，只需利用不等式的基本性质，把所给的不等式一步一步化成所需要的形式。
解：(1) 由不等式的基本性质 1，两边都加 15，得
$2x ＜ 5 + 15$，即 $2x ＜ 20$。
再由不等式的基本性质 2，两边都乘 $\frac{1}{2}$，得 $x ＜ 10$。
(2) 由不等式的基本性质 1，两边都加上 $-5x - 1$，得 $3x - 5x ＜ -2 - 1$，即 $-2x ＜ -3$。
再由不等式的基本性质 3，两边都除以 $-2$，得 $x ＞ \frac{3}{2}$。
答案
解：(1) 根据不等式的基本性质1，两边都加15，得
$2x ＜ 5 + 15$，即$2x ＜ 20$
根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得
$x ＜ 10$
(2) 根据不等式的基本性质1，两边都加$-5x - 1$，得
$3x - 5x ＜ -2 - 1$，即$-2x ＜ -3$
根据不等式的基本性质3，两边都除以$-2$，得
$x ＞ \frac{3}{2}$
$2x ＜ 5 + 15$，即$2x ＜ 20$
根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得
$x ＜ 10$
(2) 根据不等式的基本性质1，两边都加$-5x - 1$，得
$3x - 5x ＜ -2 - 1$，即$-2x ＜ -3$
根据不等式的基本性质3，两边都除以$-2$，得
$x ＞ \frac{3}{2}$
【例 2】
判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1) $x = 3$ 是不等式 $2x - 5 ＞ x - 1$ 的解；
(2) 不等式 $3x ＜ 4$ 的解是 $x = 1$；
(3) $x = 1$ 是不等式 $3x ＜ 4$ 的解集；
(4) $x = 3$ 是不等式 $1 - 2x ≥ 3 - 5x$ 的解。
思路分析：根据不等式的解和不等式的解集的意义进行判断。
解：(1) 不正确。因为当 $x = 3$ 时，不等式 $2x - 5 ＞ x - 1$ 不成立。
(2) 不正确。因为不等式 $3x ＜ 4$ 有无数个解，而 $x = 1$ 只是其中的一个解，只能说 $x = 1$ 是 $3x ＜ 4$ 的解。
(3) 不正确。因为 $x = 1$ 只是不等式 $3x ＜ 4$ 解集中的一个解，因此不能称为解集。
(4) 正确。
判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1) $x = 3$ 是不等式 $2x - 5 ＞ x - 1$ 的解；
(2) 不等式 $3x ＜ 4$ 的解是 $x = 1$；
(3) $x = 1$ 是不等式 $3x ＜ 4$ 的解集；
(4) $x = 3$ 是不等式 $1 - 2x ≥ 3 - 5x$ 的解。
思路分析：根据不等式的解和不等式的解集的意义进行判断。
解：(1) 不正确。因为当 $x = 3$ 时，不等式 $2x - 5 ＞ x - 1$ 不成立。
(2) 不正确。因为不等式 $3x ＜ 4$ 有无数个解，而 $x = 1$ 只是其中的一个解，只能说 $x = 1$ 是 $3x ＜ 4$ 的解。
(3) 不正确。因为 $x = 1$ 只是不等式 $3x ＜ 4$ 解集中的一个解，因此不能称为解集。
(4) 正确。
答案
解：
(1) 不正确。
当$x=3$时，$2x-5=2×3-5=1$，$x-1=3-1=2$，$1＞2$不成立，故$x=3$不是不等式$2x - 5 ＞ x - 1$的解。
(2) 不正确。
不等式$3x＜4$的解集为$x＜\frac{4}{3}$，有无数个解，$x=1$只是其中一个解，不能说$x=1$是该不等式的解。
(3) 不正确。
不等式$3x＜4$的解集是$x＜\frac{4}{3}$，$x=1$只是解集中的一个解，不是解集。
(4) 正确。
当$x=3$时，$1-2x=1-2×3=-5$，$3-5x=3-5×3=-12$，$-5≥-12$成立，故$x=3$是不等式$1 - 2x ≥ 3 - 5x$的解。
(1) 不正确。
当$x=3$时，$2x-5=2×3-5=1$，$x-1=3-1=2$，$1＞2$不成立，故$x=3$不是不等式$2x - 5 ＞ x - 1$的解。
(2) 不正确。
不等式$3x＜4$的解集为$x＜\frac{4}{3}$，有无数个解，$x=1$只是其中一个解，不能说$x=1$是该不等式的解。
(3) 不正确。
不等式$3x＜4$的解集是$x＜\frac{4}{3}$，$x=1$只是解集中的一个解，不是解集。
(4) 正确。
当$x=3$时，$1-2x=1-2×3=-5$，$3-5x=3-5×3=-12$，$-5≥-12$成立，故$x=3$是不等式$1 - 2x ≥ 3 - 5x$的解。
【例 3】
某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要 10 张 8K 大小的纸，其中 4 张为彩页，6 张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页 300 元/张，黑白页 50 元/张，印刷费与印数的关系见下表：
(1) 印制这批纪念册的制版费为元；
(2) 若印制 2000 册，则共需多少费用？
(3) 如果该校希望印数至少为 4000 册，总费用至多为 60000 元，求印数的取值范围。
解：(1) 1500
(2) 若印制 2000 册，则印刷费为
$(2.2 × 4 + 0.7 × 6) × 2000 = 26000$(元)，
所以总费用为 $26000 + 1500 = 27500$(元)。
(3) 设印数为 $x$ 册。
①若 $4000 ≤ x ＜ 5000$，由题意，得
$(2.2 × 4 + 0.7 × 6)x + 1500 ≤ 60000$，
解得 $x ≤ 4500$，$\therefore 4000 ≤ x ≤ 4500$；
②若 $x ≥ 5000$，由题意，得
$(2.0 × 4 + 0.6 × 6)x + 1500 ≤ 60000$，
解得 $x ≤ 5043$，所以 $5000 ≤ x ≤ 5043$。
综上所述，符合要求的印数 $x$ 的取值范围为 $4000 ≤ x ≤ 4500$ 或 $5000 ≤ x ≤ 5043$。
点拨：本题中要注意“至少”“至多”在不等关系式中的表现形式，并要从表格信息中解读出分类讨论的需要，这也是我们经济生活中的一些决策来源于数学的支撑的一种体现。
综合复习
某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要 10 张 8K 大小的纸，其中 4 张为彩页，6 张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页 300 元/张，黑白页 50 元/张，印刷费与印数的关系见下表：
(1) 印制这批纪念册的制版费为元；
(2) 若印制 2000 册，则共需多少费用？
(3) 如果该校希望印数至少为 4000 册，总费用至多为 60000 元，求印数的取值范围。
解：(1) 1500
(2) 若印制 2000 册，则印刷费为
$(2.2 × 4 + 0.7 × 6) × 2000 = 26000$(元)，
所以总费用为 $26000 + 1500 = 27500$(元)。
(3) 设印数为 $x$ 册。
①若 $4000 ≤ x ＜ 5000$，由题意，得
$(2.2 × 4 + 0.7 × 6)x + 1500 ≤ 60000$，
解得 $x ≤ 4500$，$\therefore 4000 ≤ x ≤ 4500$；
②若 $x ≥ 5000$，由题意，得
$(2.0 × 4 + 0.6 × 6)x + 1500 ≤ 60000$，
解得 $x ≤ 5043$，所以 $5000 ≤ x ≤ 5043$。
综上所述，符合要求的印数 $x$ 的取值范围为 $4000 ≤ x ≤ 4500$ 或 $5000 ≤ x ≤ 5043$。
点拨：本题中要注意“至少”“至多”在不等关系式中的表现形式，并要从表格信息中解读出分类讨论的需要，这也是我们经济生活中的一些决策来源于数学的支撑的一种体现。
综合复习
答案
解：
(1) $4×300 + 6×50 = 1500$（元）
(2) 印刷费：$(2.2×4 + 0.7×6)×2000 = 26000$（元）
总费用：$26000 + 1500 = 27500$（元）
答：共需27500元。
(3) 设印数为$x$册。
① 若$4000 ≤ x ＜ 5000$，由题意得：
$(2.2×4 + 0.7×6)x + 1500 ≤ 60000$
解得$x ≤ 4500$
$\therefore 4000 ≤ x ≤ 4500$
② 若$x ≥ 5000$，由题意得：
$(2.0×4 + 0.6×6)x + 1500 ≤ 60000$
解得$x ≤ 5043$
$\therefore 5000 ≤ x ≤ 5043$
综上所述，印数的取值范围为$4000 ≤ x ≤ 4500$或$5000 ≤ x ≤ 5043$。
(1) $4×300 + 6×50 = 1500$（元）
(2) 印刷费：$(2.2×4 + 0.7×6)×2000 = 26000$（元）
总费用：$26000 + 1500 = 27500$（元）
答：共需27500元。
(3) 设印数为$x$册。
① 若$4000 ≤ x ＜ 5000$，由题意得：
$(2.2×4 + 0.7×6)x + 1500 ≤ 60000$
解得$x ≤ 4500$
$\therefore 4000 ≤ x ≤ 4500$
② 若$x ≥ 5000$，由题意得：
$(2.0×4 + 0.6×6)x + 1500 ≤ 60000$
解得$x ≤ 5043$
$\therefore 5000 ≤ x ≤ 5043$
综上所述，印数的取值范围为$4000 ≤ x ≤ 4500$或$5000 ≤ x ≤ 5043$。
